微积分教学课件

微积分教学课件全套第一章导论与基本概念微积分的起源与发展简史微积分在科学与工程中的重要性课程目标与学习路径概览微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼茨各自微积分是物理学、工程学、经济学等众多领域独立发明这一数学分支从解决切线问题和求的基础工具它使我们能够精确描述和分析变面积问题发展而来，经过几个世纪的完善，已化率、优化问题、累积效应等现象从预测行成为现代科学的基础语言从最初的无穷小分星运动到设计桥梁结构，从分析电路到模拟流析到严格的极限理论，微积分的发展反映了人体动力学，微积分的应用无处不在，是现代科类对无限概念的深刻思考技发展的重要推动力函数与极限的直观理解函数的定义与表示方法极限的概念及生活中的例子函数是两个变量之间的对应关系，对于极限描述当自变量无限接近某一值时，自变量集合中的每一个元素，函数都会函数值的趋势这一概念在日常生活中唯一确定一个值函数可以通过代数也有体现式、图像、表格或文字来表示•杯中热水逐渐冷却至室温•代数表示y=fx=x²+1•银行复利存款随时间增长•图像表示直观展示函数行为和趋势•人口增长模型中的饱和现象•参数表示x=gt,y=ht•放射性元素的半衰期衰减•隐函数表示Fx,y=0极限的几何意义曲线趋近极限的性质与计算技巧极限的四则运算法则无穷大与无穷小的比较夹逼定理及其应用假设lim fx=A,lim gx=B存在，则无穷小量当x→a时，若lim fx=0，则称夹逼定理（三明治定理）若存在x₀，当fx为x→a时的无穷小量xx₀时，gx≤fx≤hx，且lim gx=•和差法则lim[fx±gx]=A±Blim hx=A，则lim fx=A无穷小量的阶若lim[fx/gx]=c≠0，•乘法法则lim[fx·gx]=A·B则fx与gx为同阶无穷小应用案例•除法法则lim[fx/gx]=A/B B≠0•高阶lim[fx/gx]=0•证明limsin x/x=1x→0•幂法则lim[fx]^n=[lim fx]^n=A^n•低阶lim[fx/gx]=∞•求极限lim[1+x^1/x]x→0•等价fx~gx，当lim[fx/gx]=1•数列极限lim[n·sin1/n]n→∞这些法则大大简化了极限的计算过程，是处理复杂极限的基础工具常用等价无穷小sin x~x,tan x~x,ln1+x~x x→0极限无限接近的艺术第一章小结与典型例题极限计算综合练习典型错误解析与思维拓展掌握极限计算需要灵活运用各种技巧和方法学习极限常见的错误

1.代数方法因式分解、有理化、通分等•直接将x代入0/0型极限

2.等价无穷小替换法•错误应用运算法则（如对∞-∞型极限直接使用和差法则）

3.洛必达法则（下章详述）•忽略定义域限制条件

4.泰勒展开法（后续章节介绍）•等价无穷小替换时不检查条件典型例题特别注意极限值与函数值是不同的概念即使limx→afx存在，函数f在x=a处也可能无定义例1:limx→0e^x-1-x/x^2例2:limx→∞x^2·√x^2+1-x例3:limx→0sin3x/2x第二章导数的概念与几何意义导数的定义（切线斜率）导数的几何解释与图形演示导数定义为函数在某点的瞬时变化率导数是函数曲线在给定点切线的斜率，表示函数在该点的变化趋势和速度导数与瞬时变化率导数的几何意义有多种直观理解方式导数反映了函数对自变量的敏感性•切线斜率fa表示曲线y=fx在点a,fa处的切线斜率•图像的陡峭程度|fx|越大，曲线在该点越陡峭•物理学速度是位置对时间的导数•函数变化趋势fx0表示函数在该点处增加；fx0表示函数在•经济学边际成本是成本函数的导数该点处减少•生物学种群增长率是种群函数的导数导数的基本运算法则常数、幂函数求导法则和差积商的求导法则链式法则详解基本求导公式设u=ux，v=vx是可导函数，则链式法则处理复合函数的求导•常数函数d/dxC=0•和差法则u±v=u±v•幂函数d/dxx^n=n·x^n-1•乘法法则u·v=u·v+u·v•指数函数d/dxe^x=e^x•商法则u/v=u·v-u·v/v²口诀外导内不变，内导外不变，二者相•对数函数d/dxln x=1/x这些法则使我们能够计算复杂函数的导数，乘得导数•三角函数d/dxsin x=cos x而不必每次都回到导数的定义示例•d/dxcos x=-sin x•d/dx[sinx²]=cosx²·2x这些基本公式是所有导数计算的基础，必须•d/dx[e^ln x]=e^ln x·1/x=1熟练掌握•d/dx[x²+1⁵]=5x²+1⁴·2x导数的高阶应用隐函数求导参数方程求导当函数以Fx,y=0的形式给出时，求导需要当曲线由参数方程x=xt,y=yt给出时

