韦达定理教学课件

韦达定理第一章韦达定理的历史背景17世纪法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète，1540-1603年）是现代代数学的奠基人之一作为数学符号化的先驱，他首次系统地使用字母表示方程中的已知数和未知数韦达定理的诞生标志着代数学发展的重要里程碑，它建立了方程根与系数之间的优雅关系，为解决复杂方程提供了全新视角这一定理不仅简化了方程求解过程，还揭示了数学内在的和谐美韦达定理的基本内容定理表述直观理解实质意义对于一元二次方程\ax^2+bx+c=0\根的和等于二次项系数与一次项系数的相建立了方程的解与方程系数之间的直接联（其中a≠0），若其两根为\x_1,x_2\，反数之比系则根的积等于常数项与二次项系数之比揭示了多项式因式分解与系数展开之间的对应关系韦达定理连接根与系数韦达定理的几何意义在几何上，一元二次方程\ax^2+bx+c=0\对应的抛物线\y=ax^2+bx+c\与x轴的交点坐标正是方程的根韦达定理揭示了这些交点的几何特性•根的和\x_1+x_2=-\frac{b}{a}\表示两交点横坐标的和•根的积\x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\表示两交点横坐标的乘积•抛物线的对称轴位置由\x=-\frac{b}{2a}\给出，恰好是两根平均值的位置韦达定理的推广二次方程三次方程四次方程\ax^2+bx+c=0\\ax^3+bx^2+cx+d=0\\ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\\x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}\\x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a}\\x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}\更多系数与根的对称关系...\x_1\cdot x_2\cdot x_3=-\frac{d}{a}\第二章韦达定理的证明思路主要证明方法•因式分解法将方程写成根的形式并与原方程比较•系数比较法展开因式表达式并比较各次项系数•待定系数法利用多项式恒等的性质证明过程不仅揭示了定理的来源，也加深了对多项式结构的理解，展示了代数学的严谨与优雅证明示例二次方程韦达定理步骤三系数比较步骤二因式分解与原方程\ax^2+bx+c=0\比较各项系步骤一写出方程根据根与因式的关系，方程可以写成数设一元二次方程\ax^2+bx+c=0\a≠0\ax-x_1x-x_2=0\\a\cdot1=a\的两个根为\x_1\和\x_2\展开得\ax^2-x_1+x_2x+x_1x_2=\-ax_1+x_2=b\→\x_1+x_2=-0\\frac{b}{a}\\a\cdot x_1x_2=c\→\x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\代数展开步骤根与系数的对应关系原始方程根的表示展开括号系数对应第三章韦达定理的应用场景解题技巧代数应用几何辅助利用韦达定理可以快速求解涉及方程根的各种在代数题目中，韦达定理提供了处理对称多项在解决几何问题时，韦达定理常作为连接代数问题，如根的函数值、根的组合等，无需求出式的有效方法，简化计算过程，揭示数学规表达式与几何意义的桥梁，帮助分析坐标关具体根的值律系应用案例已知根的和与积求根的平方和1问题描述求解过程已知方程\ax^2+bx+c=0\的两根为\x_1\和\x_2\，求\x_1^2由平方差公式可知+x_2^2\的值解题思路整理得利用平方差公式和韦达定理，建立根的平方和与和、积之间的关系代入韦达定理应用案例利用韦达定理解根的分式和2代入计算分析转化\\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{-问题描述通分得\\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac{b}{c}\已知方程\ax^2+bx+c=0\其中a≠0，\frac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}\结果\\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-c≠0的两根为\x_1\和\x_2\，求根据韦达定理\x_1+x_2=-\frac{b}{c}\\\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\的值\frac{b}{a}\，\x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\韦达定理助力快速解题识别方程形式确定方程次数和系数，明确韦达关系转化问题将根的函数表达式转化为和与积的形式应用定理代入韦达公式，简化计算结果推导第四章韦达定理与几何问题结合韦达定理在几何问题中有着广泛应用，特别是在涉及坐标几何的计算中通过建立代数方程并应用韦达关系，可以简化复杂的几何计算主要应用场景•求解曲线与直线的交点关系•计算几何图形中的长度、面积等量•分析圆锥曲线的性质和特征•研究几何轨迹和曲线方程经典题目抛物线与直线交点坐标关系问题描述求解过程抛物线\y=ax^2+bx+c\与直线\y=kx+d\相交于两点P和Q联立方程\ax^2+bx+c=kx+d\整理得\ax^2+b-kx+c-d=0\求设交点P、Q的横坐标为\x_1\和\x_2\，则由韦达定理

