角平分线教学课件

角平分线教学课件第一章角平分线的基本概念在这一章节中，我们将介绍角平分线的基本定义、直观理解和构造方法，建立对角平分线的初步认识通过掌握这些基础知识，为后续学习角平分线的性质和应用打下坚实基础什么是角平分线？角平分线定义角平分线起点角平分线是将一个角分成两个相等角角平分线的起点必须是角的顶点，它的射线如果射线是∠的角从角的顶点出发，向角的内部延伸OC AOB平分线，则∠∠AOC=BOC数学表示如果是∠的角平分线，那么我们可以表示为∠∠OC AOBAOC=BOC角平分线的直观演示利用《几何画板》等动态几何软件，我们可以直观地展示角平分线的构造过程和特性•在几何画板中创建一个角∠AOB•构造该角的角平分线OC•测量∠AOC和∠BOC的度数•拖动角的两边，观察两个角度的变化通过动态演示，可以清晰地看到无论如何拖动角的两边改变角的大小，角平分线始终将角分为两个相等的部分角的分类回顾锐角直角钝角小于°的角称为锐角在锐角中，角平分线等于°的角称为直角直角的角平分线将直大于°而小于°的角称为钝角钝角的909090180将锐角分为两个更小的锐角，且这两个小角度数角分为两个°的角，也就是说角平分线与直角平分线将钝角分为两个相等的角，这两个角的45相等角的两边成°角度数都大于°4545角平分线的作法尺规作图步骤以角的顶点为圆心，任意半径作弧，与角的两边交于点和

1.O rA B以为圆心，以大于的半径作弧

2.A r/2以为圆心，同样半径作弧，与前一弧交于点

3.B C连接，即为所求角平分线

4.OC作图原理基于等距离原理，点到角的两边距离相等，因此为角平分线C OC尺规作图示意图通过圆规和直尺，我们可以精确地构造出角平分线第二章角平分线的性质及证明在第二章中，我们将深入探讨角平分线的重要性质，并学习如何严格证明这些性质角平分线的性质是解决许多几何问题的关键，掌握这些性质及其证明方法，将显著提升我们的几何推理能力角平分线的性质定理正定理如果点在角∠的平分线上，那么点到角的两边的距离相等，即P AOB P PA=PB逆定理如果点在角∠内，且点到角的两边的距离相等，那么点一定在角的平分P AOBP P线上性质定理的证明思路正定理证明思路逆定理证明思路取角平分线上任意一点假设点在角内，且到两边距离相等

1.P

1.P从点向角的两边作垂线，垂足分别连接，构造角平分线

2.P

2.OP OS为和M N假设不在上，则可找到上一

3.P OSOS构造两个直角三角形△和点，使垂直

3.POM Q PQ OS△PON证明点到两边距离不等，与已知矛

4.Q证明这两个三角形全等盾

4.由全等得出，即点到两得出点必在角平分线上

5.PM=PN P

5.P边距离相等证明示范

（一）角平分线性质的正定理证明已知条件是∠的角平分线，是上任意一点OC AOBP OC求证点到角两边的距离相等P证明步骤从点分别向射线和射线引垂线，垂足分别为和

1.P OAOB MN连接，此时有∠∠（是角平分线）

2.OP AOP=BOP OC在△和△中

3.POM PON∠∠°（垂线性质）•PMO=PNO=90∠∠（是角平分线）•POM=PON OC（公共边）•OP=OP由全等，得△≌△

4.ASA POMPON证明示范（二逆定理）角平分线性质的逆定理证明已知条件在∠内，点到角的两边的距离相等AOBP求证点在角∠的平分线上P AOB证明步骤连接，构造∠的角平分线

