排列与排列数教学课件

排列与排列数掌握计数的艺术序章计数之困:在我们的日常生活中，我们常常面临各种需要计数的场景安排座位、设置密码、选择不同的路线...这些看似简单的问题，当选择增多时，很快就变得复杂起来一日之计简单选择背后的难题日常选择的计数问题在我们的日常生活中，简单的选择往往隐藏着数学问题•早上穿衣3件衬衫，2条裤子，有多少种搭配？•午餐选择5道主菜，4种饮品，有多少种不同套餐？这些简单计数，我们能直接算出来3×2=6种衣服搭配；5×4=20种午餐组合挑战密码锁与图书馆密码锁挑战图书馆排序问题4位数字密码，每位可以是0-9的任意数字5本新书如何摆放在一排书架上？有多少种可能的密码组合？这个问题开始变得复杂10×10×10×10=10,000种我们很难直观地列举所有可能性这个数量虽然很大，但我们还能通过直观的乘法计算出来为什么我们需要排列？当我们面对的选择变多，或者当顺序变得重要时，简单的数变得极其困难•元素数量增加可能性呈爆炸式增长•顺序重要同样的元素，不同的顺序被视为不同的结果•直观计数失效不可能一一列举所有可能性第一章乘法原理与排列的诞生:乘法原理分步完成的智慧乘法原理的意义乘法原理的应用条件乘法原理的定义每一步的选择必须独立于先前的步骤（或者如果完成一件事需要分n个步骤，每个步骤说，选择之间的关系是确定的）有m₁,m₂,...,m种方法，那么完成这ₙ件事的总方法数是m₁×m₂×...×mₙ例从北京到上海考虑一个简单的旅行路线问题•从北京到南京有3条不同的路线•从南京到上海有2条不同的路线那么，从北京经南京到上海，总共有多少种不同的路线选择？应用乘法原理第一步（北京到南京）3种选择第二步（南京到上海）2种选择什么是排列？排列的正式定义从n个不同元素中，取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，称为一个排列排列的两个关键特征不同元素每个元素都是独特的顺序重要相同元素的不同顺序被视为不同的排列排列与组合的区别顺序是关键排列Permutation顺序很重要例选出张

三、李四，并让他们分别坐第

一、第二排张三坐第一排，李四坐第二排与李四坐第一排，张三坐第二排是两种不同的排列组合Combination顺序不重要例选出张

三、李四去参加会议无论谁先谁后，都被视为同一个组合排列的直观探索小球入盒让我们通过一个简单的例子，直观理解排列有红、黄、蓝3个不同颜色的球从中取出2个球排成一列，有多少种不同的排列方法？列举所有可能

1.红球在前，黄球在后红黄

2.黄球在前，红球在后黄红

3.红球在前，蓝球在后红蓝

4.蓝球在前，红球在后蓝红

5.黄球在前，蓝球在后黄蓝

6.蓝球在前，黄球在后蓝黄第二章排列数的奥秘:挑战个足球队员选个罚点球32假设有A、B、C三名足球队员，需要选出其中两人按顺序罚点球有多少种不同的选择方案？分步分析第一个罚点球的队员可以从A、B、C三人中选择，有3种可能第二个罚点球的队员只能从剩下的2人中选择，有2种可能应用乘法原理总的选择方案数=3×2=6种排列数的符号表示排列数的标准符号排列数符号的应用从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号$A_n^m$或在前面的例子中$P_n^m$表示3个足球队员选2人罚点球=$A_3^2=6$读作从n个中选m个的排列数3色小球取2个排列=$A_3^2=6$推导排列数的公式一步步构建第一个位置第二个位置第三个位置从n个元素中选择一个放在第一个位置从剩下的n-1个元素中选择一个放在第二个从剩下的n-2个元素中选择一个放在第三个位置位置有n种不同的选择有n-1种不同的选择有n-2种不同的选择推导排列数的公式个位置的填空m继续我们的推导，对于任意m个位置•第1个位置n种选择•第2个位置n-1种选择•第3个位置n-2种选择•...•第m个位置n-m-1种选择化简最后一项n-m-1=n-m+1根据乘法原理，总的排列数为揭秘排列数的公式$A_n^m=nn-1n-

