新人教版实数教学课件

实数教学数学的基础建筑-课程目录12实数的概念与分类数轴与实数的对应认识实数的定义、有理数与无理数的区别以及实数集合的结构关系理解数轴的构造方法，掌握实数与数轴点的一一对应关系34实数的运算性质实数的应用与综合练习学习实数的加法、乘法等运算规律及其应用第一章什么是实数？实数是数学中的一个基本概念，它包含了所有有理数和无理数的集合在我们的日常生活中，实数无处不在•测量长度时的厘米数（如身高

173.5厘米）•称重时的千克数（如苹果重

0.25千克）•温度计上的读数（如今天气温

25.7℃）•圆的周长与直径比值（π≈

3.

14159...）有理数回顾有理数的定义有理数的表现形式有理数的特点可以表示为两个整数的比（分数形式）整数、分数、有限小数、无限循环小数可以在数轴上精确定位$\frac{p}{q}$（其中$q\neq0$）的数例如-

5、$\frac{3}{4}$、

2.

5、

0.

333...满足加法、乘法等运算的封闭性在数轴上构成稠密集合无理数简介无理数是不能表示为两个整数的比的实数，它们在小数表示中永远是无限不循环小数最著名的无理数包括•√2≈

1.

41421356...•π≈

3.

14159265...•e≈

2.

71828182...•黄金比例φ≈

1.

61803398...无理数的存在对古希腊毕达哥拉斯学派是一个极大的震撼，他们曾相信世界可以用整数和分数完全描述无理数的直观体现在数轴上，无理数占据着缝隙般的位置尽管我们无法用分数精确表示它们，但可以通过几何方法确定它们的位置•√2可以通过单位正方形的对角线长度在数轴上确定•π可以通过单位圆的周长与直径比值确定实数的分类总结整数Z有理数Q包括正整数、零和负整数可表示为分数的数例如-2,-1,0,1,

2...例如$\frac{1}{2}$,

0.75,-

1.

33...实数R无理数包含所有有理数和无理数不可表示为分数的数对应数轴上的所有点例如√2,π,e...第二章数轴的定义与构造数轴是表示实数的几何工具，它建立了数与几何之间的桥梁构造数轴需要以下步骤

1.绘制一条无限延伸的直线

2.选定一点作为原点，标记为

03.选定一个单位长度

4.规定正方向（通常向右为正）通过这种方式，我们建立了几何与代数的联系直线上的点与实数一一对应实数与数轴点的对应唯一对应原则每个实数唯一对应数轴上的一点；每个数轴上的点也唯一对应一个实数对应方式实数a对应的点是从原点出发，向正方向（如果a0）或负方向（如果a0）移动|a|个单位长度所到达的点完备性体现数轴上的每一点都有对应的实数，不存在空隙，这体现了实数系的完备性数轴上的点如何表示实数？在数轴上表示实数时，需要根据实数的性质采用不同的方法整数直接在数轴上标记对应的刻度点例如-2,0,5有理数可通过分数或小数精确定位例如-

3.5,$\frac{2}{3}$无理数通过几何构造确定位置例如√5,-√3数轴上的实数定位整数点

1...-2,-1,0,1,

2...等点，间隔均为单位长度分数点2如$-\frac{3}{4}$,$\frac{1}{2}$等点，将单位区间等分无理数点如π,√2,-√3等点，通过几何方法确定数轴的应用举例比较实数大小计算距离（绝对值）在数轴上，位置越靠右的数越大，越靠左的数越小这提供了比较实数大小的直观方法两个实数a和b在数轴上对应点之间的距离等于|a-b|•3-5（3在-5的右侧）•|5-2|=3（5和2之间的距离）•√

21.5（√2约为

1.

414...，在

1.5的左侧）•|-3-2|=|-5|=5（-3和2之间的距离）•-2-π（-2约为-2，-π约为-

3.

14...，-2在-π的右侧）•|0-π|=π（0和π之间的距离）第三章实数的运算性质加法与乘法的封闭性实数加法的封闭性实数乘法的封闭性任意两个实数的和仍然是实数任意两个实数的积仍然是实数形式化表述对于任意的实数a和b，a+b形式化表述对于任意的实数a和b，a×b仍然是实数仍然是实数•3+5=8•2×3=6•-

2.5+

1.7=-

0.8•-4×

0.5=-2•√2+π≈

4.