1.OP AOBOC假设点不在角平分线上

2.P OC从向角的两边作垂线，垂足分别为和，由已知

3.P MN PM=PN取上一点，有到角两边的距离相等（正定理）

4.OC QQ如果，则可证明到角两边的距离不相等，与已知矛盾

5.P≠QP因此必在角平分线上

6.P OC动态几何软件辅助证明《几何画板》演示步骤创建一个角∠

1.AOB构造其角平分线

2.OC在上取任意点

3.OC P测量点到角两边的距离

4.P移动点，观察距离变化

5.P将移出角平分线，观察距离变化

6.P动态演示可以直观地展示当点在角平分线上移动时，它到角两边的距离始终保持相P等；而一旦点离开角平分线，这种等距关系就会被破坏P角平分线性质的应用举例证明三角形中线段相等问题在三角形中，是角的角平分线，，求证ABC ADA BD=CD AB=AC解析因为是角平分线，所以∠∠又因为，所以AD BAD=CAD BD=CD△≌△（全等）从而得到，即三角形为等腰三ABD ACDASS AB=AC ABC角形解决辅助线问题问题在四边形中，∠∠，，求证ABCD A=C AB=CD BC=AD解析连接，证明是∠和∠的角平分线利用角平分线性质和三AC ACBAD DCB角形全等，最终证明BC=AD典型例题解析例题解答步骤如图，在△ABC中，∠C=90°，CD是∠ACB的角平分线，AB=10，AD=6，求BD的长度

1.因为CD是∠ACB的角平分线，所以∠ACD=∠BCD

2.由角平分线性质，点D到CA和CB的距离之比等于CA和CB的比值

3.在直角三角形中，利用勾股定理求CA和CB

4.设DB=x，结合AD=6和AB=10，得出x+6=10，即x=

45.因此BD=4第三章角平分线的拓展与综合应用在第三章中，我们将探索角平分线在更广泛领域的应用角平分线不仅是基本几何元素，也是解决复杂几何问题的重要工具通过学习角平分线与三角形内心、等腰三角形等内容的关系，我们将看到角平分线在几何体系中的重要地位角平分线与三角形内心内心定义三角形的内心是三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心内心性质内心到三角形三边的距离相等•内心是三角形内唯一一个到三边距离相等的点•内心可作为三角形内切圆的圆心•几何意义内心是三角形三个角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，这个等距离I就是内切圆的半径r内心的作图方法第一步作出三角形首先画出三角形的三个顶点和三条边ABC第二步作出角平分线利用尺规作图方法，分别作出三个角、、的角平分线A BC第三步确定交点三条角平分线的交点即为三角形的内心I第四步作内切圆以内心为圆心，到任意一边的距离为半径，作圆，该圆即为三角形的内切圆I I角平分线与等腰三角形特殊性质一特殊性质二特殊性质三在等腰三角形中，顶角的角平分线垂直于底如果三角形中一个角的角平分线同时是高线，在等边三角形中，每个角的角平分线都同时边，且平分底边也就是说，顶角的角平分那么这个三角形必定是等腰三角形，且等腰是高线和中线，且三条角平分线相交于一点线同时是高线和中线底边与这个角相对（内心）角平分线与平行线辅助线技巧平行线辅助技巧在某些几何问题中，通过作角平分线的平行线或垂线，可以构造出特殊的几何关系，简化问题解决通过顶点作角平分线的平行线

1.通过特定点作角平分线的垂线

2.利用平行线性质转化角度关系

3.角平分线在实际问题中的应用交通路线设计建筑设计光学应用在两条道路交叉的路口，为了优化交通流量，转在建筑设计中，角平分线常用于确定支撑结构的在光学中，光线反射时遵循入射角等于反射角弯车道常常沿着角平分线方向设计，这样可以使位置，以平均分配重量和应力许多现代建筑的的原理，反射面法线正是入射光线和反射光线所车辆转弯时路径最短，行驶最顺畅美学设计也利用了角平分线的几何美感成角的角平分线课堂互动探究角平分线性质探究活动设计学生分组（人一组）

