二次函数图像教学课件

二次函数图像教学第一章二次函数基础与图像特征在这一章节中，我们将探索二次函数的基本定义、图像特点及关键性质，建立对二次函数的基础认识通过深入理解这些概念，你将能够分析任何二次函数的图像特征图像与方程的关系抛物线的基本特征二次函数的定义与形式了解对称轴、顶点、开口方向等关键概念认识标准形式（）及其数学意义y=ax²+bx+c a≠0什么是二次函数？二次函数是代数中的一种基本函数类型，是多项式函数的一种特殊形二次函数的重要性式标准形式二次函数广泛应用于物理学、经济学、工程学等领域，如物体运动轨迹的描述•最优化问题的解决•其中成本效益分析•抛物面天线的设计称为二次项系数，决定抛物线的开口方向和宽窄••a称为一次项系数，影响抛物线的对称轴位置•b称为常数项，决定抛物线与轴的交点•c y二次函数是我们研究变化率不恒定的现象的基础模型，也是理解更复杂函数的重要阶梯标准抛物线y=x²标准抛物线是最基本的二次函数图像，具有以下特点y=x²顶点位置对称轴顶点位于坐标原点，是函数的最对称轴是轴，即0,0y x=0小值点开口方向由于，抛物线开口向上a=10标准抛物线是理解所有二次函数图像的基础所有二次函数图像都可以看作是标y=x²准抛物线经过平移、拉伸或压缩后得到的的符号决定开口方向a抛物线开口向上抛物线开口向下a0a0图像形状形图像形状倒形•U•U顶点性质函数的最小值点顶点性质函数的最大值点••单调性在对称轴左侧递减，右侧递增单调性在对称轴左侧递增，右侧递减••值域顶点值域顶点•[y,+∞•-∞,y]当时，二次函数总有最小值，且值越远离顶点，函数值越大a0x顶点坐标计算公式123顶点横坐标计算顶点纵坐标计算实际应用示例对于函数y=2x²-8x+7a=2,b=-8,c=7顶点顶点横坐标与二次项系数和一次项系数顶点纵坐标是函数的极值，代表函数的最大x=--8/2×2=2a b有关，是对称轴的位置值或最小值顶点y=7--8²/4×2=7-16=-9推导过程将二次函数变形为顶点式，或求推导过程将顶点代入原函数，或将二次x导数并令其等于零函数变形为顶点式判别式与图像交点判别式的定义解的公式判别式是二次方程的重要参数，用于判断方程根的情况，也反映了二D ax²+bx+c=0当时，可以通过此公式求出二次函数与轴的交点坐标，即₁和₂次函数图像与轴的交点情况D≥0x x,0x,0x判别式与函数图像关系三种情况分析当时•a0D0D=0抛物线与轴有两个交点，且最小值小于•D0x0抛物线与轴相切，最小值恰好为•D=0x0两个交点一个交点抛物线完全在轴上方，最小值大于•D0x0二次函数图像与轴相交于两点，对应方程二次函数图像与轴相切于一点，对应方程当时x x•a0有两个不同的实数根有一个二重实数根抛物线与轴有两个交点，且最大值大于•D0x0抛物线与轴相切，最大值恰好为•D=0x0D0无交点二次函数图像与轴没有交点，对应方程有x一对共轭复数根判别式与轴交点关系示意图x判别式的符号直接决定了二次函数图像与轴交点的情况，这是解析几何D=b²-4ac x与代数方程完美结合的体现的情况的情况D0D=0图像与轴相交于两点，这两点的坐图像与轴仅有一个接触点（相x x x标即为方程的两个切），该点的坐标为ax²+bx+c=0x x=-b/2a解例如，y=x²-6x+9D=36-36例如，，与轴相切于y=x²-4x+3D=16-12==0x3,0，与轴交于和两40x1,03,0点的情况D0图像与轴没有交点，方程无实数解x ax²+bx+c=0轴截距y定义与计算轴截距与函数平移的关系y轴截距是指二次函数图像与轴的交点的纵坐标改变常数项相当于将整个抛物线沿轴方向平移y y c y当时增大，抛物线整体向上平移x=0•c减小，抛物线整体向下平移•c因此，轴截距就是常数项的值，图像与轴的交点坐标为y c y0,c轴截距的几何意义y表示抛物线与轴的交点位置•y反映了函数图像的整体上下位置•当时，抛物线与轴交点在轴上方•c0y x当时，抛物线与轴交点在轴下方•c0y x当时，抛物线经过原点•c=0第二章图像的变换与参数影响在本章中，我们将深入研究二次函数各参数对其图像的具体影响，通过分析参数变化导致的图像变换，建立直观的函数与图像对应关系参数开口方向与宽窄参数对称轴位置a b分析二次项系数如何影响抛物线的基本形状探究一次项系数如何影响抛物线的对称轴位置a b参数整体平移顶点式解析c了解常数项如何控制抛物线的上下位置掌握顶点式的几何意义与应用c y=ax-h²+k参数的影响开口宽窄a系数的绝对值与抛物线宽窄数学分析a在保持和不变的情况下，改变的绝对值会影响抛物线的开口宽窄考虑二次函数族，b ca y=ax²a≠0当时，项被放大，图像比更窄•|a|1x²y=x²|a|越大，抛物线越窄•当0|a|1时，x²项被缩小，图像比y=x²更宽当增大时，的二次项影响增强，抛物线变得更加陡峭对于相同的值变化，值变化更快实例比较|a|xx y比较以下函数的图像|a|越小，抛物线越宽•y=3x²（a=3，开口向上且较窄）（，标准抛物线）•y=x²a=1当减小时，的二次项影响减弱，抛物线变得更加平缓对于相同的值变化，值变化更慢|a|xx y（，开口向上且较宽）•y=