1.对方程两边同时求导

2.把y提取出来示例对方程x²+y²=1求y示例对参数方程x=cost,y=sint求dy/dx2x+2y·y=0y=-x/ydx/dt=-sint,dy/dt=costdy/dx=cost/-sint=-cot t隐函数求导广泛应用于处理无法显式表示的函数关系反函数求导若y=fx的反函数为x=gy，则或写作gy=1/fx，其中y=fx导数揭示变化的秘密导数是理解世界变化规律的关键工具，它揭示了事物如何变化以及变化的速率第二章小结与应用题1速度与加速度问题物体运动中，位置函数s=st的导数表示速度，速度的导数表示加速度2函数单调性与极值判定•速度vt=st•加速度at=vt=st导数与函数性质密切相关例题一颗导弹的高度函数为ht=5t²-t³/30≤t≤15，求•若fx0，则fx在该区间单调递增

1.导弹在t=4s时的速度和加速度•若fx0，则fx在该区间单调递减

2.导弹何时达到最大高度•若fc=0且f在c点前后变号，则fx在x=c处取极值

3.最大高度是多少极值判定的一阶和二阶条件•一阶条件fc=0且f在c点前后变号•二阶条件fc=0且fc≠0•若fc0，则fc为极大值•若fc0，则fc为极小值第三章微分中值定理与函数性质罗尔定理与拉格朗日中值定理柯西中值定理及其应用罗尔定理若函数fx在[a,b]上连续，在a,b柯西中值定理若函数fx和gx在[a,b]上连内可导，且fa=fb，则存在ξ∈a,b，使得续，在a,b内可导，且gx≠0，则存在fξ=0ξ∈a,b，使得几何意义闭区间上两端函数值相等的可导函数，其图像上至少有一点的切线平行于x轴拉格朗日中值定理若函数fx在[a,b]上连应用续，在a,b内可导，则存在ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a•洛必达法则的理论基础几何意义曲线上存在一点，其切线平行于连•证明不等式接曲线两端点的割线•函数逼近和误差估计函数凹凸性与拐点判定函数凹凸性•若fx0，则fx在该区间内为凹函数（向上凹）•若fx0，则fx在该区间内为凸函数（向下凹）拐点函数凹凸性改变的点若fc=0且f在c点前后变号，则c,fc为拐点曲线形状综合分析需要结合导数符号、二阶导数符号来判断函数的增减性和凹凸性函数的极值与最值问题极值的判定方法应用优化问题实例分析寻找函数的极值通常遵循以下步骤微积分在优化问题中有广泛应用