1.P、Q两点的横坐标之和与之积\x_1+x_2=-\frac{b-k}{a}\

2.线段PQ的长度\x_1\cdot x_2=\frac{c-d}{a}\线段PQ长度\\sqrt{x_1-x_2^2+y_1-y_2^2}\可进一步利用韦达定理简化计算...第五章韦达定理的扩展与变形复数域的韦达关系参数方程中的应用韦达定理对于复数根同样适用，这拓展了定理的应用范围在复数域当方程系数包含参数时，韦达定理可以帮助我们分析根与参数之间的中，方程\ax^2+bx+c=0\的根\x_1\和\x_2\仍满足关系，确定特定参数值下根的性质常见变形公式•\x_1^2+x_2^2=x_1+x_2^2-2x_1x_2\•\x_1^3+x_2^3=x_1+x_2^3-3x_1+x_2x_1x_2\这为分析含复数根的方程提供了强大工具变形示例根的对称与倒数关系问题描述分析与推导关系发现设方程\ax^2+bx+c=0\a≠0，c≠0设新方程的根为\y_1\和\y_2\，则根观察可得\y_1\cdot y_2=\frac{a}{c}的两根为\x_1\和\x_2\，求方程据韦达定理=\frac{1}{x_1\cdot x_2}\\cx^2+bx+a=0\的根\y_1+y_2=-\frac{b}{c}\进一步分析\y_1+y_2=-\frac{b}{c}=-\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{c}=x_1+\y_1\cdot y_2=\frac{a}{c}\x_2\cdot\frac{a}{c}\而原方程的根满足结论新方程的根是原方程根的倒数，\x_1+x_2=-\frac{b}{a}\即\y_1=\frac{1}{x_1}\和\y_2=\frac{1}{x_2}\\x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\韦达定理在复数域的魅力复数根的几何意义复数根的代数性质在复平面上，方程\ax^2+bx+c=0\的复数根可以表示为点韦达当方程系数都是实数时，复数根总是成共轭对出现，即如果\a+bi\定理告诉我们是根，则\a-bi\也是根•这些点的坐标和等于\-\frac{b}{a}\•这些点到原点距离的乘积等于\|\frac{c}{a}|\第六章典型习题精选（）1123题目1根的函数值题目2根的判断题目3方程构造已知二次方程\x^2-5x+6=0\的两根已知二次方程\ax^2+bx+c=0\的两根已知数\m\和\n\，构造一个二次方为\x_1\和\x_2\，求\x_1^2+为\x_1\和\x_2\，且满足\x_1+x_2程，使其根为\m+n\和\m-n\x_2^2\的值0\，\x_1\cdot x_20\，求系数\a\，思路提示利用韦达定理的逆用法\b\，\c\的符号关系思路提示利用韦达定理和平方和公式思路提示根据韦达定理建立不等式习题解析题目1解析题目2解析已知二次方程\x^2-5x+6=0\的两根为\x_1\和\x_2\已知\x_1+x_20\，\x_1\cdot x_20\根据韦达定理根据韦达定理\x_1+x_2=-\frac{b}{a}\，\x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\\x_1+x_2=5\，\x_1\cdot x_2=6\代入条件\-\frac{b}{a}0\，\\frac{c}{a}0\根据平方和公式即\b\与\a\符号相反，\c\与\a\符号相同\x_1^2+x_2^2=x_1+x_2^2-2x_1x_2\若\a0\，则\b0\，\c0\\x_1^2+x_2^2=5^2-2\cdot6=25-12=13\若\a0\，则\b0\，\c0\答案\x_1^2+x_2^2=13\第七章典型习题精选（）2题目3三次方程应用题目4根的函数值变换已知三次方程\x^3-6x^2+11x-6=0\的三个根为\x_1\，已知二次方程\2x^2-5x+3=0\的两根为\x_1\和\x_2\，求\x_2\和\x_3\，求\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\的值\\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\的值扩展思考关键技巧思考如何利用韦达定理求解更复杂的根的函数表达式？例如解决这类问题的关键是将复杂的函数表达式转化为根的和与积的多项式形式，然后利用韦达定理代入计算•\x_1^3+x_2^3\•\\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\•\x_1^2x_2+x_1x_2^2\习题解析题目4解析题目3解析已知二次方程\2x^2-5x+3=0\的两根为\x_1\和\x_2\已知三次方程\x^3-6x^2+11x-6=0\的三个根为\x_1\，根据韦达定理\x_1+x_2=\frac{5}{2}\，\x_1x_2=\frac{3}{2}\\x_2\和\x_3\根据三次方程的韦达定理对于\\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\，可以变形为\x_1+x_2+x_3=6\\\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{x_1+x_2^2-\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=11\2x_1x_2}{x_1x_2}\\x_1x_2x_3=6\\=\frac{\frac{5}{2}^2-2\cdot\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{\frac{25}{4}-3}{\frac{3}{2}}=\frac{\frac{25-所以\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=11\12}{4}}{\frac{3}{2}}=\frac{13}{6}\第八章课堂互动与思考题开放性思考题

1.如果改变一元二次方程的一个系数，根将如何变化？能否通过韦达定理预测这种变化？

2.韦达定理能否用于解决实际应用问题？请举例说明

3.如何利用韦达定理判断方程根的分布特征？小组讨论题讨论并证明对于二次方程\ax^2+bx+c=0\，若两根互为倒数，则\a=c\课堂练习建议•基础巩固根据系数写出韦达关系，根据韦达关系写出系数•应用提升计算根的各种函数值第九章韦达定理在竞赛中的应用12竞赛题特点解题策略数学竞赛中的韦达定理应用通常具有以下特点面对涉及韦达定理的竞赛题，建议采取以下策略•综合性强，结合多个数学概念