0.5x²a=

0.5（，开口向下且较宽）•y=-

0.5x²a=-

0.5可以将视为抛物线的弯曲程度，它决定了抛物线远离顶点时的增长速度|a|（，开口向下且较窄）•y=-3x²a=-3参数的影响对称轴位置变化b一次项系数与对称轴的关系变化时的图像平移b b对称轴的位置由公式决定，因此的变化直接影响对称轴的位置考虑函数，改变值x=-b/2a b y=x²+bx+c b当时，对称轴位于轴上（）•b=0y x=0b增大1当时，对称轴位于轴负半轴（）•b0x x0对称轴向左移动，抛物线整体向左偏移当时，对称轴位于轴正半轴（）•b0xx0b的变化导致抛物线沿x轴方向平移，但保持开口方向和宽窄不变2b减小对称轴向右移动，抛物线整体向右偏移的变化不仅影响对称轴位置，还会导致顶点纵坐标变化（因为顶点）by=c-b²/4a参数的影响图像上下平移c常数项与整体平移实例分析c常数项直接决定了二次函数图像的上下位置，它的变化导致整个抛物线沿轴方向平移比较以下函数的图像cy（上移个单位）•y=x²+33增大c（标准抛物线）•y=x²抛物线整体向上平移，y轴截距增大图像中的每一点的y坐标都增加相同的值•y=x²-2（下移2个单位）与顶点纵坐标的关系减小cc对于函数抛物线整体向下平移，轴截距减小图像中的每一点的坐标都减少相同的值y=ax²+bx+cy y顶点纵坐标顶点•y=c-b²/4ac的变化不影响抛物线的形状、开口方向和对称轴位置，只改变其整体高度•c增大，顶点纵坐标增大减小，顶点纵坐标减小•c当时，顶点位于轴上，顶点纵坐标正好等于b=0y c顶点式解析顶点式的定义顶点式的几何意义顶点式清晰地表示了二次函数图像是由标准抛物线经过如下变换得到的y=ax²其中水平平移个单位将图像沿轴方向移动

1.h x决定开口方向和宽窄，与标准式中的相同•a a垂直平移个单位将图像沿轴方向移动

2.k y顶点的横坐标•h顶点式的优势顶点的纵坐标•k直观表示顶点坐标顶点式直接反映了抛物线顶点的位置，是研究二次函数图像最直观的形式•h,k便于分析函数的最值（最值就是）•k标准式与顶点式的转换简化图像平移分析•便于解决最值问题从标准式转换为顶点式•y=ax²+bx+c配方法将的一次项与二次项合并为完全平方式

