弹性力学教学课件

弹性力学教学课件第一章弹性力学概述弹性力学的定义与研究对象工程中的重要性与应用领域课程结构与学习目标弹性力学是研究固体材料在外力作用下发弹性力学是现代工程设计的基石，在建生弹性变形的力学分支，主要关注材料在筑、桥梁、航空航天、机械制造等领域有卸载后能够恢复原状的变形过程研究对广泛应用合理的弹性分析能确保结构安象包括工程结构中的梁、板、壳等各类构全、可靠运行，并优化材料使用件固体力学基础回顾应力与应变的基本概念线性弹性假设与胡克定律应力σ描述材料内部的力分布状态，定义为单位面积上的作用力；应变线性弹性假设认为材料的应力与应变成正比，这一关系由胡克定律描ε描述材料的变形程度，定义为长度变化与原长度的比值这两个物理述量构成了弹性力学的基础应力单位帕斯卡Pa或牛顿/平方米N/m²其中E为弹性模量，反映了材料抵抗弹性变形的能力应变无量纲，常用微小变形理论中的工程应变张量的初步认识弹性力学材料的回复力应力的分类与表示正应力（拉伸、压缩）剪应力（切变）应力张量的物理意义与数学表达垂直于截面的应力分量，可以是拉伸应平行于截面的应力分量，导致材料发生力（正值）或压缩应力（负值）正应剪切变形典型例子包括铆钉的剪切和应力状态可用二阶张量表示，在直角坐力使材料沿应力方向发生伸长或缩短梁的横向剪切剪应力常导致材料内部标系中为3×3矩阵在工程结构中，如拉杆和柱子主要承受的滑移，是许多失效模式的主要原因正应力应变的类型与测量线应变、体积应变、剪切应变应变张量与变形梯度•线应变ε材料在一个方向上的相对长度变化应变张量描述材料点附近的变形状态•体积应变θ材料体积的相对变化量•剪切应变γ描述角度变化的应变分量这些应变类型共同描述了材料在力作用下的完整变形状态变形梯度张量F连接变形前后的构形，是大变形理论的基础应变的无量纲特性典型应力状态解析单轴拉伸与压缩简单剪切三轴应力状态与主应力最简单的应力状态，材料仅在一个方向受力材料受到切向力作用产生的应力状态一般空间应力状态，可通过坐标变换简化•应力分量τxy=τyx≠0，其他分量为零•主应力特征方程求解得到的三个特征值•应力分布σ₁≠0，σ₂=σ₃=0•变形特征矩形元素变为平行四边形•主方向对应的三个正交特征向量•应变特点主拉伸方向伸长，垂直方向收•主应力σ₁=-σ₂=τ，σ₃=0•不变量与坐标系选择无关的量缩剪切变形常见于扭转和剪切连接处•泊松效应ε横向=-ν·ε纵向标准拉伸试验是材料性能测定的基础应力状态的几何表达胡克定律与线性弹性本构关系一维胡克定律回顾三维弹性本构方程各向同性与各向异性材料模型最简单形式σ=E·ε，类似于弹簧的力-位移关广义胡克定律σᵢⱼ=Cᵢⱼ·ε，其中C为ₖₗₖₗ系F=k·x这一简单关系是线性弹性理论的基四阶弹性张量，包含81个分量由于对称性，独础，适用于大多数材料在小变形范围内的行为立常数减少至最多21个，对各向同性材料进一步简化为仅2个独立常数弹性模量与材料参数杨氏模量、剪切模量、体积模量泊松比的物理意义与典型数值不同材料的弹性参数对比•杨氏模量E描述材料抵抗线性变形的泊松比ν描述材料在拉伸时横向收缩与轴向材料类杨氏模泊松比ν能力伸长的比值型量E•剪切模量G描述材料抵抗剪切变形•理论范围-1ν

0.5GPa的能力•大多数金属ν≈

0.25-

0.35•体积模量K描述材料抵抗体积变化的钢铁200-

0.27-•橡胶类材料ν≈

0.5（接近不可压缩）能力

2100.30•特殊材料可有负泊松比这三种模量之间存在关系E=2G1+ν=铝合金69-

720.333K1-2ν混凝土20-

400.15-

0.20橡胶

0.01-

0.