1.求函数的一阶导数fx

1.几何优化求最大面积、最小周长等

2.解方程fx=0，得到驻点

2.经济优化最大利润、最小成本

3.对每个驻点，使用以下方法之一判断极值

3.物理优化最短时间路径•一阶导数符号法考察fx在驻点前后的符号变化优化问题求解步骤•二阶导数法若fc0，则fc为极大值；若fc0，则fc为

1.明确优化目标（目标函数）极小值

2.确定约束条件高阶导数法当fc=fc=...=f^n-1c=0，f^nc≠0时，若n为偶数且f^nc0，则fc为极大值若n为偶数且f^nc0，则

3.表达目标函数为单一变量的函数fc为极小值若n为奇数，则不是极值点

4.求导并寻找临界点

5.验证极值性质并得出结论例题在周长固定为10的矩形中，求面积最大的矩形曲线的形态语言通过分析函数的导数，我们能揭示曲线的凹凸性和拐点，理解函数图像的形态特征第三章小结与综合练习中值定理应用题函数性质综合分析中值定理是微积分中连接导数与函数关系的重要桥梁，常用于函数分析的完整流程•证明方程的根的存在性与唯一性

1.求定义域与特殊点（间断点等）•函数不等式的证明

2.求一阶导数，分析单调区间与极值点•误差估计与近似计算

3.求二阶导数，分析凹凸性与拐点典型例题

4.确定渐近线（水平、垂直、斜渐近线）

5.绘制函数图像

1.证明方程x³+x+1=0在区间[-2,-1]内有且仅有一个根综合应用例题

2.证明不等式|sin a-sin b|≤|a-b|对任意实数a、b成立

3.若fx≤M，证明|fb-fa|≤M|b-a|对函数fx=x³-3x²+2进行完整分析，包括•求函数的单调区间与极值•求函数的凹凸区间与拐点•描述函数图像的主要特征第四章不定积分与积分的基本概念不定积分的定义与几何意义分部积分法详解不定积分是微分的逆运算若Fx=fx，则称Fx为fx的一个原函数，记为分部积分公式其中C是积分常数几何上，不定积分表示一族平行曲线，它们的导数都是被积函数或记为∫udv=uv-∫vdu基本积分公式与换元法适用情况基本积分公式•∫x^n·e^x dx•∫x^n·sin x dx,∫x^n·cos x dx•∫x^n dx=x^n+1/n+1+C n≠-1•∫x^n·ln xdx•∫1/xdx=ln|x|+C•∫e^x·sin xdx,∫e^x·cos xdx•∫e^xdx=e^x+C•∫sin xdx=-cos x+C选择方法通常选择容易微分的函数作为u，选择容易积分的函数作为dv特别地，LIATE法则对数函数→反三角函数→代数函数→三角函数→指数函数•∫cos xdx=sin x+C第一换元法（凑微分法）利用d[fx]=fxdx第二换元法令x=gt，则dx=gtdt定积分的定义与性质123定积分的黎曼和定义定积分的性质与计算技巧牛顿-莱布尼茨公式定积分的基本概念定积分的基本性质微积分基本定理若Fx是fx的一个原函数，则•线性性质∫[afx+bgx]dx=a∫fxdx+b∫gxdx•积分区间可加性∫_a^b fxdx+∫_b^cfxdx=∫_a^c fxdx其中[a,b]被分成n个小区间，Δx_i为第i个小•不等式性质若fx≤gx，则∫_a^b记为∫_a^b fxdx=[Fx]_a^b区间的长度，ξ_i为第i个小区间中的任意一fxdx≤∫_a^b gxdx点这一公式建立了定积分与不定积分的联系，•绝对值不等式|∫_a^b fxdx|≤∫_a^b大大简化了定积分的计算几何意义定积分表示曲线y=fx、直线|fx|dxx=a、x=b及x轴所围成的区域的面积（当计算定积分的一般步骤fx≥0时）特殊积分