1.x实际应用提取系数

2.a y=ax²+b/ax+c配方完成在物理学中，抛体运动的路径方程通常用顶点式表示，其中表示水平

3.y=ax+b/2a²+c-b²/4a h射程的一半，表示最大高度整理得到k

4.y=ax--b/2a²+c-b²/4a因此，h=-b/2a k=c-b²/4a顶点式的抛物线图像y=2x-1²+3这个函数是标准抛物线经过平移后得到的，具有以下特点y=2x²顶点坐标顶点位于，这是直接从顶点式中读取的，其中1,3h=1,k=3开口方向由于，抛物线开口向上，顶点是函数的最小值点a=20对称轴对称轴是直线，抛物线关于这条垂直线对称x=1图像形状由于，抛物线比标准抛物线更窄|a|=21y=x²与标准抛物线相比，这个抛物线向右平移了个单位，向上平移了个单位，但保持了相同y=2x²13的开口方向和宽窄图像平移演示水平平移改变值垂直平移改变值h k在顶点式中，控制抛物线的水平位置在顶点式中，控制抛物线的垂直位置y=ax-h²+k hy=ax-h²+k k抛物线向右平移个单位抛物线向上平移个单位•h0h•k0k抛物线向左平移个单位抛物线向下平移个单位•h0|h|•k0|k|例如例如顶点在原点顶点在原点•y=x²0,0•y=x²0,0顶点向右移动到顶点向上移动到•y=x-2²2,0•y=x²+40,4顶点向左移动到顶点向下移动到•y=x+3²-3,0•y=x²-30,-3水平平移不改变抛物线的开口方向和形状，只改变其位置垂直平移不改变抛物线的开口方向和形状，只改变其高度练习根据参数写出图像变化规律练习分析参数变化练习参数变化引起的图像变化练习写出函数表达式123对于函数，请分析描述以下函数变化时图像的变化已知抛物线的以下信息，写出其函数表达y=2x²-4x+3式开口方向和宽窄从变为

1.

1.y=x²y=3x²开口向下，顶点在，经过点对称轴位置从变为

1.2,30,-

12.

2.y=x²y=x²-6x开口向上，对称轴是，顶点的坐顶点坐标从变为

2.x=-1y

3.

3.y=x²y=x²+4标是-4轴截距从变为

4.y

4.y=x²y=-x-2²+3开口向上，与轴相切于点，且

3.x3,0y与轴的交点情况

5.x轴截距为9解答这些问题需要综合运用本章所学的知识点，特别是参数、、与图像特征的关系建议先分析函数的基本特征，再利用顶点坐标、对称a bc轴等信息确定具体参数第三章应用与综合练习在本章中，我们将探索二次函数在实际问题中的应用，并通过综合练习巩固所学知识，提升解决问题的能力0102实际问题建模典型例题分析学习如何将现实问题转化为二次函数模型通过解析经典例题，掌握二次函数的应用技巧0304综合能力提升拓展与思考结合多种知识点，解决复杂的二次函数问题探索二次函数的更广泛应用与深层次内涵例题讲解求顶点坐标与对称轴例题解法二转换为顶点式求二次函数的顶点坐标和对称轴方程，并判断其开口方向将标准式转换为顶点式y=-3x²+6x-2y=-3x²+6x-2解法一直接使用公式提取系数

1.-3y=-3x²-2x-2配方

2.y=-3x²-2x+1-1-2对于二次函数，有y=ax²+bx+c整理

3.y=-3x-1²+3-2•a=-3，b=6，c=-

24.最终y=-3x-1²+1对称轴•x=-b/2a=-6/-6=1从顶点式可直接看出顶点横坐标•x=1顶点坐标顶点纵坐标•1,1•y=-3×1²+6×1-2=-3+6-2=1对称轴•x=1因此，顶点坐标为，对称轴方程为1,1x=1开口方向向下（）•a0由于，所以抛物线开口向下，顶点是函数的最大值点a=-30顶点式通常更直观地反映了函数的几何特征，特别是在需要确定顶点位置的问题中例题讲解判别式判断根的个数例题图像分析对于二次函数，判断其与轴的交点情况，并求出交点坐标对于函数，我们可以进一步分析其图像特征y=x²-4x+3x y=x²-4x+3解法由于，抛物线开口向上

