导数定义及应用教学课件

导数的定义及应用目录理论基础计算方法应用拓展•导数定义•定义法求导•单调性与极值•导数性质与本质•基本求导法则•几何与物理应用•几何与实际意义•复合函数求导•实际问题建模问题的引入在日常生活中，我们经常需要描述各种变化率问题•汽车在某一时刻的瞬时速度•人口增长率在特定时间点的变化•药物在体内浓度随时间的变化率•经济增长在某一点的增速这些问题的共同特点是需要描述函数在特定点的变化趋势，而不是两点之间的平均变化导数的思想起源物理背景经济背景几何背景17世纪科学家研究物体运动时，需要精确描述边际分析需要研究当投入增加极小量时，产出曲线上一点的切线问题，需要从割线逐渐逼近瞬时速度，而不仅是平均速度的变化情况切线导数的定义（）1函数fx在点x₀处的导数定义为或等价地表示为这一定义基于函数的增量比，要求这个比值的极限存在导数的定义（）2函数增量比增量趋零求极限导数导数定义的直观理解•当h→0时，点x₀+h,fx₀+h沿着曲线逐渐接近点x₀,fx₀•对应的割线逐渐接近该点的切线•增量比[fx₀+h-fx₀]/h的极限值就是切线的斜率•如果这个极限存在，我们称函数在该点可导导数的本质瞬时变化率切线斜率导数本质上表示函数输出对输入的瞬时变化响几何上，导数等于函数图像在该点处的切线斜应，描述变化有多快率，表示曲线的倾斜程度变化速率物理速度在物理问题中，位移对时间的导数就是速度，速度对时间的导数是加速度导数公式的写法常见导数记号•拉格朗日记号fx,y,u•莱布尼茨记号\\frac{dy}{dx},\frac{d}{dx}fx,\frac{df}{dx}\•高阶导数fx,fx,f⁽ⁿ⁾x•莱布尼茨高阶导数记号\\frac{d^2y}{dx^2},\frac{d^3y}{dx^3},\frac{d^ny}{dx^n}\不同的记号形式反映了导数发展的历史，也适用于不同的计算和应用场景莱布尼茨记号在物理和工程中尤为常用左导数与右导数左导数定义从左侧趋近时的导数值，只考虑h0的情况右导数定义从右侧趋近时的导数值，只考虑h0的情况导函数当我们计算函数fx在其定义域内每一点的导数值，这些值构成了一个新的函数，称为导函数，记作fx导函数描述了原函数在各点的变化率，它本身也是一个函数，具有自己的定义域、值域和图像例如，函数fx=x²的导函数是fx=2x，表示在任意点x处的瞬时变化率为2x导数存在条件函数必须连续左右导数相等图像光滑可导的必要条件是函数在该点连续若函数函数在该点可导的充要条件是左导数和右导几何上，函数在可导点处的图像是光滑的，在某点不连续，则在该点一定不可导数都存在且相等没有尖角、垂直切线或跳跃导数与连续的关系理论证明可导必连续若fx在点x₀处可导，则有这说明\\lim_{x\to x_0}fx=fx_0\，即函数在x₀处连续重要反例连续不一定可导\fx=|x|\在x=0处连续但不可导基础例题讲解（定义法）例求fx=x²在x=1处的导数步骤三化简表达式步骤二代入函数表达式步骤一列出导数定义常见函数求导（定义法）幂函数指数函数fx=xⁿ的导数fx=aˣ的导数例x³的导数为3x²特例eˣ的导数为eˣ对数函数三角函数fx=logₐx的导数常见导数特例lnx的导数为1/x导数的几何意义导数的主要几何意义是函数图像在该点处的切线斜率对于函数y=fx，在点Px₀,fx₀处的切线方程为这一几何解释使导数概念更加直观•导数为正函数在该点递增，切线向上倾斜•导数为负函数在该点递减，切线向下倾斜•导数为零切线水平，可能是极值点•导数不存在可能有尖点或垂直切线导数的实际意义物理学中经济学中•位移对时间的导数是速度•边际成本成本对产量的导数•速度对时间的导数是加速度•边际收益收益对销量的导数•电荷变化率是电流•边际效用效用对消费的导数生物学中•种群增长率种群对时间的导数•反应速率浓度对时间的导数•代谢率变化能量消耗对时间导数基本求导法则常数和变量法则和差法则常数倍法则积法则商法则反函数法则复合函数的求导链式法则对于复合函数y=fgx，其导数为其中u=gx链式法则表明复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数乘以内层函数的导数例题求fx=sinx²的导数解令u=x²，则fx=sinu链式法则是求导中最强大的工具之一，它使我们能够处理函数嵌套的情况实际应用中可以层层剥离函数结构，逐步求导难点突破训练分段函数的可导性判定检查分段函数可导性检查函数连续性检查左右导数相等典型例题判断下列函数在x=0处的可导性分析检查x=0处的左右导数对于x≠0，使用积法则和链式法则求导当x→0时，x²sin1/x的导数趋于0因此函数在x=0处可导，且导数为0微分与高阶导数微分的定义函数y=fx的微分定义为其中dx是自变量x的微小变化，dy是函数值的相应变化微分提供了函数值变化的近似高阶导数二阶导数fx或\\frac{d^2y}{dx^2}\，表示导函数的导数n阶导数f^nx或\\frac{d^ny}{dx^n}\物理与几何意义•二阶导数在物理中表示加速度•二阶导数的符号决定了曲线的凹凸性•fx0曲线向上凹（凸函数）•fx0曲线向下凹（凹函数）导数在单调性研究中的作用判断依据•若fx0，则函数在该区间单调递增•若fx0，则函数在该区间单调递减•若fx=0，需要进一步分析（可能是极值点）判断步骤