1.求出被积函数的不定积分物理意义变力做功、变密度的质量、变速•∫_a^a fxdx=

02.代入积分上下限求差度的位移等•∫_a^b fxdx=-∫_b^a fxdx例如∫_0^1x²dx=[x³/3]_0^1=1/3-0=•∫_a^b c·dx=cb-a1/3定积分的应用面积计算定积分可以计算各种平面区域的面积•曲线y=fx与x轴之间的区域S=∫_a^b|fx|dx•两曲线y=fx和y=gx之间的区域S=∫_a^b|fx-gx|dx•参数方程表示的曲线围成的区域S=∫_α^βxtytdt•极坐标下的面积S=1/2∫_α^βr²θdθ例题计算抛物线y=x²与直线y=2x之间的面积体积计算（旋转体）旋转体体积计算方法•绕x轴旋转V=π∫_a^b[fx]²dx•绕y轴旋转V=2π∫_a^b x·fxdx•圆盘法将区域分割成垂直于旋转轴的薄圆盘•圆环法将区域分割成垂直于旋转轴的薄圆环例题计算曲线y=sin x在[0,π]内绕x轴旋转所得旋转体的体积弧长与曲面积分简介弧长计算公式•直角坐标L=∫_a^b√1+[fx]²dx•参数方程L=∫_α^β√[xt]²+[yt]²dt•极坐标L=∫_α^β√r²θ+[rθ]²dθ曲面面积计算绕x轴旋转的曲面面积S=2π∫_a^b fx·√1+[fx]²dx曲面积分是高等微积分的内容，用于计算曲面上的标量场或向量场的积分积分让面积变立体积分不仅能计算平面区域的面积，还能通过旋转体的概念延伸到三维空间，计算复杂立体的体积第四章小结与典型例题积分计算综合练习应用题解析积分计算的常用技巧积分在物理学中的应用•凑微分法识别并构造完全微分•变力做功W=∫_a^b Fxdx•换元法复杂函数简化•变速运动的位移s=∫_t₁^t₂vtdt•分部积分法处理不同类型函数的乘•流体压力P=∫_a^bρghxwxdx积•质心计算x̄=∫xdm/∫dm•有理函数积分部分分式分解应用例题•三角代换处理含根号的代数式一个水槽的横截面是等边三角形，底边典型例题长为2m，高为√3m若水槽中装满水，计算例1:∫x²+1/x³+3xdx例2:

1.水对槽底的总压力∫sin²x·cos³xdx例3:∫√a²-x²dx例4:∫lnx²+1dx

2.水对一侧槽壁的总压力提示水的密度为1000kg/m³，重力加速度g=

9.8m/s²第五章微积分基本定理与函数展开微积分基本定理详解泰勒公式与麦克劳林公式函数展开与近似计算微积分基本定理建立了导数与积分的关系泰勒公式是将函数在某点附近展开为幂级数泰勒展开的应用

1.第一基本定理若Fx=∫_a^x ftdt，则Fx=•函数近似计算π=41-1/3+1/5-1/7+...fx•复杂函数的积分∫_0^1e^-x²dx可通过展开

2.第二基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）∫_a^b e^-x²计算fxdx=Fb-Fa•极限计算limx→0sin x-x/x³=limx→0微积分基本定理的深刻意义-x³/6+ox³/x³=-1/6其中R_nx是余项，表示近似误差•证明不等式利用函数展开证明sin xx x0•统一了微分学和积分学麦克劳林公式是泰勒公式在a=0时的特例近似计算的误差控制•揭示了导数与积分互为逆运算•为各种积分提供了计算方法拉格朗日型余项R_nx=f^n+1ξx-a^n+1/n+1!，其中ξ介于a和x之间例证明d/dx[∫_0^x sint²dt]=sinx²例用泰勒公式计算√17的近似值，精确到小数点后3位常用函数的麦克劳林展开•e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+...•sin x=x-x³/3!+x⁵/5!-...•cos x=1-x²/2!+x⁴/4!-...级数与收敛性初步数项级数定义收敛判别法简介数项级数是形如a₁+a₂+a₃+...+a+...的无穷常用判别法ₙ和，记为∑aₙ•比较判别法通过与已知收敛或发散的级数比较部分和数列Sₙ=a₁+a₂+...+aₙ•比值判别法若lim|a/a|=r，则当r1ₙ₊₁ₙ时收敛，r1时发散级数收敛若limn→∞S=S存在，则称级数收ₙ敛，S为级数的和•根值判别法若lim|a|^1/n=r，则当r1时收ₙ敛，r1时发散级数发散若极限不存在，则称级数发散•积分判别法∑fn与∫fxdx的收敛性相同常见级数•交错级数判别法（莱布尼茨判别法）对于交错级数∑-1^n·a，若{a}单调递减且趋于0，•几何级数∑r^n|r|1时收敛，和为1/1-rₙₙ则级数收敛•调和级数∑1/n发散幂级数与函数表示•p级数∑1/n^p p1时收敛，p≤1时发散级数的性质幂级数形如∑a x-a^n，是x的函数ₙ•线性性质∑αa+βb=α∑a+β∑b收敛半径存在R≥0，使得|x-a|R时级数发散ₙₙₙₙ•收敛级数添加、删除、改变有限项，收敛性不变收敛域幂级数收敛的x值的集合幂级数的性质•在收敛区间内可以逐项求导和逐项积分•可以表示各种初等函数•是解决微分方程的重要工具无限逼近的艺术泰勒级数通过无限项的多项式逐渐逼近原函数，每增加一项都能提高近似精度第五章小结与练习12泰勒展开应用题级数收敛性练习泰勒展开在数学分析中有广泛应用级数收敛性分析是高等分析的重要内容•函数值近似计算•级数收敛的必要条件通项极限为0•复杂极限求解•收敛性与项的顺序条件收敛级数对项的重排敏感•定积分近似计算•函数项级数的一致收敛性关系到逐项运算的合法性•微分方程求解练习题练习题

