函数的单调性教学课件

函数的单调性教学课件课程目标与学习意义理解单调性定义导数判定法实际应用能力掌握单调函数的严格数学定义，理解单调增熟练掌握利用导数讨论函数单调性的方法，提高解决数学及实际问题的能力，将单调性加与单调减少的基本概念及判定条件能够准确求解函数的单调区间应用于各类函数分析和实际建模中直观引入数学中的增减变化在我们的日常生活中，许多现象都展现出明显的增加或减少趋势一天中的气温变化曲线•城市人口增长趋势图•疫情期间感染人数变化•股票价格波动曲线•学生成绩分布图•这些现象都可以用函数来描述，而函数的增减变化就是我们要研究的单调性单调性的定义函数单调性定义函数单调性的核心概念单调增函数函数值随自变量增加而不减单调减函数函数值随自变量增加而不增数学表达式明确函数单调性的数学表示单调递增函数定义如果在区间上，对任意₁₂∈，当₁₂时，恒有₁₂，则称函数在区间上单调递增I x,x Ix x fx≤fxfx I单调区间与常见描述单调区间的概念•单调递增区间函数在该区间内保持单调递增•单调递减区间函数在该区间内保持单调递减•区间端点与开闭区间需注意单调性在端点处的连续性常见描述方式单调递增区间-∞,a、a,b]、[b,+∞单调递减区间-∞,c]、c,d、[d,+∞注意书写单调区间时，需准确标注区间的开闭情况，这与函数在端点处的连续性和定义域有关单调函数的几何理解单调递增函数单调递减函数图像从左到右持续上升，任意两点连线的斜率均为正值自变量增大，函图像从左到右持续下降，任意两点连线的斜率均为负值自变量增大，函数值也随之增大数值反而减小单调性的本质单调性的核心思想单调性本质上是比较两个不同自变量值下对应的函数值大小通过分析函数值的变化趋势，我们可以判断函数的增减性质差分法分析设x₁x₂，考察fx₂-fx₁的符号•若恒有fx₂-fx₁≥0，则fx单调递增•若恒有fx₂-fx₁≤0，则fx单调递减单调性的性质传递性区间可加性唯一性若函数在区间上单调递增，在区间若函数在区间₁和₂上都单调递增（或都若函数的单调区间存在，则这些区间是唯f[a,b]f I I f上也单调递增，则函数在区间上单调递减），且₁₂∅，则函数在一确定的，不会有重叠（除端点外）这意[b,c]f[a,c]I∩I≠f单调递增单调递减函数同理₁∪₂上也单调递增（或单调递减）味着函数的单调性变化点是固定的II利用定义判定单调性一般步骤步骤三判断符号步骤二计算函数值差分析差值的符号，确定函数的单调性步骤一任取自变量计算函数值之差₂₁或₁₂fx-fxfx-fx在给定区间内任取两个自变量₁和₂，满x x足₁₂x x示例判断在上的单调性fx=x²[0,+∞任取₁₂∈且₁₂，则x,x[0,+∞x x₂₁₂₁₂₁₂₁fx-fx=x²-x²=x-x x+x因为₁₂且₁₂，所以₂₁，₂₁x x x,x≥0x-x0x+x0因此₂₁，即₂₁fx-fx0fx fx所以函数在上单调递增fx=x²[0,+∞典型例题用定义法判定1例题判断函数的单调性fx=3x-7分析与解答任取₁₂∈且₁₂x,x Rx x₂₁₂₁₂₁fx-fx=3x-7-3x-7=3x-x因为₁₂，所以₂₁xxx-x0因此₂₁₂₁，即₂₁fx-fx=3x-x0fx fx所以函数在上单调递增fx=3x-7R从图像上看，一次函数的图像是一条直线，斜率，所fx=3x-7k=30以该函数在整个定义域上单调递增R这个例子说明对于一次函数，当时函数单调递增，当fx=kx+b k0时函数单调递减，当时函数为常值函数k0k=0讨论导数与单调性的关系导数0函数单增导数0函数单减或极值导数与单调性判定定理若函数在区间上可导，且在区间内导数，则函数在区间上单调递增；fx II fx0fx I若函数在区间上可导，且在区间内导数，则函数在区间上单调递减fx II fx0fx I利用导数判定单调性的步骤1求导函数计算函数的导数，得到导函数表达式fx fx2求解不等式分别解不等式和，找出导数的符号fx0fx03分析临界点分析导数零点、不存在点以及函数间断点4确定单调区间结合导数符号和函数定义域，确定单调递增区间和单调递减区间典型例题求单调区间2例题求函数的单调区间fx=2x³-6x²+7解答Step1求导函数fx=6x²-12x=6xx-2Step2求解不等式fx0⟹6xx-20⟹x0或x2fx0⟹6xx-20⟹0Step3确定单调区间单调递增区间-∞,0∪2,+∞单调递减区间0,2典型例题对数函数3例题求函数的单调区间fx=xlnx x0解答求导函数Step1fx=1·lnx+x·1/x=lnx+1求解不等式Step2⁻fx0lnx+10lnx-1xe¹=1/e⟹⟹⟹fx0lnx+10lnx-10⟹⟹⟹确定单调区间Step3单调递增区间1/e,+∞单调递减区间0,1/e函数在处取得极小值，这是函数单调性发生改变的点fx=xlnx x=1/e典型例题含参数函数4例题讨论二次函数的单调性fx=ax²+bx+c a≠0解答首先求导fx=2ax+b令fx=0，得x=-b/2a当a0时，x-b/2a时fx0，函数单调递减；x-b/2a时fx0，函数单调递增当a0时，x-b/2a时fx0，函数单调递增；x-b/2a时fx0，函数单调递减当a0时，抛物线开口向下，函数先增后减，在x=-b/2a处取得最大值例题分析拐点与极值单调性与极值的关系函数单调性的断点通常是函数的极值点在这些点处，函数的增减性发生改变单调递增单调递减极大值点•→单调递减单调递增极小值点•→拐点的特征拐点是曲线凹凸性改变的点，与单调性无直接关系，但都与导数有关单调性与一阶导数符号有关•fx凹凸性与二阶导数符号有关•fx图中点是极大值点，函数在此处由增变减；点是极小值点，函数在此处由减变增；点是拐点，函数在此处凹A BC凸性发生改变，但单调性可能不变应用案例实际问题建模12企业利润函数模型销量与价格关系建模假设某产品的利润函数为（为产品单价，单假设某商品的销量与价格之间的关系为Px=x100-x-200x q p q=1000e^-

