五数因数与倍数教学课件

五数因数与倍数教学课件第一章因数与倍数的基本概念什么是因数？因数是能够整除某个数的整数，没有余数也就是说，如果一个整数a能够被整数b整除，则b是a的因数例如12的所有因数是12346什么是倍数？倍数是某个数乘以整数得到的结果如果一个整数a是另一个整数b的倍数，那么a能被b整除，没有余数例如4的倍数有44×184×2124×3164×4因数与倍数的区别与联系数量差异相互关系一个数的因数个数是有限的，而倍数个数是无限的如果a是b的因数，那么b就是a的倍数例如3是12的因数，那么12是3的倍数最小因数自身关系1是所有自然数的最小因数，也是所有自然数的最小公因数每个数都是自身的因数，也是自身的倍数生活中的因数与倍数钟表是我们日常生活中最常见的因数与倍数应用之一时间单位换算1小时=60分钟，60是1的倍数，1是60的因数分针与秒针关系1分钟=60秒，分针走一格，秒针正好走完一圈时针与分针关系第二章如何找一个数的因数在这一章节中，我们将学习寻找一个数的所有因数的方法和技巧因数的求法步骤寻找一个数的所有因数，我们可以按照以下步骤进行效率提升技巧01只需要尝试到该数的平方根，因为如果a×b=n，那么a和b中从1开始，尝试用

1、

2、

3...依次去除这个数至少有一个数小于或等于√n02例如要找36的因数，只需要尝试到√36=6若能整除（余数为0），则该数是一个因数•36÷1=36，找到因数1和3603•36÷2=18，找到因数2和18•36÷3=12，找到因数3和12记录下所有找到的因数•36÷4=9，找到因数4和904•36÷5=

7.2，不是因数当试除的数超过原数的平方根时，可以停止尝试•36÷6=6，找到因数6例题演示找出的所有因数24质因数分解法质因数分解是找因数的另一种有效方法，它将一个数分解为质数相乘的形式质因数分解步骤

1.从最小的质数2开始尝试除

2.如果能整除，记下这个质数，并用商继续

3.如果不能整除，尝试下一个质数

4.重复直到商为1或质数例如的质因数分解2424÷2=12（2是质因数）12÷2=6（2是质因数）6÷2=3（2是质因数）3是质数，不能再分解所以24=2×2×2×3=23×3利用质因数分解找因数通过质因数分解，我们可以系统地找出一个数的所有因数方法原理以为例24如果一个数的质因数分解是24=23×31N=pa×qb×rc×...2的指数可以是0,1,2,3其中p、q、r是质数，a、b、c是对应的指数3的指数可以是0,1则N的所有因数可以通过以下方式获得所有组合•p的指数可以是0,1,2,...,a•20×30=1•q的指数可以是0,1,2,...,b•21×30=2•r的指数可以是0,1,2,...,c•22×30=4•将所有可能的组合相乘•23×30=8•20×31=3•21×31=6•22×31=12•23×31=24通过这种方法，我们找到了24的所有8个因数1,2,3,4,6,8,12,24质因数分解树形图示例树形图是一种直观展示质因数分解过程的方法，特别适合教学使用的质因数分解树24通过树形图，我们可以清晰地看到

1.24首先分解为2×

122.12继续分解为2×

63.6再分解为2×

34.3是质数，不能再分解最终得到24=2×2×2×3=23×3这种图解方法有助于学生理解分解的层次性和系统性，是一种很好的可视化教学工具第三章如何找一个数的倍数在这一章节中，我们将学习寻找一个数的倍数的方法和应用倍数的求法寻找一个数的倍数非常直接只需要将这个数乘以不同的整数即可倍数求法步骤

1.取一个自然数n作为基数

2.将n分别乘以1,2,3,4,

5...

3.得到的结果n×1,n×2,n×3,n×4,n×

5...都是n的倍数重要特点一个数的倍数有无限多个，通常我们只需要关注前几个倍数例题演示找出的前个倍数510我们来一步一步找出5的前10个倍数第三步列出结果第二步乘以自然数第一步确定基数5×1=5,5×2=10,5×3=

15...将5分别乘以1,2,

3...10我们要找的是数字5的倍数5的前10个倍数是5101520倍数的实际应用倍数在我们的日常生活和学习中有广泛的应用时间规划财务计算体育比赛每周固定活动的安排利用了7的倍数（7月供、分期付款等都涉及倍数计算比赛积分、计时等都会用到倍数关系天、14天、21天...）购物应用案例排班应用案例小明要购买单价为12元的笔记本，如果他有100元，最多可以买几本？某工厂三班倒，每8小时轮换一次小张1月1日上早班（8:00-16:00），问1月10日他应该上什么班？解需要找到不超过100的12的最大倍数解需要计算天数差的3倍数规律12的倍数12,24,36,48,60,72,84,96,