1.判断级数∑n/n²+1的收敛性

1.求函数fx=ln1+x在x=0处的3阶泰勒展开式

2.判断交错级数∑-1^n·n/n²+1的收敛性

2.利用泰勒展开求极限limx→0e^x-1-x/x²

3.求幂级数∑n·x^n的收敛半径和收敛域

3.利用适当的泰勒展开计算∫_0^

0.1sinx²dx的近似值，精确到小

4.将函数fx=1/1-x²展开为幂级数数点后4位第六章多元函数微积分基础多元函数定义与图形偏导数与全微分多元函数是指具有多个自变量的函数z=fx,y或w偏导数表示函数沿坐标轴方向的变化率=fx,y,z等•∂f/∂x固定y，求f对x的导数二元函数的图像是三维空间中的曲面常见的二元函•∂f/∂y固定x，求f对y的导数数图像高阶偏导数∂²f/∂x²,∂²f/∂y²,∂²f/∂x∂y等•平面z=ax+by+c全微分df=∂f/∂xdx+∂f/∂ydy•抛物面z=x²+y²•双曲抛物面z=x²-y²全微分表示函数值的总变化量，是各个方向变化的综合•椭球面x²/a²+y²/b²+z²/c²=1方向导数与梯度向量多元函数的重要概念方向导数表示函数在任意方向上的变化率•定义域所有使函数有意义的自变量取值的集合•水平集函数值相同的点的集合，如等高线•极限当x,y→a,b时，fx,y→L•连续性极限与函数值相等梯度向量∇f=∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z梯度的几何意义•梯度方向是函数增长最快的方向•梯度的模是最大方向导数•梯度垂直于水平集（等高线）多元函数极值与拉格朗日乘数法条件极值问题无条件极值判定典型优化问题实例条件极值问题指在约束条件gx,y,z=0下求多元函数极值的必要条件在极值点处偏导多元函数优化在实际应用中十分重要函数fx,y,z的极值数为

01.最小距离问题求空间点到曲面的最短拉格朗日乘数法是解决条件极值的主要方对于二元函数fx,y，设∂f/∂x=∂f/∂y=0距离法在点a,b处成立，则

2.经济问题多种生产要素下的利润最大化

1.构造拉格朗日函数Lx,y,z,λ=令A=∂²f/∂x²,B=∂²f/∂x∂y,C=∂²f/∂y²，fx,y,z-λgx,y,z判别式D=AC-B²

3.几何问题固定体积下表面积最小的几何体

2.令L对各变量的偏导数为0∂L/∂x=0,•若D0且A0，则a,b为极大值点∂L/∂y=0,∂L/∂z=0,∂L/∂λ=0经典例题•若D0且A0，则a,b为极小值点