2...n-m+1$这个公式是从n个不同元素中取出m个元素进行排列的所有可能性数量它包含了m个连续整数的乘积，从n开始，依次递减，直到n-m+1验证$A_3^2=3\times2=6$（与我们之前的例子结果一致）阶乘数学世界的强大工具阶乘的定义从1开始，到n的所有自然数的乘积，记作n!例如$5!=5\times4\times3\times2\times1=120$特殊规定$0!=1$（看似奇怪，但这是为了公式的统一性和便利性）阶乘的值增长极快！•$5!=120$•$10!=3,628,800$用阶乘表示排列数公式我们可以用阶乘重写排列数公式，使其更加简洁这一形式简洁而强大，大大简化了计算验算$A_3^2=\frac{3!}{3-2!}=\frac{3!}{1!}=\frac{3\times2\times1}{1}=6$结果与我们之前的直观计算完全一致！特殊情况全排列全排列的定义全排列的计算当m=n时，即从n个不同元素中取出$A_n^n=n\times n-1所有n个元素进行排列\times...\times1=n!$这种特殊情况称为全排列全排列的数量就是n的阶乘实际应用例子3本不同的书全部摆在一排书架上，有多少种摆法？第三章排列数生活中的魔法:案例体育竞赛中的排名1问题描述8名运动员参加100米短跑决赛，获得前三名（金、银、铜牌）的情况有多少种？问题分析这是典型的排列问题，因为顺序非常重要•不同的运动员获得不同名次，被视为不同的结果•我们关心的是前三名的具体排序解决方案案例数字的组合2问题描述用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？问题分析这是一个有特殊限制的排列问题三位数的百位不能为0，而且数字不能重复使用解决方案•百位不能为0，只能从1,2,3,4中选择，有4种选择•十位从剩下的4个数字中选择，有4种选择•个位从剩下的3个数字中选择，有3种选择案例3座位安排问题描述班级有10名同学，教室有12个空座位有多少种不同的入座方式？问题分析这是一个排列问题•我们需要从12个座位中选择10个，分配给10名同学•每名同学坐在不同的座位被视为不同的安排解决方案应用排列数公式案例密码与安全4问题描述问题分析一个网站要求用户设置6位密码，允这是一个排列问题许使用26个英文字母大小写不敏感•总共有26+10=36个可选字符和10个数字如果密码不允许重复字•需要从中选择6个不同的字符符，有多少种可能的密码？•字符的顺序很重要解决方案进阶思考带限制条件的排列问题描述5个人排队，其中甲和乙必须相邻，有多少种排法？问题分析这是一个带有特殊限制的排列问题解决这类问题的关键是转化思路•将甲乙视为一个整体•先排列这个整体与其他3人•再考虑甲乙内部的排列解决方案第一步将甲乙视为一个整体，与其他3人一起排列，共4个元素的全排列$A_4^4=4!=24$种第二步考虑甲乙内部的排列$A_2^2=2!=2$种第四章掌握排列解题之路:如何识别排列问题？123关注关键词判断顺序重要性应用排列数公式排列问题常见的关键词包括排、序、核心判断标准顺序是否会影响结果？明确n（总元素数）和m（取出元素数），列、编号、名次、首尾、高低、先然后套用公式$A_n^m=如果改变元素的顺序会得到一个不同的结后等\frac{n!}{n-m!}$果，那么这就是一个排列问题这些词汇往往暗示问题涉及顺序安排快速练习巩固所学练习题1练习题2班级有5名同学，选3名同学参加朗诵比用数字1,2,3,4,5能组成多少个不同的两赛，并确定出场顺序，有多少种不同的位数？方案？解析这是一个排列问题，两位数的十解析这是一个典型的排列问题，需要位和个位都可以使用1-5的任意数字，且从5人中选出3人并排序不允许重复应用排列数公式$A_5^3=5\times•十位可以从5个数字中任选，有54\times3=60$种不同的方案种选择•个位从剩下的4个数字中选择，有4种选择总结排列数，有序世界的计数利器排列的核心概念排列数的数学公式排列数是处理有序选择问题的核心排列数将复杂的列举问题简化为简洁工具，它关注元素的选择和排序的数学公式$A_n^m=\frac{n!}{n-m!}$排列数的应用价值掌握排列数，你将拥有解决从密码设计到赛事排名的强大计数能力，解锁更多数学世界的奥秘！。