1.求函数的导数fx

2.解不等式fx0和fx

03.确定函数的单调区间

4.在数轴上标记并分析例题应用判断函数fx=x³-3x²的单调区间解fx=3x²-6x=3xx-2令fx=0得x=0或x=2导数在极值研究中的应用极值点的必要条件若函数fx在点x₀处取得极值，且fx₀存在，则满足fx=0的点称为函数的驻点或稳定点极值的充分条件（二阶导数判别法）若fx₀=0且fx₀≠0，则•若fx₀0，则x₀为极大值点•若fx₀0，则x₀为极小值点例题求函数fx=x³-3x²+1的极值解

1.求导fx=3x²-6x=3xx-

22.令fx=0，得x=0或x=

23.求二阶导fx=6x-

64.代入f0=-60，f2=60导数与最值（最大值最小值）问题第二步求导并找临界点第一步确定研究区间计算函数的导数，找出导数为零或不存在的点（临界点）明确函数的定义域，以及最值问题的研究范围（闭区间、开区间或全域）第四步比较确定最值第三步考察端点值比较所有临界点和端点的函数值，确定最大值和最小值如果是闭区间问题，需要计算区间端点处的函数值导数判断函数图像开口与拐点凹凸性判定•若fx0，则函数在该区间图像向上凹（凸函数）•若fx0，则函数在该区间图像向下凹（凹函数）拐点定义与判定拐点是函数图像凹凸性发生改变的点拐点的必要条件fx₀=0或fx₀不存在拐点的充分条件fx在x₀处变号例题分析函数fx=x⁴-2x²的凹凸性与拐点解

1.求二阶导数fx=4x³-4x，fx=12x²-

42.解fx=0得x=±√1/

33.函数的凹凸区间•-∞,-√1/3向上凹•-√1/3,√1/3向下凹•√1/3,+∞向上凹导数与几何应用法线方程切线方程与切线垂直的直线，其方程为点x₀,fx₀处的切线方程曲率计算曲线间的夹角曲线在点x,fx处的曲率两曲线y=fx和y=gx的夹角导数与物理应用运动学应用对于位移函数s=ft•速度vt=st=\\frac{ds}{dt}\•加速度at=vt=st=\\frac{d^2s}{dt^2}\•加加速度（急动度）jt=at=st=\\frac{d^3s}{dt^3}\例自由落体运动位移函数st=\\frac{1}{2}gt^2\速度函数vt=gt加速度at=g（常量）变速直线运动分析一物体沿直线运动，位移函数为st=t³-6t²+9t，分析

1.速度函数vt=3t²-12t+

92.加速度函数at=6t-

123.物体何时静止解vt=0，得t=1或t=3导数与函数模型建模人口增长模型经济模型logistic增长模型\\frac{dP}{dt}=rP1-边际成本\MCq=\frac{dC}{dq}\\frac{P}{K}\描述多生产一个单位产品的额外成本，企业生描述有限资源条件下的种群增长，P是人口数产决策的关键量，K是环境容纳量物理模型化学反应模型牛顿冷却定律\\frac{dT}{dt}=-kT-一级反应\\frac{dC}{dt}=-kC\T_a\描述物质浓度C随时间的变化率，k为反应速描述物体温度T向环境温度Ta冷却的速率率常数经典综合例题追及问题两车在直线道路上运动A车以恒定速度5m/s行驶；B车初始位置比A车落后100m，但以加速度2m/s²匀加速运动求

1.B车何时追上A车？

2.追上时B车的速度是多少？解设追上时间为t秒，则有•A车位移s_A=5t•B车位移s_B=\\frac{1}{2}\cdot2\cdot t^2=t^2\•追及条件s_B+100=s_A•解方程t²+100=5t，得t=10秒•B车速度v_B=2t=20m/s这个例题展示了导数在运动学中的应用通过分析位移、速度和加速度之间的关系（它们分别是对时间的导数关系），我们可以解决复杂的运动问题小组讨论与课堂练习常见连续不可导函数尖点垂直切线跳跃不连续点图像特征与导数性质分析开放讨论题导数的实际应用

1.在你的专业领域中，导数概念有哪些具体应用？

2.为什么物理学和经济学中大量使用导数概念？

3.如何直观理解高阶导数的物理意义？总结与拓展核心概念•导数作为变化率的精确数学表达•导数的几何意义切线斜率•可导性与连续性的关系关键应用•函数性质研究单调性、极值、凹凸性•最值问题与优化•物理与经济模型中的应用知识拓展•偏导数与多元函数微分•积分学微积分基本定理•微分方程动态系统建模。