10.48-

0.50从橡胶到钢铁的弹性差异弹性力学中的平衡方程静力平衡条件应力场的微分方程形式在静态平衡状态下，物体任何部分所受的合力和合力矩必须为零考虑微元体的平衡，可得应力的微分平衡方程这是解决静定问题的基本条件，也是建立应力平衡方程的基础其中f_i为体积力，在直角坐标系中展开为三个方程，描述空间任意点的力平衡边界条件的重要性求解弹性问题需要合适的边界条件•位移边界条件规定边界上的位移•力边界条件规定边界上的应力位移与应变的关系位移场定义小变形假设下的应变-位移关系变形梯度张量简介位移场ux,y,z描述材料点从初始位置到变在小变形假设下，应变与位移梯度存在线对于大变形问题，需使用变形梯度张量F形后位置的矢量性关系位移场是求解弹性问题的基本未知量之展开得到六个应变分量，如εxx=一，直接反映了结构的变形状态∂ux/∂x，γxy=∂ux/∂y+∂uy/∂x弹性问题的数学求解方法解析解与数值解方法概览边界值问题的分类解析解方法偏微分方程简介根据边界条件类型，弹性问题可分为•应力函数法（Airy应力函数）弹性问题的控制方程是一组偏微分方程，包•第一类问题全部为位移边界条件•分离变量法括•第二类问题全部为力边界条件•复变函数法•平衡方程（力的平衡）•第三类问题混合边界条件数值解方法•几何方程（应变-位移关系）不同类型的问题需要采用不同的数学处理方•本构方程（应力-应变关系）•有限元法（最广泛应用）法•有限差分法这三组方程构成了求解弹性问题的完备系统典型弹性问题案例分析拉伸杆的应力应变分析弯曲梁的应力分布扭转圆轴的应力计算对于截面积为A的杆件，受轴向拉力P作用时纯弯曲梁的正应力分布•正应力σ=P/A•轴向应变ε=σ/E=P/A·E•轴向伸长δ=ε·L=P·L/A·E其中Mz为弯矩，Iz为截面惯性矩，y为到中性轴的距离特点此案例是最基本的一维弹性问题，是复杂问题的基础•应力随距中性轴距离线性变化•中性轴处应力为零•最大应力出现在远离中性轴的边缘纯扭转圆轴的剪应力分布其中T为扭矩，J为极惯性矩，r为到轴心的距离特点•剪应力随半径线性增加•轴心处剪应力为零工程中最常见的弹性问题弹性力学中的能量方法应变能与能量守恒Castigliano定理简介能量法在结构分析中的应用应变能是外力对物体做功储存的能量Castigliano第一定理对于线性弹性结构，能量方法的主要优势载荷点的位移等于应变能对该载荷的偏导数•能处理复杂结构和复杂载荷条件•适合求解静不定结构•可以方便地求取特定点的位移对于线性弹性材料，单位体积应变能•为有限元方法提供理论基础Castigliano第二定理如果应变能表示为位移的函数，则作用在位移点的力等于应变能对该位移的偏导数能量守恒原理要求外力做功等于系统储存的应变能与耗散的能量之和弹性稳定性与屈曲细长杆的屈曲现象Euler屈曲公式工程设计中的稳定性考虑当细长构件受压时，达到临界载荷后会发生侧向弯曲，对于两端铰支的理想细长柱，临界屈曲载荷为稳定性设计原则称为屈曲这是一种弹性稳定性问题，构件虽未达到材•引入安全系数Pallow=Pcr/n n通常为2-3料强度极限，但已失去原有形态的稳定•考虑初始缺陷和偏心载荷的影响屈曲失效往往突然发生，缺乏明显预兆，因此在设计中•对于中等细长比的柱，考虑弹塑性屈曲必须特别重视其中E为弹性模量，I为截面惯性矩，L为柱长•采用加劲、支撑等构造措施提高稳定性对于不同的边界条件，有不同的有效长度系数•两端固定Pcr=4π²EI/L²•一端固定一端铰支Pcr=2π²EI/L²•一端固定一端自由Pcr=π²EI/4L²弹性力学中的特殊材料橡胶类高弹性材料复合材料的弹性行为非线性弹性简介橡胶材料具有超高弹性，能承受大变形而不发生复合材料由两种或多种不同材料组合而成，具有永久变形，但其应力-应变关系显著非线性描各向异性特性，弹性性能在不同方向显著不同述橡胶材料行为通常需要使用超弹性模型，如层合复合材料的弹性行为通常使用经典层合板理Mooney-Rivlin模型、Ogden模型等这类材论描述，需要更多的弹性常数来表征其力学特料广泛应用于减震器、密封件和轮胎性复合材料在航空航天、体育器材领域有广泛应用弹性力学与塑性力学的区别弹性与塑性变形的本质差异弹塑性过渡区的力学特征•弹性变形外力撤除后，材料能完全恢复原状，能量完全释放•塑性变形外力撤除后，材料保持永久变形，部分能量以塑性功耗散微观机制的差异•弹性变形原子间距暂时改变•塑性变形原子或分子相对位置发生永久改变，如位错滑移、孪晶变形等屈服准则简介（Tresca、von Mises）•Tresca准则最大剪应力达到临界值时屈服•von Mises准则应力偏量第二不变量达到临界值时屈服典型金属材料的应力-应变曲线可分为