1.3-4每组使用几何画板软件

2.探究任务

3.验证角平分线的基本性质•探索角平分线上点的轨迹特点•尝试发现新的角平分线性质•记录观察结果并分组展示

4.学生通过动手探究，能够更深入地理解角平分线的性质，培养数学探究精神和团队协作能力角平分线相关定理总结等距性质角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角平分线基本定义在角内到两边距离相等的点位于角平分线上角平分线是将角分成两个相等部分的射线，起点是角的顶点内心性质三角形三条角平分线交于一点，该点是内切圆的圆心，到三边距离相等实际应用作图方法角平分线在几何问题、建筑设计、光学等领域有广泛应用利用尺规作图，可以准确构造任意角的角平分线角平分线与垂直平分线对比角平分线定义将角分成两个相等部分的射线性质线上点到角两边距离相等应用构造三角形内心，解决角相关问题垂直平分线定义垂直于线段并通过其中点的直线性质线上点到线段两端点距离相等应用构造三角形外心，解决距离相关问题对比例题角平分线题型在三角形中，角平分线将对边分成比例相关的线段，这些线段与邻边长度有特定关系垂直平分线题型垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，常用于构造等距离点集角平分线的历史与数学价值历史发展数学价值角平分线概念最早可追溯到古希腊数学角平分线是几何学基本概念，是构建几家欧几里得的《几何原本》，它是欧氏何体系的基石之一几何中的基本元素之一它连接了角度、距离等基本几何量，展古代数学家通过尺规作图方法构造角平示了几何中的对称美分线，这成为几何学发展的重要组成部角平分线的研究培养了严谨的逻辑推理分能力和空间想象能力随着数学的发展，角平分线的性质被不它在数学教育中具有重要地位，是培养断深入研究，发现了许多重要应用数学思维的良好素材角平分线的常见误区与纠正误区一角平分线必须是射线误区二角平分线将角的两边对误区三角平分线上的点一定在半分角内正确理解角平分线是一条射线，它从角的顶点出发，将角分成两个相等的部分正确理解角平分线分的是角度，而不是正确理解角平分线可以延长，延长线上有时我们会延长这条射线形成直线，但角角的两边的长度角平分线与角的两边所的点到角两边的距离也相等（需要考虑有平分线本身指的是射线形成的两个角相等，但不一定将角的两边向距离）在某些问题中，需要考虑角平长度对半分分线延长部分上的点教学重点与难点角平分线的定义和基本性质是理解的重点•角平分线性质的证明是思维训练的重点•角平分线与三角形内心的关系是应用的重点•角平分线在解题中的灵活运用是实践的难点•复习与巩固练习题12基础练习中等难度已知△中，∠°，∠°，在△中，，点在上，ABC C=90A=30ABC AB=AC D BC AD，点在上，是∠的角平是∠的角平分线，且，AB=8DBCAD BACBAC BD:DC=1:2分线，求的长度求∠的度数BD B3综合应用在四边形中，对角线和相交于点，是∠的角平分线，是∠的角平ABCD ACBD OAO BADCO BCD分线，求证AB·CD=BC·AD课堂练习建议基础题目注重角平分线定义和基本性质的应用

1.中等难度题目结合其他几何知识，如相似三角形、全等三角形等

2.综合应用题目需要灵活运用角平分线性质，培养解题思路

3.课后思考题思考题一思考题二在三角形中，三条角平分线交于内心如果将三角形沿着一条角如果三条线在平面上交于一点，它们是否可能同时是某个三角形的I平分线折叠，请思考并证明内心会落在哪个位置？三条角平分线？如果可能，这个三角形如何确定？I思考题三思考题四在△中，、、分别是三个角的角平分线，它们交于探索并证明在等腰梯形中，上底两端点与下底两端点连接形成的ABC ADBE CF内心证明到三边的距离与三角形面积有什么关系？对角线与两腰的角平分线有什么特殊关系？I I教学小结0102角平分线的定义与性质角平分线性质的证明掌握角平分线的基本定义和基本性质，理解角平分线上点的等距特性学会角平分线性质的证明方法，培养严密的逻辑推理能力0304角平分线的作图方法角平分线的应用掌握尺规作图的基本技能，能够准确作出角平分线学会运用角平分线解决几何问题，理解角平分线在实际中的应用教师教学建议动态教学建议推理训练建议利用《几何画板》等动态几何软件，强调证明过程的严谨性，培养学生的••直观展示角平分线的性质逻辑推理能力设计互动探究活动，让学生主动发现引导学生分析问题的关键，选择合适••角平分线的性质的证明方法通过动手操作，如折纸活动，帮助学鼓励学生尝试多种解法，培养数学思••生理解角平分线的概念维的灵活性使用生活实例引入，增强学生对数学注重反思过程，帮助学生总结解题策••的兴趣略和方法结束语角平分线是几何学习的重要基石，掌握它的性质和应用，不仅能帮助我们解决几何问题，更能培养严密的数学思维通过本课件的学习，我们系统地了解了角平分线的定义、性质、证明和应用角平分线看似简单，却蕴含着丰富的数学思想和方法希望同学们能够透过具体的知识点，领悟数学的本质和魅力。