杨辉三角教学课件

杨辉三角教学课件第一章杨辉三角的起源与历史背景杨辉数历这数结蕴数规连数三角源于中国古代学智慧，距今已有近千年史一学构含着丰富的学律，接了东西方学文显数贡化，彰了中国古代学家的卓越献杨辉三角的名字由来中国命名西方称谓更早记载杨辉数杨辉约称为三角因宋代学家（1238-1298西方帕斯卡三角（Pascals早在中国汉代的《周髀算经》及东汉《九章详纪数莱术图记载数年）在《解九章算法》中系统描述而得Triangle），因17世法国学家布算》中已有类似形的，表明中国杨辉仅结还详细对进对这数结认识名不展示了三角形构，解兹·帕斯卡（1623-1662）其行了系统学家一学构的已有2000多年释数质应约历了其学性和用研究和推广，但比中国晚了400年史千年传承的数学奇迹杨辉三角的基本定义1顶端与边界顶为数侧为三角形的端1，随着行增加，每行的两均1，构成三角形的边界2中间数字的生成数数每个非边界字等于其正上方左右两个字之和，即Cn,k=Cn-1,k-1+Cn-1,k无限延伸性杨辉三角的构造演示第二行第一行数侧为第二行有两个字1,1（两均1）顶数三角形端第一行只有一个字1第四行第三行数第四行有四个字1,3,3,1（其中3=1+2,另一个3=2+1）数第三行有三个字1,2,1（中间的2=1+1）互动问题请们尝试写数为同学出第六行的字提示第五行1,4,6,4,1为验答案第六行1,5,10,10,5,1（算5=1+4,10=4+6,10=6+4,5=4+1）第二章杨辉三角的数学规律与性质杨辉仅简单数蕴数规质过三角不是一个的字排列，它含着丰富而深刻的学律与性通探这规们现数内连贯数维索些律，我能够发学的在美和性，也能更好地理解学思的精妙之处这节们将讨杨辉对称数规组数关在一章中，我系统地探三角的性、字和律、与合的系、数隐关产图特殊列的藏系，以及模运算生的奇妙案对称性与边界对称性边界特性杨辉现对称数数杨辉侧数为这组数三角的每一行都呈完美的左右性，即第n行的第k个等于第n行的第n-k+1个三角的每一行两字恒1，代表了合中的特殊情况选择·Cn,0=1（从n个元素中0个的方法只有1种）选择证明思路·Cn,n=1（从n个元素中n个的方法只有1种）组数关证杨辉对称这对称组问题选择基于合的定义和递推系，可以明三角的性种性反映了合中k个与选择n-k个的等价性数字和的规律2^n-11632第n行和第5行和第6行和杨辉数三角第n行所有字之和等于2的n-1次方1+4+6+4+1=16=2^41+5+10+10+5+1=32=2^5这规过项证开数这数杨辉数一律可以通二式定理明1+1^n-1展后的系和等于2^n-1，而些系正是三角的第n行字组合数与杨辉三角组合数定义应用举例组数选数计组数计数应合Cn,k表示从n个不同元素中取k个元素的不同方案量其算公式合在概率、统和离散学中有广泛用为选组员数为·从20人中出3人成委会的方案C20,3=1140种书选择阅读·从10本中4本的不同方案有C10,4=210种张张组·扑克牌中从52牌中抽取5的可能合有C52,5=与杨辉三角的关系2,598,960种杨辉数组数说将三角第n行第k个字等于合Cn-1,k-1更准确地，如果行和列从开计数则数0始，第n行第k列的字等于Cn,k组数关杨辉合Cn,k的递推系Cn,k=Cn-1,k-1+Cn-1,k正是三角规则的构造数学的桥梁杨辉组数数结将组数转为观数三角是合学与代学的完美合点，它抽象的合公式化直的字为连数领过杨辉们观计排列，成接不同学域的重要桥梁通三角，我可以直地理解和算组数赖杂阶合，而不必依复的乘公式这数仅简组数计数内谐一学桥梁不化了合的算，也揭示了学在的和与统一从古至今，杨辉数数维三角一直是展示学美感和学思的经典案例斐波那契数列与杨辉三角斐波那契数列生活中的斐波那契数数数数数斐波那契列是一个著名的列，其中每个字是前两个字的和斐波那契列在自然界中广泛存在盘1,1,2,3,5,8,13,21,34,...·向日葵花中的螺旋排列结在杨辉三角中的隐藏·贝壳的螺旋构树·枝的分叉模式对线对杨辉数数规若沿特定的斜角方向三角中的字求和，可以得到斐波那契列·某些植物叶片的排列律互动问题请杨辉数在三角中找出前8个斐波那契1,1,2,3,5,8,13,21杨辉三角中的平方数与三角数平方数三角数杨辉对线数为线数三角的第2条斜角字1,第3条斜上的1,3,6,10,15,数数为2,3,4,5,...（自然列）21,...是三角，可表示nn+1/2对线数对应这数这数对应第3条斜角字些的累加些在几何上排列成三角形的数阵数和1,3,6,10,15,...（三角）点量数字图形化数三角1个点成第一个三角形，再加2点成第二个三角形（共3点），再加3点成第三个三角形（共6点），以此类推杨辉三角的模运算规律谢尔宾斯基三角形将杨辉数对断颜标记数数三角中的每个2取模（即判奇偶性），用不同色奇和偶，会形成图谢宾一种著名的分形案——尔斯基三角形这现杨辉数结蕴一象揭示了三角与分形几何之间的深刻联系，展示了学构中含的自相似特性其他模运算对数杨辉现图数其他字（如