1.线性弹性区应力与应变成正比，遵循胡克定律

2.弹塑性过渡区材料开始屈服，但变形仍部分可恢复

3.塑性流动区应变增加而应力变化不大

4.应变硬化区由于位错密度增加，变形阻力增大

5.颈缩区局部截面减小，应力集中，最终导致断裂弹塑性分析方法•增量理论将塑性变形视为一系列小增量•流动理论基于塑性势函数描述塑性变形方向弹性与塑性的分界线弹性力学在工程中的应用桥梁、建筑结构设计航空航天材料选用弹性力学是结构工程的理论基础，用于航空航天工业对材料性能要求极高•确定结构构件的尺寸和形状•高强度重量比的轻质材料选择•预测变形和挠度，确保使用性能•复合材料层合设计优化•分析振动特性和动力响应•热-机械耦合效应分析•评估结构抵抗地震、风载等的能力•结构疲劳寿命预测微机电系统（MEMS）中的弹性分生物医学工程析弹性力学在医学领域的应用微尺度弹性力学应用•人体组织的力学性能研究•微型传感器和执行器设计•植入物设计与生物相容性•微尺度下的尺寸效应考虑•假肢与矫形器的力学分析•薄膜应力分析•微结构的振动特性预测弹性力学实验方法简介拉伸试验与应力测量应变计的使用实验数据的处理与分析标准拉伸试验是测定材料基本力学性能的重要方法应变计是最常用的应变测量装置数据处理流程•试验标准GB/T228（中国）或ASTM E8（美国）•工作原理电阻随变形变化

1.原始数据采集与滤波•试样制备标准哑铃型或圆柱型•类型电阻式、电容式、光纤光栅等

2.应变计校准与温度补偿•测量参数载荷-位移曲线，计算应力-应变关系•安装方法表面处理、粘贴、保护

3.应力-应变曲线绘制•确定性能弹性模量、屈服强度、抗拉强度、断裂•应变花测量不同方向应变，确定主应变

4.材料参数计算E=Δσ/Δε伸长率

5.统计分析与不确定度评估应变计选择考虑因素灵敏度、温度补偿、量程、稳定性高级实验技术•数字图像相关法DIC•光弹性实验•声发射技术数值模拟与有限元方法软件工具简介（ANSYS、ABAQUS）弹性问题的数值求解流程主流有限元软件功能有限元基本思想

1.前处理几何建模、网格剖分、边界条件定义•ANSYS结构、热、流体、电磁等多物理场分析有限元方法的核心思想是将连续体离散为有限个单元

2.求解组装刚度矩阵、载荷向量，求解线性方程组•ABAQUS强大的非线性分析能力•连续体问题→离散化→有限自由度系统

3.后处理计算应力、应变，可视化结果•COMSOL多物理场耦合分析•形函数插值在单元内部近似物理场影响求解精度的因素工程应用注意事项•能量最小原理或加权余量法建立方程•网格质量和密度•模型简化与假设的合理性•离散方程求解获得节点位移•单元类型选择•计算结果的验证与校准有限元方法是求解复杂弹性问题的最通用方法•材料模型的准确性•边界条件的合理定义弹性力学教学中的常见难点张量概念的理解边界条件的正确应用非线性弹性问题的入门张量是初学者最难理解的概念之一边界条件问题常见困难非线性问题的挑战•抽象的数学定义与物理意义的联系•边界条件类型的选择（位移、力、混合）•几何非线性大变形、大转动•张量的坐标变换规则•实际工程约束的理想化•材料非线性非线性应力-应变关系•高阶张量的直观理解•不当边界条件导致的解不存在或不唯一•接触非线性边界条件随变形变化教学建议从简单的向量开始，逐步过渡到教学建议使用简化模型展示不同边界条件教学建议从线性问题开始，逐步引入单一二阶张量，结合几何解释和物理例子，如应的影响，结合实验验证，讨论理想边界与实非线性因素，利用可视化工具展示非线性效力椭球等际情况的差异应，结合实际工程案例课程复习与知识点总结1基本概念与理论重点公式与定理