3.解方程组得到可能的极值点•若D0，则a,b为鞍点（非极值点）•在平面x+y+z=1上求距原点最近的点

4.对多个条件使用多个拉格朗日乘数•若D=0，需进一步分析•求体积为V的长方体，当表面积最小时几何意义在极值点处，目标函数的梯度与的尺寸海森矩阵及其特征值也可用于高维情况的判约束曲面的法向量平行定•生产函数Cx,y=x^

0.5·y^

0.3下，成本约束ax+by=M的最优生产方案多维空间的变化多元微积分将导数和积分的概念拓展到多维空间，使我们能理解和分析更复杂的数学结构与物理现象第六章小结与综合练习多元函数求导与极值实际问题建模与求解多元微积分扩展了单变量微积分的概念，使我多元微积分在实际问题中的应用们能处理多个变量的函数本章要点包括•物理学热传导、电磁场、流体力学•经济学效用最大化、成本最小化•多元函数的连续性与可微性•工程学结构优化、控制系统•偏导数与方向导数的计算•统计学回归分析、最大似然估计•梯度、散度与旋度的物理意义综合应用例题•多元函数的泰勒展开•无条件与条件极值问题某工厂生产两种产品A和B，产量分别为x和y已知生产成本函数Cx,y=2x²+y²+xy+•拉格朗日乘数法与其几何解释10，销售收入函数Rx,y=10x+8y练习题

1.求利润函数Px,y=Rx,y-Cx,y

1.求函数fx,y=x²e^y在点1,0处沿向量

2.求使利润最大的产量组合x,y3,4方向的方向导数

3.若资源限制使得x+2y≤10，求在此约束

2.验证函数fx,y,z=xy+yz+zx的梯度是下的最优产量否满足∇·∇f=

03.求函数fx,y=x³+y³-3xy的所有临界点并判断极值性质课程总结与学习建议微积分核心思想回顾学习微积分的常见误区微积分的核心思想可归纳为以下几点学习微积分常见的误区•极限思想通过无限逼近过程理解数学概念•导数思想局部线性近似与变化率•重计算轻概念只记公式不理解原理•积分思想无限分割与累加•忽视几何直观未能建立几何与代数的联系•微积分基本定理微分与积分的统一•孤立知识点未能将各章节知识融会贯通•级数展开用简单函数逼近复杂函数•缺乏应用意识不了解微积分在实际问题中的应用这些思想不仅是数学工具，也是理解自然科学的基本方•求快不求精急于求解而忽视严谨性法进阶学习资源推荐有效的学习策略推荐进阶学习资源高效学习微积分的策略•教材《普林斯顿微积分读本》（中文版）•概念理解用自己的话解释每个概念•教材《数学分析》（陈纪修、於崇华、金路）•几何直观尝试画图理解数学关系•在线课程MIT开放课程《单变量微积分》和《多变•手动计算亲自解题而非仅看解答量微积分》•联系应用将概念与实际问题关联•应用读物《微积分的力量》（詹姆斯·斯图尔特）•教学相长向他人解释加深理解•网站3Blue1Brown数学可视化视频系列•定期复习构建知识网络而非线性记忆进阶方向实分析、复分析、微分方程、微分几何等致谢与互动环节欢迎提问与讨论推荐优质开源课件资源链接微积分是一门需要不断思考和实践的学科，如以下是一些优质的开源微积分学习资源有任何问题或困惑，欢迎随时提出•国内资源中国大学MOOC平台微积分课•概念理解方面的问题程•解题技巧与方法的困惑•国际资源Khan Academy微积分系列（中文字幕）•微积分在专业领域的应用•视频资源3Blue1Brown《微积分的本•学习方法与资源推荐质》系列我们鼓励学生之间相互讨论，共同探索微积分•练习资源高校数学学习网习题库的奥秘课后可通过学习平台留言或课程讨论•可视化工具GeoGebra微积分应用区交流鼓励自主探索与实践微积分的真正魅力在于解决实际问题鼓励大家•在专业领域中寻找微积分的应用•参与数学建模竞赛•尝试用微积分解决生活中的问题•深入探索理论背后的历史与哲学。