3、

5、7等）取模，三角也会呈出不同的周期性案，反映了论规中的重要律数数黑色表示奇（模2余1），白色表示偶（模2余0）这结种分形构在任意放大后仍保持相似的几何特性第三章杨辉三角的应用与拓展杨辉仅数数领应过习这应们杨辉三角不是一个学奇迹，更是一个实用的学工具，在多个域有着广泛的用通学些用，我能够更好地理解三角的实际价值将讨杨辉项计数归纳项数计应这数结现本章探三角在二式定理、概率算、学法、多式系算以及几何学中的用，展示一古老学构的代意义二项式定理与杨辉三角二项式定理展开示例互动练习项开为请写开数二式定理描述了形如a+b^n的表达式a+b^3的展式出a+b^4的展式及其系开展后的一般形式答案a+b^4=1a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+1b^4数杨辉开数对应杨辉系1,3,3,1正是三角第4行（从1始系1,4,6,4,1三角第5行计数数）的字杨辉数其中Cn,k正是三角中第n行第k个开计数（从0始）概率计算中的应用硬币投掷问题示例投掷次硬币3掷币现为掷币结投n次硬，恰好出k次正面的概率投3次硬的可能果及其概率数组数正面次合概率杨辉组数掷选择现其中Cn,k是三角中的合，表示从n次投中k次出正面0次C3,0=11/8=

0.125数的方案1次C3,1=33/8=

0.3752次C3,2=33/8=

0.3753次C3,3=11/8=

0.125数学归纳法与杨辉三角证明思维训练价值杨辉三角性质证明过证杨辉质锻归纳法基本步骤通明三角的各种性，学生能够证数为为逻辑维数数以明第n行字和2^n-1例炼思能力和学推理能力，掌握学数归纳为证础归纳这证础为学法通常分两步明基情况成法一重要的明工具证则

1.基情况第1行1，1=2^0成立立，然后明若第k步成立第k+1步也成数为

2.假设第k行字和2^k-1立杨辉关证为

3.利用三角递推系明第k+1行和2^k归纳数证别证杨辉这质数结过归纳们证杨辉法是学中最强大的明工具之一，特适合明像三角样具有递推性的学构通法，我可以明三角的各种神奇性质杨辉三角与多项式系数多项式展开数学建模应用杨辉仅项开还扩项数计数项开杂数杨辉计数三角不适用于二式展，可展到多式系的算在学建模中，多式展常用于近似复函，而三角提供了一种高效算系的三项式展开示例方法计项数计对例如在金融建模、物理模拟、统分析中，多式系的快速算提高模型效率有重要意义这数杨辉杨辉维扩里的系形成了一个金字塔，是三角的三展杨辉三角的几何意义点阵排列几何解释空间坐标杨辉阵来观杨辉组数杨辉还维标三角可以用点排列直表示，其中每从几何角度看，三角中的合Cn,k可三角可以看作是n空间中整点坐的数阵数释为维维径问题关个字代表特定模式的点量以解在n超立方体中，k超平面的分布，与网格路密切相数数对线数量例如，三角（第三角上的字）可以表例如，Cn,k表示在n×k网格中，从左下角为阵数维这对应对线径数示三角形排列的点量在二情况下，于多边形的角划分到右上角的不同路量问题数字与形状的完美结合杨辉仅数现过将杨辉数转为三角不是字的排列，更是几何美学的体通三角中的值化视觉图们现数谐形，我可以发学中抽象与具象的和统一论阵还径杨辉简数规无是点排列、多边形划分是网格路，三角都以其洁的学律，构建了杂结数内创复而美丽的几何构，展示了学的在美感和造力课堂互动动手构建杨辉三角活动目标观察重点过亲杨辉对结规记忆请观规通手构建三角，加深其构和律的理解与学生重点察以下律活动步骤对称·性数将为组·每行字和的变化

