定义与命题2教学课件

定义与命题

（二）教学课件第一章命题的基本概念回顾在深入学习命题的进阶内容之前，我们需要回顾命题的基本概念，确保大家对命题的理解有坚实的基础什么是命题？为什么学习命题？命题是可以判断真假的陈述句命题是数学推理和证明的基础命题的重要性什么是命题？命题是可以判断真假的陈述句，是数学逻辑的基本单元在数学中，我们需要清晰地区分哪些语句是命题，哪些不是疑问句不是命题（如这个数是多少？）•祈使句不是命题（如请计算这道题）•含有未知数的开放表达式不是命题（如）•x+1=5例子是偶数真命题2—真命题与假命题真命题假命题符合事实或已被证明的命题与事实不符或已被证明不成立的命题例所有正方形都有四个等边例所有三角形都是等边的判断命题真假是逻辑推理的基础在数学证明中，我们通常需要通过逻辑推理来判断一个命题是真是假命题的结构大多数数学命题都可以表达为条件语句的形式，由假设（前提）和结论组成假设（前提）结论命题中的已知条件由假设推导出的结果常见形式如果，那么…………例如果一个数是偶数，那么它能被整除2假设一个数是偶数结论这个数能被整除2命题结构示意图命题的基本结构可以用假设结论的形式表示→假设P条件或前提例是偶数x结论Q推导的结果例能被整除x2完整命题表示为（如果，则）P→Q P Q理解命题结构有助于我们分析命题的逻辑关系，为后续学习逆命题、否命题等内容打下基础第二章命题的真假判断本章将探讨如何判断一个命题的真假，以及通过反例证明假命题的方法如何判断命题真假？判断方法例题分析通过已知事实直接验证命题所有质数都是奇数•通过逻辑推理•分析找反例是质数但不是奇数——2通过找反例证明假命题•结论该命题是假命题对于全称命题（所有的），只要找到一个反例，命题就是假的...练习题判断以下命题真假，并说明理由123所有三角形内角和为°所有正方形都是长方形所有长方形都是正方形180真命题真命题假命题理由根据欧几里得几何学已经证明，平面理由根据长方形的定义（四个内角都是直理由反例一个长为，宽为的长方——43上任意三角形的内角和恒等于°角的四边形），正方形符合这个定义，只是形不是正方形，因为它的四边不相等180有额外条件（四边相等）第三章定义的理解与应用数学定义是数学语言的基础，准确理解定义对于数学学习至关重要数学中的定义定义是对数学对象的准确描述，它具有以下特点例垂直线的定义精确性没有歧义•两条线相交且形成直角，则称这两条线互相垂直必要性包含对象必须满足的所有条件•充分性满足定义的条件就是该对象•双向性正向和逆向都成立•定义建立了数学概念的清晰边界，是进行数学推理的基础定义的双向性示例定义具有双向性，意味着它可以从两个方向理解正向理解逆向理解如果两条线垂直，则它们相交形成直角如果两条线相交形成直角，则它们垂直定义的双向性使其等价于一个双条件命题（当且仅当），我们将在后续章节详细讨论这个概念理解定义的双向性有助于我们正确应用数学概念进行推理和证明垂直线示意图垂直线是两条相交成直角的直线在几何中，我们用特殊符号（⊥）表示垂直关系垂直的标志两线相交处有直角符号（）∟数学表示若线垂直于线，记作⊥l ml m垂直关系在几何学中非常重要，是许多定理和问题的基础第四章逆命题、否命题与逆否命题本章将探讨与原命题相关的三种命题形式，以及它们之间的逻辑关系逆命题逆命题是将原命题的假设和结论互换得到的新命题原命题逆命题如果，则如果，则P Q Q PP→Q Q→P例子原命题如果是正方形，则是长方形逆命题如果是长方形，则是正方形重要性质原命题为真，其逆命题不一定为真在上例中，原命题为真，但逆命题为假（存在非正方形的长方形）否命题否命题是对原命题的假设和结论分别取否定得到的新命题原命题否命题如果，则如果非，则非P Q P QP→Q¬P→¬Q例子原命题如果是正方形，则是长方形否命题如果不是正方形，则不是长方形重要性质原命题为真，其否命题不一定为真在上例中，否命题为假（三角形不是正方形，也不是长方形，但梯形不是正方形，却是四边形）逆否命题逆否命题可以看作是逆命题的否定，也可以看作是否命题的逆命题原命题逆否命题如果，则如果非，则非P QQ PP→Q¬Q→¬P例子原命题如果是正方形，则是长方形逆否命题如果不是长方形，则不是正方形重要性质逆否命题与原命题等价（同真同假）在上例中，原命题和逆否命题都为真这一性质在数学证明中非常有用练习题写出命题如果一个数是偶数，则它能被整除的逆命题、否命题和逆否命题，并判断各命题的真假212原命题逆命题如果一个数是偶数，则它能被整除如果一个数能被整除，则它是偶数22真命题（根据偶数的定义）真命题（根据偶数的定义）34否命题逆否命题如果一个数不是偶数，则它不能被整除如果一个数不能被整除，则它不是偶数22真命题（奇数不能被整除）真命题（与原命题等价）2注意在这个例子中，所有命题都为真，这是因为偶数和能被整除是等价的定义2第五章双条件命题（当且仅当）本章将介绍双条件命题的概念、表示方法和真值判断什么是双条件命题？双条件命题表示两个条件互为充分必要条件，同时成立或同时不成立含义解析常见表达形式双条件命题当且仅当等价于两个条件命题的结合P Q如果且仅如果•如果，则（）