1.a=10对称轴

2.x=-b/2a=4/2=2步骤计算判别式1顶点坐标，是函数的最小值点

3.2,-1a=1，b=-4，c=

34.y轴截距c=3，图像过点0,3根据这些特征，我们可以确定抛物线的大致形状它是一个开口向上的抛物线，顶点在，与轴交于点，与轴交于点和2,-1y0,3x1,03,0步骤分析判别式的意义2在实际问题中，判别式不仅可以用来判断方程的根的个数，还可以分析函数的变化趋势、确定函数的值域等由于，所以方程有两个不同的实数根，即函数图像与轴有两个交点D=40x²-4x+3=0x步骤求解交点坐标3所以，函数图像与轴的交点坐标为和x1,03,0例题讲解图像与函数式转换根据图像特征确定函数表达式顶点式转换为标准式已知抛物线开口向上，顶点坐标为标准式转换为顶点式-2,对于函数，转换为标准式，经过点，求其函数表达式y=-3x+1²+431,12对于函数，转换为顶点式的的步骤y=2x²-8x+7由顶点坐标可写出顶点式

1.y=ax+步骤展开括号

1.y=-3x²+2x+1+42²+3提取系数

1.2y=2x²-4x+

72.分配系数y=-3x²-6x-3+

42.代入点1,1212=a1+2²+3→12配方

2.y=2x²-4x+4-4+7合并常数项→→=9a+39a=9a=

13.y=-3x²-6x+1整理得到函数表达式

3.y=2x-2²-8+7从标准式可知，，，，开

3.y=x+2²+3a=-3b=-6c=1最终顶点式

4.y=2x-2²-1口向下展开为标准式

4.y=x²+4x+4+3=从顶点式可知，顶点坐标为，开口向x²+4x+72,-1上在处理二次函数问题时，根据具体情况选择合适的函数形式（标准式或顶点式）往往能大大简化计算过程标准式适合进行代数运算，而顶点式则更直观地反映了函数的几何特征互动图形演示参数变化的影响交互式图形可以直观展示参数、、的变化对二次函数图像的影响，帮助建立参数与图形之间的对应关a bc系参数的调整a拖动滑块改变的值，观察抛物线开口方向和宽窄的变化a当从正变为负时，抛物线从开口向上变为开口向下•a当增大时，抛物线变窄•|a|当减小时，抛物线变宽•|a|参数的调整b拖动滑块改变的值，观察抛物线对称轴位置的变化b当增大时，对称轴向左移动•b当减小时，对称轴向右移动•b对称轴位置随值变化而变化•x=-b/2a b参数的调整c拖动滑块改变的值，观察抛物线整体上下位置的变化c当增大时，抛物线整体向上平移•c当减小时，抛物线整体向下平移•c轴截距随值变化而变化•y0,c c综合练习题123函数图像分析参数问题应用问题给定函数，请已知抛物线的顶点为某物体从地面以的初速度垂直向上y=-2x²+4x+5y=ax²+bx+c2,-30m/s，且过点，求抛出，其高度米与时间秒的关系可表判断开口方向30,5ht

1.示为，求抛物线的函数表达式h=30t-5t²求顶点坐标和对称轴方程

1.