1.识别方程形式，判断是否可用韦达定理•需要灵活变换思路，巧妙运用定理

2.寻找根与系数的关系，建立方程•通常隐含在问题中，需要敏锐发现

3.灵活运用代数变形，简化复杂表达式•可能需要结合几何、函数等多个领域

4.借助几何直观，辅助代数推理

5.注意特殊情况，如重根、复根等竞赛案例分析某省级数学竞赛真题另一方面，由题意已知二次方程\x^2+px+q=0\的两根为\x_1\和\x_2\，且满足\x_1^2+x_2^2=2x_1+x_2\\x_1^2+x_2^2=2x_1+x_2\求\p\和\q\的值\x_1^2+x_2^2=-2p\...2解析思路联立1和2根据韦达定理\x_1+x_2=-p\，\x_1x_2=q\\p^2-2q=-2p\代入条件\x_1^2+x_2^2=2x_1+x_2\\p^2+2p=2q\...3\x_1^2+x_2^2=x_1+x_2^2-2x_1x_2=p^2-2q\考虑到\x_1^2+x_2^2=-2p\且\x_1^2+x_2^2\geq2|x_1x_2|=\p^2-2q=2-p\2\sqrt{q^2}\，有\-2p\geq2|q|\\p^2-2q=-2p\结合方程3和不等式，可得\p=-2\，\q=1\\p^2+2p-2q=0\...1韦达定理助力竞赛夺冠1识别应用点在竞赛题中敏锐发现可能涉及韦达定理的问题特征，如方程根的函数关系、系数与根的关系等2建立方程灵活运用韦达定理，将问题中给出的条件转化为方程，建立系数与根的函数关系3巧妙变形利用代数恒等变形，将复杂的根的函数表达式转化为简单形式，便于应用韦达定理4综合推理第十章总结与提升核心价值应用广度韦达定理建立了方程根与系数的直接联系，简从基础代数到高等数学，从几何问题到竞赛题化了代数计算，揭示了多项式的内在结构目，韦达定理都有广泛应用拓展方向学习建议研究高次方程韦达公式，探索复数域应用，结熟练掌握基本公式，多做变形练习，培养发现合其他数学分支如微积分、线性代数等深化理韦达关系的敏感性，结合几何意义深入理解解韦达定理是数学学习中的重要工具，掌握它不仅能提高解题效率，更能培养数学思维的深度和广度课后练习推荐基础练习提高练习挑战练习

1.求方程\x^2-7x+12=0\的根的和

1.已知方程\x^2-6x+8=0\的两根为

1.已知方程\x^2-ax+b=0\的根为与积\x_1\和\x_2\，求\x_1^3+\x_1\和\x_2\，若\x_1^3+x_2^3x_2^3\的值=7\，\x_1\cdot x_2=2\，求a和b

2.已知方程\x^2+mx+6=0\的一个的值根为2，求m的值

2.若二次方程\x^2+px+q=0\的两根的倒数之和等于两根之和，求p和q满

2.若方程\x^2+px+q=0\和\x^2+

3.已知方程\x^2-5x+k=0\的两根的足的关系rx+s=0\有一个公共根，且\p+r=积为4，求k的值3\，\q+s=2\，求两个方程的公共

3.已知三次方程\x^3-3x^2+4x-2=

4.已知方程\x^2+px+q=0\的两根为根0\的三个根分别为\x_1\，\x_2\和3和-2，求p和q的值\x_3\，求\x_1^2+x_2^2+x_3^2\的值推荐在线资源《中国数学奥林匹克》网站、几何与代数微信公众号、国家中小学智慧教育平台韦达定理专题视频常见误区与解题陷阱典型错误案例忽略前提条件错误计算\x_1^2+x_2^2\时直接代入根的值误区直接应用韦达定理而不检查方程的形式和系数条件正确利用恒等式\x_1^2+x_2^2=x_1+x_2^2-2x_1x_2\结合韦达定纠正确保方程为标准形式，注意a≠0的前提条件理混淆系数符号误区在方程\ax^2+bx+c=0\中弄错韦达关系中的符号避免陷阱的方法纠正牢记根的和等于\-\frac{b}{a}\（负号！），根的积等•熟记基本公式和常见变形于\\frac{c}{a}\•理解韦达定理的几何意义计算复杂化•注意方程的特殊情况（如重根）•养成检验答案的习惯误区不善于利用韦达定理简化计算，走复杂路径纠正寻找根的函数与根的和、积之间的关系，避免直接计算根韦达定理代数世界的桥梁韦达定理不仅是解题的工具，更是连接代数与几何、方程与函数、抽象与具体的桥梁希望同学们能够透过公式看本质，在数学学习的道路上不断探索，发现更多数学之美感谢大家的聆听！期待大家在数学学习中取得更加出色的成绩！。