0.05p位元）分析销售收入随价格变化的单调性R=p·qp求解利润函数的单调区间，确定最佳定价策略解Rp=p·1000e^-

0.05p=1000p·e^-

0.05p解，令得Px=100-2x Px=0x=50Rp=1000e^-

0.05p1-

0.05p当，利润随价格上升而增加00令得Rp=0p=20当时，，利润随价格上升而减少x50Px0当，收入随价格上升而增加00因此，最佳定价为元，此时利润最大50当时，，收入随价格上升而减少p20Rp0因此，最佳定价为元，此时销售收入最大20这些实例展示了如何将单调性分析应用于经济学模型中，帮助企业做出最优决策导数法不仅能帮助我们找到函数的极值点，还能分析函数在不同区间的变化趋势高考真题剖析高考真题特点解题策略典型高考压轴题多采用导数法讨论函先分析函数表达式特点，判断适用的•

1.数单调性方法常见组合单调性极值参数综合对于含参数的题目，讨论不同参数取•++

2.设置值下的情况注重实际应用背景，考察建模能力计算导数后，特别注意导数零点和不•

3.存在点涉及证明题，要求严格的数学推导•绘制简图辅助分析，防止遗漏区间

4.注意检查函数定义域，避免讨论无意

5.义区间高考中关于函数单调性的题目通常分值较高，是区分学生数学能力的重要题型掌握单调性分析方法，对提高数学成绩有显著帮助常见函数的单调性规律1函数类型表达式单调区间特点2一次函数fx=kx+bk0时R上单调递增k0时R上单调递减k=0时常值函数单调性由系数k决定3二次函数fx=ax²+bx+c a≠0a0时-∞,-b/2a单减，-b/2a,+∞单增a0时-∞,-b/2a单增，-b/2a,+∞单减在x=-b/2a处取极值4指数函数fx=a^x a0,a≠1a1时R上单调递增0增长或衰减速度随x增大而加快5对数函数fx=log_a xa0,a≠1a1时0,+∞上单调递增0增长或衰减速度随x增大而减慢6正弦函数fx=sin x在2kπ-π/2,2kπ+π/2上单增在2kπ+π/2,2kπ+3π/2上单减周期性变化，单调区间长度为π熟悉常见函数的单调性规律，可以帮助我们快速判断复杂函数的单调区间，特别是在处理复合函数时更为有效反函数单调性关系反函数的单调性定理如果函数f在区间I上严格单调递增（或严格单调递减），则其反函数f^-1在对应区间fI上也严格单调递增（或严格单调递减）几何解释函数与其反函数的图像关于直线y=x对称如果原函数是严格单调的，则其反函数必然存在且也是严格单调的，且保持相同的单调性适用条件•函数必须是严格单调的（即不含相同函数值）•区间与定义域需要配合考虑组合函数单调性和差函数乘积函数复合函数若和在区间上都单调递增（或都单调递减），若和在区间上都为正且都单调递增，则若在区间上单调递增，在上单调递增，则fx gx I fx gx Ifx Igx fI则在区间上也单调递增（或单调递减）在上也单调递增复合函数在上单调递增fx+gx Ifx·gx Igfx I若在上单调递增，在上单调递减，则若和一个单调递增为正，一个单调递减为负，若在上单调递增，在上单调递减，则fx Igx Ifx-fxgxfx Igx fI在上单调递增则在上单调递减在上单调递减gx Ifx·gxIgfx I若在上单调递减，在上单调递增，则fx Igx fI在上单调递减gfx I若在上单调递减，在上单调递减，则fx Igx fI在上单调递增gfx I例分析函数的单调性hx=e^x²解可看作，其中，hx gfxfx=x²gt=e^t在上单调递减，在上单调递增fx=x²-∞,00,+∞在上单调递增gt=e^t