55...•√3×√2=√6封闭性是实数系统的基本性质之一，保证了我们可以在实数范围内自由进行加法和乘法运算，而不会跳出实数系统交换律、结合律加法交换律加法结合律a+b=b+a a+b+c=a+b+c例如3+5=5+3=8例如2+3+4=2+3+4=9√2+π=π+√2乘法交换律乘法结合律a×b=b×a a×b×c=a×b×c例如2×5=5×2=10例如2×3×4=2×3×4=24π×√3=√3×π这些基本运算律使我们能够灵活调整计算顺序，简化计算过程它们是代数运算的基础，适用于所有实数分配律乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律是实数运算中的重要性质，表示为这一性质可以在数轴上通过面积模型直观理解•左侧以a为高，b+c为底的矩形面积•右侧以a为高，b为底的矩形面积加上以a为高，c为底的矩形面积具体例子•2×3+4=2×3+2×4=6+8=14•5×

1.5+

2.5=5×

1.5+5×

2.5=

7.5+

12.5=20•√2×3+π≈√2×3+√2×π≈

4.24+

4.44=

8.68分配律是代数运算的基本工具，广泛应用于多项式展开、因式分解等代数操作中，也是证明许多数学定理的重要手段实数的运算规律总结封闭性交换律结合律加法封闭a+b∈R加法a+b=b+a加法a+b+c=a+b+c乘法封闭a×b∈R乘法a×b=b×a乘法a×b×c=a×b×c实数集合在加法和乘法运算下是封闭的运算顺序可交换不影响结果分组方式不影响计算结果分配律单位元逆元a×b+c=a×b+a×c加法单位元a+0=a加法逆元a+-a=0乘法对加法满足分配性质乘法单位元a×1=a乘法逆元（a≠0）a×1/a=1这些运算规律是实数系统的基本性质，为代数运算和数学推导提供了坚实基础掌握这些规律有助于简化计算、解方程和证明定理第四章实数的应用与综合练习例题利用数轴比较实数大小1题目比较√3和

1.7的大小解法一通过估算•√3≈

1.

732...•

1.7=

1.

700...•因此√

31.7解法二通过平方•由于

1.70且√30，可比较它们的平方•√3²=3•

1.7²=

2.89•

32.89，所以√

31.7在数轴上，√3位于

1.7的右侧，因此√

31.7这个例子说明了处理无理数与有理数比较的两种常用方法

1.通过小数近似值直接比较

2.通过适当变换（如平方）转化为更容易比较的形式例题计算实数的绝对值21计算|−5|根据绝对值定义，对于任意实数x由于-50，所以|-5|=--5=52计算|√2−2|首先计算√2−2的值√2≈

1.

414...√2−2≈

1.414-2≈-

0.

586...由于√2−20，所以|√2−2|=-√2−2=2-√2≈

0.

586...绝对值可以理解为数轴上一个点到原点的距离对于任意实数a，|a|表示a在数轴上对应点与原点之间的距离例题3实数的四则运算题目计算−

3.5+√2×2解题思路根据运算顺序，先计算乘法，再计算加法步骤一计算√2×2•√2≈

1.

414...•√2×2≈

1.414×2≈

2.

828...步骤二计算−

3.5+√2×2•−

3.5+√2×2≈-

3.5+

2.828≈-

0.

672...因此，−

3.5+√2×2≈-

0.672课堂互动实数分类小游戏请判断以下数字分别属于哪类实数

0.251这是一个有限小数，可以表示为分数$\frac{1}{4}$，所以是有理数

0.