1.应力张量σᵢⱼ，9个分量，对称矩阵2典型题型解析

2.应变张量εᵢⱼ，9个分量，对称矩阵

3.广义胡克定律σᵢⱼ=Cᵢⱼε常见弹性问题解法ₖₗₖₗ

4.各向同性材料E,G,ν,K（仅需2个独立常数）

1.拉伸/压缩问题直接应用胡克定律

5.应变-位移关系εᵢⱼ=½∂uᵢ/∂xⱼ+∂uⱼ/∂xᵢ

2.弯曲问题使用弯曲理论公式

6.平衡方程∂σᵢⱼ/∂xⱼ+ρfᵢ=

03.扭转问题应用扭转理论公式

4.平面问题使用应力函数法3学习建议与资源推荐

5.轴对称问题特殊坐标系下的简化学习策略

6.热应力问题考虑温度效应•概念理解先于公式记忆解题思路确定问题类型→选择合适方法→建立方程→应用边界条件→求解•从简单到复杂，循序渐进•理论与实例相结合•多做习题，培养解题思路•建立知识体系框架图关键学习资源教材、习题集、在线视频课程、专业软件教程合作学习，共同进步弹性力学学习过程中，团队合作能够激发创新思维，加深概念理解通过小组讨论和共同解决问题，学生可以从不同角度理解复杂概念，互相补充知识盲点研究表明，合作学习不仅提高学习效率，还能培养沟通能力和团队协作精神，这些都是未来工程师必备的职业素养鼓励学生组建学习小组，定期讨论难点问题，共同提高课后练习与拓展阅读经典教材推荐习题与项目建议•《弹性力学》徐芝纶基础习题类型•《固体力学》方孝淑、李克仁

1.应力、应变分量计算•《Theory ofElasticity》TimoshenkoGoodier

2.主应力、主应变确定•《Advanced Mechanicsof Materials》BoresiSchmidt

3.简单构件的应力分析•《非线性弹性力学》岑松

4.平面问题的应力函数求解•哈佛大学Suo教授《弹性力学讲义》高级课程项目在线资源与公开课链接

1.复杂结构的有限元分析•中国大学MOOC平台弹性力学课程

2.实验测量与理论比较•哈佛大学ES240课程网站

3.特殊材料的弹性行为研究•麻省理工学院OpenCourseWare

4.工程案例分析报告•iMechanica力学社区建议每章习题至少完成5-10道，确保涵盖不同类型和难度复杂问题可组队合作，共同完成报告未来学习方向与研究前沿高级弹性理论弹性力学与材料科学交叉•大变形非线性弹性理论•多尺度力学模型•各向异性弹性与复杂材料•功能梯度材料力学行为•微极弹性理论•纳米材料与纳米结构力学•随机弹性与可靠性分析•晶体弹性学与材料设计大变形理论应用于软材料、生物组织等研究，微材料-结构-功能一体化设计正成为材料科学与力极理论考虑材料微观结构效应，适用于微纳米尺学交叉的热点领域，为新材料开发提供理论基度分析础智能材料与结构健康监测•压电材料与电-力耦合•形状记忆合金应用•声发射与无损检测•基于人工智能的结构状态评估智能材料与弹性理论结合，发展自适应、自修复结构系统，提高工程结构的安全性和使用寿命当代弹性力学研究正朝着多学科交叉、多尺度和多物理场耦合方向发展计算方法、实验技术和理论分析的结合，推动了该领域不断创新和突破建议对弹性力学有浓厚兴趣的学生关注这些前沿方向，并在基础知识扎实的前提下，选择感兴趣的方向深入学习总结与展望鼓励持续学习，探索力学新领域理论与实践相结合，解决复杂工程随着科技的进步，弹性力学也在不断发展与弹性力学是工程与科学的基石问题拓展从传统的线性小变形理论到现代的非从古典的梁理论到现代的航空航天结构设弹性力学的真正价值在于将抽象的数学模型线性多场耦合分析，学科边界在不断扩展计，弹性力学为我们理解和设计各类工程结转化为解决实际工程问题的工具通过实验希望同学们不仅掌握基础知识，更能培养持构提供了坚实的理论基础它不仅解释了材验证的理论，结合现代计算方法，我们能够续学习的能力，将来为力学学科的发展贡献料为何能够承受载荷而不失效，还指导我们预测复杂结构的行为，设计出满足各种严苛自己的力量如何优化设计以获得更轻、更强、更可靠的条件的工程产品，从日常用品到航天器结构感谢大家的参与和学习！弹性力学的世界广阔而深邃，期待各位在这一领域的探索与成长。