R所以在上单调递减，在上单调递增hx=e^x²-∞,00,+∞常见误区与易错点忽略定义域范围导数零点遗漏或区间分段错误混淆处处单调与局部单调讨论函数单调性时，必须首先明确函数的求解时可能出现计算错误，或者忘有些函数在整个定义域上具有单调性，如fx=0定义域例如，函数的单调性只能记考虑导数不存在的点这些点是单调性在上单调递增；而有些函数只在fx=√xfx=e^x R在上讨论，不能讨论负数区间可能发生改变的关键点局部区间上具有单调性，如在[0,+∞fx=x²-上单调递减，在上单调递增∞,00,+∞解决方法在开始分析前，先确定函数的解决方法解方程后，检查是否有fx=0定义域，然后再讨论导数符号导数不存在的点（如无定义点、瑕点等），解决方法通过导数分析确定单调区间后，确保所有可能的临界点都被考虑明确指出单调性适用的区间范围，避免笼统地描述注意当函数在某点处导数为零时，不能直接判断函数在该点处的单调性需要分析导数在该点附近的符号变化情况数形结合思想解析数形结合的基本思想数形结合是指将代数运算与几何直观相结合，用图像帮助理解函数性质，用代数验证几何猜想在单调性分析中的应用通过图像变化直观验证计算结论•利用切线斜率辅助理解单调性•在复杂问题中，先通过草图推测，再严格证明•切线斜率与单调性函数在点处的导数就是该点切线的斜率当切线斜率恒为正时，函数单fx xfx调递增；当切线斜率恒为负时，函数单调递减图示函数的图像（蓝色曲线）与各点的切线（红色线段）在单调递增区间，fx切线斜率为正；在单调递减区间，切线斜率为负；在极值点处，切线斜率为零数形结合的方法不仅能帮助我们更直观地理解单调性，还能在解题过程中提供思路，减少计算错误典型练习题填空与选择1练习练习练习123函数在区间上的单调递增区若函数在上单调递下列函数中，在其定义域上是单调函数的是fx=2x³-3x²[0,2]fx=x^a·ln xx00,+∞间是减，则实数的取值范围是_________a__________________解析解析fx=6x²-6x=6xx-1fx=a·x^a-1·ln x+x^a·1/x=x^a-A.fx=x²+11a·ln x+1当∈时，，函数单调递减x0,1fx0B.fx=sin x要使，即fx0x^a-1a·ln x+10当∈时，，函数单调递增x1,2]fx0C.fx=x+1/x分析可得a0答案[1,2]D.fx=2^x答案-∞,0解析选项的函数在上单调递增D fx=2^x R答案D提示填空题和选择题通常考查基本概念和简单计算，是考察单调性理解的基础题型解题时应注意准确运用定义或导数法，特别注意区间的开闭情况典型练习题计算与证明2练习用不同方法判定单调性方法二导数法4判断函数fx=e^x-x在R上的单调性fx=e^x-1方法一定义法当时，，所以x0e^x1fx0任取x₁当x=0时，e^x=1，所以fx=0₂₁₂₁当时，=e^x-e^x-x-xx00令gt=e^t，则gt=e^t0因此，fx在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增方法比较由拉格朗日中值定理，存在∈₁₂，使得ξx,x₂₁₂₁₂₁定义法直接应用函数单调性定义，证明过程更为严格，但计算较复杂e^x-e^x=gξx-x=e^ξx-x所以₂₁₂₁₂₁₂₁fx-fx=e^ξx-x-x-x=e^ξ-1x-x导数法利用导数符号判断，计算简便，但需要函数可导因为₁，所以，即ξx e^ξ1e^ξ-10结论差异本例中两种方法得出的结论不同，说明在分析过程中可能有疏漏因此₂₁，即在上单调递增fx-fx0fx R重新检查定义法中的分析有误，正确结论应与导数法一致课堂互动讨论与探索小组竞赛函数单调性辨析活动设计将全班分为个小组