2.物体能达到的最大高度抛物线与轴的交点坐标

1.求函数的值域

2.x

3.物体何时落回地面当∈时，函数的最值

2.判断与轴的交点情况，并求出交点坐

3.x[-1,4]

4.x物体在空中停留的总时间标

3.当时，物体的高度和速度画出函数图像，并标注关键点

4.t=

25.解题提示综合题往往需要灵活运用二次函数的多种性质建议先分析函数基本特征，确定解题策略，然后逐步求解特别注意实际应用题中的物理意义学生思考题如何根据图像判断函数的参数范围？抛物线与实际生活的联系有哪些？观察二次函数图像的以下特征，可以推断参数的范围抛物线在我们的日常生活和科学技术中有广泛应用开口方向→判断的符号

1.a物理运动轨迹开口向上•a0投掷物体的运动轨迹、水流喷射路径、跳水运动员的轨迹等开口向下•a0抛物线宽窄→判断的大小

2.|a|工程与建筑抛物线较窄•|a|1抛物线较宽•0|a|1抛物面天线、吊桥缆线、拱形结构、反射镜等对称轴位置→判断的值

3.b/2a对称轴在轴右侧•y b/2a0经济与管理对称轴在轴左侧•y b/2a0成本收益分析、边际效用递减、最优化问题等轴截距→确定的值-

4.y c与轴交点的纵坐标即为•yc思考抛物线的反射性质如何应用于日常生活？提示想想手电筒、汽车大灯、太阳能聚焦系统等课堂小结基本概念图像特征二次函数标准式开口方向由的符号决定•y=ax²+bx+c•a对称轴a≠0•x=-b/2a顶点式顶点•y=ax-h²+k•-b/2a,c-b²/4a图像特点抛物线，具有对称性轴截距••y0,c实际应用参数影响物体运动轨迹分析控制开口方向和宽窄••a最大值最小值问题影响对称轴位置•/•b工程设计与优化决定整体上下位置••c通过本课的学习，我们掌握了二次函数的基本性质、图像特征及参数影响规律，了解了如何通过图像分析函数特性，以及如何应用二次函数解决实际问题这些知识不仅是代数学习的重要内容，也是理解更高级数学概念的基础拓展阅读与资源推荐交互式课件制作介绍在线绘图工具推荐JSXGraph是一个基于的交互式几何、函数绘图和数据可视化库，非常适合制作数学教学课件以下工具可帮助学生绘制和探索二次函数图像JSXGraph JavaScript官方网站功能强大的数学软件，支持多种数学对象•jsxgraph.org

1.GeoGebra支持动态操作，如拖动点、滑块调整参数等简洁直观的在线函数绘图计算器•

2.Desmos可嵌入网页，便于在线学习和分享适合展示三维函数图像•

3.Math3D提供丰富的，可创建各种数学图形不仅可绘图，还能进行复杂数学计算•API

4.Wolfram Alpha教师可以利用创建二次函数参数变化的动态演示，帮助学生直观理解函数图像变化规律相关数学竞赛题目链接JSXGraph以下资源包含与二次函数相关的竞赛题目和解析全国高中数学联赛试题集•数学奥林匹克竞赛题库•美国数学竞赛（）历年试题•AMC课后作业设计一个二次函数图像的动态演示完成课本相关习题使用或等工具，完成以下任务请完成教材第三章习题中的以下题目GeoGebra JSXGraph创建一个二次函数的图像

1.y=ax²+bx+c基础题（必做）添加参数、、的滑块，范围分别为

2.a bc，步长第题求顶点坐标和对称轴•a[-5,5]

0.1•12-15，步长第题判断与坐标轴交点•b[-10,10]

0.5•20-23，步长第题图像变换分析•c[-10,10]

0.5•25-28显示顶点、对称轴和与坐标轴的交点

3.添加轨迹功能，观察参数变化时顶点的运动轨迹

4.提高题（选做）编写简短的说明文档，解释参数变化与图像变化的关系

5.第题应用问题作业提交将制作的动态演示文件和说明文档上传至学习平台•35-38第题函数性质综合题•42-45第题参数问题•50完成习题后，可以使用绘图工具验证你的答案，这有助于加深对二次函数图像特征的理解谢谢聆听！期待你们的精彩表现！二次函数是我们理解世界的一把钥匙，它不仅存在于数学课本中，更存在于我们周围的自然与人造世界希望通过本次学习，你能感受到数学的魅力与实用性记住每一个美丽的抛物线背后，都是严谨的数学规律在支撑如有任何问题，欢迎课后交流！。