108...从1月1日到1月10日共9天不超过100的最大倍数是96，即8×12=969÷3=3（9是3的倍数）所以小明最多可以买8本笔记本，剩余4元钱所以小张回到初始状态，1月10日仍上早班日历与倍数的关系日历是我们生活中倍数应用的典型例子周期安排月份规律一周为7天，两周为14天，都是7的倍一个月约为30天，一季度约为90天数（30的3倍）年度计划半年为26周（近似26×7=182天），全年为52周（近似52×7=364天）了解这些倍数关系，有助于我们更好地规划时间、安排活动，提高生活和工作效率例如，要安排每两周一次的固定活动，就需要找出14的倍数对应的日期第四章质数与合数在这一章节中，我们将学习质数与合数的概念、特点及判断方法质数定义质数（也称素数）是指大于1且只有两个因数（1和它本身）的自然数质数的特点•只能被1和自身整除•因数恰好有两个•1不是质数（因为它只有一个因数）•2是最小的质数，也是唯一的偶质数100以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97质数分布特点质数在自然数中分布不规则，但随着数值增大，质数出现的频率逐渐降低质数的无限性已被证明，即质数的数量是无限的合数定义合数是指除了1和它本身外，还有其他因数的自然数合数的特点•因数个数至少有3个（包括1和它本身）•能被1以外的其他数整除•最小的合数是4•所有大于1的自然数，要么是质数，要么是合数例如是合数12因为12的因数有1,2,3,4,6,12（共6个）除了1和12外，还有2,3,4,6这些因数质数与合数的判断方法判断一个数是质数还是合数，主要有以下方法试除法（最常用）质数筛选法（批量判断）

1.从2开始，尝试用小于该数的整数去除埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛）是一种批量找出一定范围内所有质数的方法

2.如果能被任何数整除，则为合数

1.列出要筛选的所有数

3.如果直到该数的平方根都没有发现能整除的数，则为质数

2.从2开始，标记所有2的倍数（除2本身）效率提升

3.找到下一个未标记的数

（3），标记所有3的倍数（除3本身）

4.重复这个过程，直到√n只需要尝试到该数的平方根，因为

5.所有未被标记的数都是质数如果n=a×b，且a≤b，则a≤√n也就是说，如果有因数，至少有一个不大于√n例题判断是质数还是合数29解题思路我们使用试除法来判断29是否为质数

1.尝试用小于29的整数（从2开始）去除

292.只需要尝试到√29≈

5.4，即只需要尝试2,3,

53.29÷2=

14.5（不能整除）

4.29÷3=

9.67（不能整除）

5.29÷5=

5.8（不能整除）由于29不能被2,3,5整除，且已经尝试到了√29，所以29是质数特殊判断技巧•除2外的偶数都是合数•个位是0,2,4,6,8的数（除2外）都是合数•个位是5的数（除5外）都是合数•各位数字之和能被3整除的数（除3外）都是合数102因数个数其他因数因数总数质数分布图与质数筛法质数在自然数中的分布有着独特的规律分布密度孪生质数随着数值增大，质数出现的密度逐渐相差2的一对质数被称为孪生质数，降低例如前10个自然数中有4个如3,

5、5,

7、11,

13、17,19等质数，而90-100之间只有2个质数孪生质数在较大范围内也存在，但变得稀少质数筛法埃拉托斯特尼筛法是一种古老而高效的筛选质数的方法，通过删除质数的倍数来筛选出所有质数了解质数的分布规律和筛选方法，对于解决大量与质数相关的数学问题非常有帮助第五章最大公因数与最小公倍数在这一章节中，我们将学习最大公因数与最小公倍数的概念及计算方法最大公因数（）GCD最大公因数（Greatest CommonDivisor，简称GCD）是指几个整数共有因数中最大的一个计算方法列举法列出各数的所有因数，找出最大的公共因数质因数分解法将各数分解为质因数乘积，取共有质因数的最小次幂的乘积辗转相除法利用欧几里得算法，通过反复取余计算最大公因数的性质•GCDa,b=GCDb,a•GCDa,0=a•GCDa,b=GCDb,a modb（当b≠0时）例求和的最大公因数4836列举法48的因数1,2,3,4,6,8,12,16,24,4836的因数1,2,3,4,6,9,12,18,36共有因数1,2,3,4,6,12最大公因数是12质因数分解法48=24×336=22×32取共有质因数的最小次幂22×31=12483612。