333...2这是一个无限循环小数，可以表示为分数$\frac{1}{3}$，所以是有理数π3π是一个无限不循环小数，不能表示为分数形式，所以是无理数√94√9=3，是一个整数，所以是有理数√75√7是一个无限不循环小数，不能表示为分数形式，所以是无理数通过这个小游戏，我们可以巩固对有理数和无理数的识别能力，加深对实数分类的理解重点回顾1实数的定义与分类实数是有理数和无理数的总称，对应数轴上的所有点•有理数可表示为分数的数2数轴与实数的对应•无理数不可表示为分数的数每个实数唯一对应数轴上的一点，反之亦然3•构造数轴原点、单位长度、方向实数的运算性质•一一对应体现实数的连续性实数满足多种重要的运算性质，是代数运算的基础•封闭性加法、乘法结果仍是实数4实数的应用•交换律、结合律运算顺序可调整•分配律乘法对加法的分配实数在实际问题中有广泛应用•比较大小通过数轴直观比较•计算距离使用绝对值概念•四则运算按照运算规则计算常见误区解析误区一所有无限小数都是无理误区二数轴上的点与实数的对误区三无理数不能精确表示数应关系错误观点由于无理数不能表示为分数错误观点许多学生认为所有无限小数错误观点有些学生认为数轴上可能存或有限小数，有些学生认为无理数不能都是无理数在没有对应实数的点，或者某些实数可精确表示能没有对应的点正确解释无限小数分为无限循环小数正确解释虽然无理数不能用分数或有和无限不循环小数无限循环小数（如正确解释实数与数轴上的点是一一对限小数表示，但可以通过其他方式精确

0.

333...）是有理数，可以表示为分数形应的，每个点都对应唯一一个实数，每表示，如√

2、π等符号表示，或通过几何式；只有无限不循环小数（如π）才是无个实数也都对应唯一一个点这种完美方法在数轴上精确定位理数对应是实数系统完备性的几何体现理解和澄清这些常见误区，有助于我们建立正确的实数概念，避免在学习和应用中犯错拓展阅读实数的历史与发展古希腊时期近代实数理论古希腊数学家最早发现了无理数的存在毕达哥拉斯学派在尝试计算正方形对角线长度时，发现√2不能表示为两个整数的比这一发现震撼了当时的数19世纪，数学家们开始对实数进行严格的定义戴德金通过戴德金分割定义了实数，康托尔则通过柯西序列给出了另一种定义这些工作使实数理论学界，因为他们原本认为所有数都可以用整数比表示变得严谨完备中世纪与文艺复兴阿拉伯数学家对小数的研究和欧洲文艺复兴时期的代数发展，为实数理论奠定了基础17世纪，笛卡尔将几何与代数联系起来，创立了解析几何，建立了数与几何之间的桥梁教学总结连接代数与几何实数是数学的基础实数通过数轴建立了代数与几何之间的联系，使抽象的数概念具有了直观的几何意义实数系统是整个数学体系的基础，它的完备性保证了数学分析、几何学等领域的发展提供实际工具实数为我们提供了描述物理世界中各种量的精确工具，是科学研究和工程应用的基础培养思维能力助力后续学习研究实数有助于培养逻辑思维、抽象思维和数学直觉，提升整体数学素养掌握实数知识是学习函数、极限、微积分等高级数学概念的必要条件通过本课程的学习，我们不仅掌握了实数的基本概念和性质，更理解了它在整个数学体系中的重要地位希望这些知识能够帮助大家在今后的数学学习中打下坚实基础课后练习推荐教材配套习题精选在线资源与视频讲解

1.判断以下数字是有理数还是无理数

0.

525252...,√8,√25,

3.14为帮助大家更好地理解实数知识，建议参考以下在线学习资源

2.在数轴上准确标出-

2.5,$\frac{3}{4}$,√3,-√5•国家中小学网络云平台数学频道的实数专题

3.比较大小并说明理由√7与

2.6,π与

3.2,$\frac{22}{7}$与π•一起中学平台的实数互动练习

4.计算√3+2√3-2,|5-√27|,$\frac{√8+√2}{√8-√2}$•学科网上的实数应用题集锦

5.证明对于任意非负实数a和b，$\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}$•人教数字教材的实数章节动画演示•中国大学MOOC平台上的高中数学基础课程建议同学们在完成课后练习时，先独立思考，再查阅参考答案，最后总结归纳解题方法和技巧，形成自己的知识体系谢谢聆听期待您的提问与交流实数是数学世界的基石，掌握它将为您打开更广阔的数学视野无论您是对基础概念有疑问，还是想了解更深入的应用，都欢迎随时提出愿每位同学都能在数学学习的道路上不断进步，发现数学的美妙与力量！。