1.学生分3-4人小对线数规组张纸·斜角上字的律

2.每发放一大和彩色笔数组杨辉·字的奇偶分布

3.要求各完成10行三角的构建过记录观数规

4.程中察到的字律组内讨论现

5.完成后小发选

6.派代表向全班分享过杨辉规通动手操作和合作探究，学生能够更加深入地理解三角的美妙律课堂练习题填空题问题杨辉数1三角第7行第4个字是多少？数为数为思路第7行字从左到右1,6,15,20,15,6,1，因此第4个字20释这数组数解个字等于合C6,3=6!/3!×3!=20计算题问题数2第5行字和是多少？数为解答第5行字1,4,6,4,11+4+6+4+1=16=2^4应用题问题杨辉计组数3用三角算合C6,2对应杨辉数解法C6,2三角第7行第3个字答案C6,2=15拓展阅读杨辉三角的历史趣闻中国古代数学史上的地位杨辉数现数对组数三角在中国古代学中占有重要地位，体了中国古代学家合学的深刻杨辉详续详细阐为理解在《解九章算法》和《古摘奇算法》中述了此三角形，中国传数贡统学做出了重要献帕斯卡的贡献数莱术论这数法国学家布兹·帕斯卡（1623-1662）在《算三角形》中系统研究了一将应论这现数历这列，其用于概率理的发展他并不知道一发在中国已有百年史，是数学史上东西方平行发展的典型案例现代应用案例杨辉现数应编码论络计三角在代学和科学中有广泛用从理到量子物理，从网设到统计计许础现数现分析尤其在算机科学中，它是多算法的基，体了古老学智慧在代科技中的价值数学家杨辉简介生平简述杨辉数谦说钱是南宋末年著名学家，字光，一自号松溪，塘（今浙江杭州）人生卒详约纪年不，活跃于13世中后期主要数学成就编详数·著《解九章算法》，系统整理了中国古代学成果续杨辉·在《古摘奇算法》中首次系统描述了三角术数术·发展了天元（代方程解法）和四元（多元方程解法）阶数问题·研究了高次方程和高列杨辉约历史影响（1238-1298年）杨辉数仅数为数的学成就不影响了中国学的发展，也成中国学智慧的重要象征，被后世数学家广泛研究和推崇现代应用实例计算机科学杨辉计应态规组现编三角在算法设中广泛用，如动划、合优化和搜索算法代语杨辉为归程言中，三角常作递和迭代算法的经典教学案例数据结构与算法数压缩纠错码计码杨辉组数应在据、设和密学中，三角的合特性被广泛用例罗码纠错计项数计杨辉如，里德-所门等算法的设中用到了多式系算，而三角提计供了高效的算方法统计学与概率论计计论检验杨辉组数计在统分布算、抽样理和假设中，三角的合是核心算工项项计赖组数杨辉具二分布、多分布等重要概率分布的算都依于合，而三角观计提供了直的算框架总结回顾基本定义与构造数学规律与证明顶为侧为数数对称数规组数关端1，两1，每个是其上方两之性、字和律、合系、斐波那契过简单关数蕴数数数图数和通递推系构建的字三角形，列、平方与三角、分形案等丰富学数质现证含深刻学原理性的发与明文化传承应用领域数现传现项计项开从中国古代学到代科学的智慧承，体二式定理、概率算、多式展、几何学数为语释论应计计了学作人类共同言的普适价值和东西方解等理用，以及在算机科学、统学历数结现践文化交流的史意义和据构中的代实杨辉数过课习们仅这数结识领蕴数数三角是中国古代学的瑰宝，通本程的学，我不掌握了一学构的基本知，也略了其中含的学美感和深刻智慧，体会到学在人类文明发展中的重要价值课后思考题奇偶性规律问题杨辉数规试释谢宾三角中字的奇偶性有什么律？分析并解形成尔斯基三角形数的学原理虑进开提示考二制展和Lucas定理多项式系数问题杨辉计项开项数如何利用三角算多式x+y+z^4的展式中x^2y^1z^1的系？虑项数组数关提示考多式系与多重合的系斐波那契关系问题严证杨辉对线数数如何格明三角中特定斜角字之和等于斐波那契列？组数关数归纳提示利用合的递推系和学法这题养数励课进些思考旨在培学生的深度思考能力和学探究精神，鼓学生在后一步探索杨辉数三角的学奥秘参考资料与推荐阅读中文资料英文资料术数·《九章算》-中国古代学经典著·Daniel Chenoweth《AN作INTRODUCTION TOPASCALS杨辉详数TRIANGLE》·《解九章算法》-宋代学著作·Edwards,A.W.F.《Pascals钱数绍Arithmetical Triangle》·宝琮《中国学史》-全面介中数国学发展史·Joseph,George Gheverghese俨数简《The Crestof thePeacock:Non-·李、杜石然《中国古代学史》绍杨辉贡European Rootsof-介及其献罗数论导杨辉网络资源Mathematics》·华庚《引》-包含三角关数论相分析术馆数区线资·中国科学技学展在源数·学可视化网站www.visualizingmath.com关频·Khan Academy相教学视谢谢聆听！欢迎提问与讨论数现规期待大家在学的世界中发更多美丽的律联系方式电子邮箱math_teacher@school.edu.cn办数楼公室学204室课后辅导每周

二、四下午3:30-5:00数习图书馆楼学学中心

（二）杨辉现三角古老智慧，代价值。