1.4-6每组抽取一张函数卡片，分析该函数的单调区间

2.小组代表在黑板上展示解题过程

3.其他小组可以提问或挑战

4.教师点评并总结各组解法的优缺点

5.竞赛评分标准解题正确性、分析思路清晰度、展示表达能力真实数据图表分析活动设计提供真实经济、气象或人口数据图表

1.要求学生识别数据曲线的单调区间

2.分析单调性变化的原因

3.建立数学模型，拟合函数表达式

4.讨论该模型的应用价值

5.这一活动将抽象的单调性概念与实际数据相结合，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力课堂互动环节能够激发学生的学习兴趣，加深对单调性概念的理解，同时培养团队协作和表达能力拓展提升极值点在实际中的应用基本概念数学应用实际应用经济最优化工程设计与数据分析利润最大化案例符号变化法与判别法对比某企业产品的成本函数为，收入函数为，其中为产量符号变化法通过分析导数的符号变化判断函数的单调性和极值点该方法直观但计算量大Cx=

0.01x²+2x+100Rx=10x-

0.02x²x利润函数判别法利用导数零点及二阶导数判别法快速判断极值Px=Rx-Cx=10x-

0.02x²-

0.01x²+2x+100，说明是极大值点Px=8x-

0.03x²-100Px=-

0.060x=

133.33这一简单判别避免了复杂的区间讨论Px=8-

0.06x本节小结单调性定义单调递增与单调递减的严格定义1判定方法2定义法与导数法解题步骤3导数法判定单调区间的三步法求导函数、解不等式、确定区间实际应用4经济模型分析、最优化问题求解、数学建模与实际问题分析数形结合5综合运用代数计算与几何直观，深入理解单调性概念及其应用通过本节课的学习，我们掌握了函数单调性的基本概念、判定方法以及应用技巧单调性是研究函数性质的重要工具，也是解决极值问题的基础将单调性与极值、凹凸性等概念结合，可以全面分析函数的变化规律，为解决实际问题提供数学依据课后作业与思考题1基础题组完成课本例题及习题P78-P801-51-3内容包括利用定义判断简单函数单调性、利用导数判断基本初等函数单调区间、分析常见函数单调性规律2提高题组完成教师讲义的探究题P15-P161-3内容包括含参数函数单调性分析、复合函数单调性讨论、单调性与方程解的关系3拓展思考题思考函数在上是否单调？为什么？fx=x+sin xR思考如何利用单调性证明不等式？举例说明研究单调函数与可导函数、连续函数之间的关系课后作业的设计遵循由易到难、循序渐进的原则，旨在巩固课堂所学知识，拓展思维深度，培养学生的数学应用能力建议同学们先独立完成作业，遇到困难再与同学讨论或请教老师课堂反馈与交流课后答疑方式每周三下午开放数学教研室，欢迎前来咨询•3:30-5:00班级微信群中可以提出问题，老师或同学互助解答•可通过学习平台提交电子作业，获取及时反馈•推荐使用数学问答，扫描课本习题获取解析•APP学习心得分享鼓励同学们在班级论坛中分享学习方法、解题技巧或思考感悟，优秀分享将获得额外学分奖励特别推荐可以制作函数单调性小卡片，归纳总结各类函数的单调区间和判定方法，形成便于复习的知识体系温馨提示单调性是函数性质的重要部分，也是后续学习导数应用、函数最值等内容的基础建议将本节内容与前面学习的函数概念、性质相结合，构建完整的函数知识网络下节课我们将学习函数的极值与最值，请提前预习课本相关内容。