1.P Q P→Q当且仅当•如果，则（）

2.Q P Q→P必要且充分条件是•即∧P→QQ→P符号表示P↔Q例两点共线当且仅当它们在同一直线上双条件命题的真值双条件命题当且仅当的真值取决于条件和条件的真值组合P Q P Q的真值的真值的真值P QP↔Q真真真真假假假真假假假真例题分析命题当且仅当x=3x²=9正向如果，则真•x=3x²=9—逆向如果，则假（也可能等于）•x²=9x=3—x-3结论该双条件命题为假双条件命题示意图双条件命题表示两个条件之间的双向关系，可以用双向箭头表示P↔Q这种关系表明和要么同时为真，要么同时为假P Q充分性成立时，必然成立P Q必要性成立时，必然成立QP数学中的定义通常可以表示为双条件命题，例如一个四边形是正方形当且仅当它有四个等边且四个角都是直角第六章命题的实际应用举例本章将通过具体例题，展示如何应用命题相关知识解决实际问题例题判断命题真假1命题如果一个三角形是等边三角形，则它是等腰三角形分析原命题相关命题分析等边三角形的定义三条边相等的三角形逆命题如果一个三角形是等腰三角形，则它是等边三角形假（存—在非等边的等腰三角形）等腰三角形的定义至少有两条边相等的三角形否命题如果一个三角形不是等边三角形，则它不是等腰三角形假—根据定义，等边三角形必然是等腰三角形（存在非等边的等腰三角形）逆否命题如果一个三角形不是等腰三角形，则它不是等边三角形结论原命题为真—真（与原命题等价）例题写出双条件命题2题目两个点在同一平面内，当且仅当连接这两点的直线也在该平面内命题分析这是一个双条件命题，包含两个方向如果两点在同一平面内，则连接它们的直线也在该平面内

1.如果连接两点的直线在某平面内，则这两点也在该平面内

2.命题验证根据平面几何的基本性质平面由无数点组成•平面内任意两点确定一条直线•该直线完全位于该平面内•因此，该双条件命题为真第七章命题逻辑推理技巧本章将介绍一些利用命题逻辑进行数学证明的常用技巧利用逆否命题简化证明关键技巧例题由于原命题与其逆否命题等价，有时利用逆否命题进行证明更为简便证明如果一个数是偶数，则它的平方是偶数证明策略转换为逆否命题将原命题如果，则转换为逆否命题如果非，则非如果一个数的平方不是偶数，则这个数不是偶数

1.A BB A证明逆否命题成立

2.证明设不是偶数，则是奇数，可表示为如果是偶数，n²n²n²=2k+1n得出原命题成立的结论

3.则，代入得，这是偶数，与假设矛盾因此n=2m n²=4m²=22m²n不是偶数这种方法在某些情况下可以大大简化证明过程，是数学推理中的重要技巧课堂小结命题的定义与真假判断逆命题、否命题、逆否命题的区双条件命题的理解与应用别与联系命题是可以判断真假的陈述句真命题双条件命题当且仅当表示和互为P QP Q符合事实，假命题与事实不符判断命原命题如果，则充要条件，等价于如果则且如果P QPQQ题真假是数学推理的基础则同时成立P逆命题如果，则QP否命题如果非，则非PQ逆否命题如果非，则非QP重要性质原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价课后思考题写出命题如果一个数能被整除，则它是偶数的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假412原命题逆命题如果一个数能被整除，则它是偶数如果一个数是偶数，则它能被整除44分析任何被整除的数都能被整除，因此都是偶数分析考虑数字，它是偶数但不能被整除•42•64结论真命题结论假命题34否命题逆否命题如果一个数不能被整除，则它不是偶数如果一个数不是偶数，则它不能被整除44分析考虑数字，它不能被整除但仍是偶数分析所有奇数都不能被整除•64•4结论假命题结论真命题谢谢聆听！期待你们的精彩表现！课件下载课后练习提问与讨论可通过学校在线学习平台下载本课件及完成教材第二章习题，巩固对命欢迎通过课后讨论或在线平台提出问题，1-10相关练习资料题逻辑的理解共同探讨祝大家学习愉快，逻辑思维更加严谨！。