小学反比例教学课件

小学数学反比例教学课件第一章反比例的初识在我们开始探索反比例这个有趣的数学概念之前，先让我们思考一下当你与朋友分享一袋糖果时，如果参与的人数增加，每个人能得到的糖果会怎样变化？这就是我们即将学习的反比例关系的一个例子什么是反比例？定义数学特征变化规律反比例是指两个变量的乘积保持为一个固定当变量x增大到原来的n倍时，变量y会相应的常数，当一个变量增大时，另一个变量必减小到原来的1/n倍，使得它们的乘积保持然按比例减小不变生活中的反比例现象分享糖果当分享一袋固定数量的糖果时，参与分享的人数越多，每个人能分到的糖果就越少人数与每人获得的糖果数量构成反比例关系水池注水反比例的数学表达式公式表示例题计算已知x和y成反比例，当x=2时，y=6求常数k的值其中，x和y是两个变量，k是一个常数（即比例系数）这个公式告诉我们无论x和y如何变化，它们的乘积始终等于常数k所以这个反比例关系可以表示为xy=12反比例曲线示意反比例函数的图像是一条双曲线，由两个分支组成，分别位于第一象限和第三象限图像特点当x值增大时，y值减小；当x值减小时，y值增大图像不经过坐标原点，也不与坐标轴相交曲线上的每一点都满足xy=k，即两个坐标的乘积等于常数k反比例与正比例的区别正比例反比例•图像是一条过原点的直线•图像是双曲线•x增大，y也增大•x增大，y减小•x减小，y也减小•x减小，y增大•变量变化方向相同•变量变化方向相反•适用于同向变化的情况•适用于反向变化的情况反比例函数图像特点不经过坐标轴反比例函数图像不经过x轴和y轴，因为当x=0时，y值无意义；当y=0时，x值也无意义双曲线形状反比例函数的图像是双曲线，由两个分支组成，各自无限接近但不与坐标轴相交象限分布当k0时，图像分布在第一象限和第三象限；当k0时，图像分布在第二象限和第四象限对称性反比例函数图像关于原点对称，即如果点a,b在图像上，那么点-a,-b也在图像上课堂互动判断下列关系是否为反比例例速度与时间例身高与体重12一辆汽车行驶固定距离，速度与所需时间的关系一个人的身高与体重的关系分析假设固定距离为100公里分析身高增加时，体重通常也会增加•速度50公里/小时，需要2小时•身高

1.6米，体重可能是50公斤•速度100公里/小时，需要1小时•身高

1.8米，体重可能是70公斤速度×时间=100（固定值）身高×体重≠常数结论是反比例关系结论不是反比例关系小结反比例的定义与图像反比例定义两个变量的乘积为常数k，表示为xy=k一个变量增大，另一个变量减小图像特点反比例的图像是双曲线，不经过坐标轴，分布在第一和第三象限（当k0时）实际应用生活中许多现象都体现了反比例关系，如速度与时间、人数与分配量等第二章反比例的性质与计算在了解了反比例的基本概念后，我们将深入探索反比例的性质，并学习如何进行相关计算通过本章的学习，你将能够熟练运用反比例的性质解决各种实际问题，并掌握反比例函数图像的绘制方法反比例的基本性质乘积恒定反向变化变化比例图像特征理解这些基本性质对于解决反比例问题至关重要特别是乘积恒定这一性质，是我们解决大多数反比例应用题的关键计算练习已知，求当时的值k=12y x=3第二步代入已知值第一步明确反比例公式将x=3代入公式中我们已知k=12，需要代入公式计算第四步验证结果第三步解方程求y检查x与y的乘积是否等于k通过除法计算得出y的值结论当x=3时，y=4反比例函数的应用题工作效率与完成时间例题10名工人完成一项工程需要12天，那么15名工人完成同样的工程需要多少天？分析工人人数与完成工程所需时间成反比例关系计算先求出常数k1再求15名工人所需天数答案15名工人需要8天完成工程反比例函数的图像绘制如何绘制的反比例函数图像k=80102确定反比例关系xy=8列出一系列x和y的对应值x1248y84210304在坐标系中标出这些点1,

8、2,

4、连接这些点形成平滑曲线，注意曲线不经4,

2、8,1过坐标轴05补充第三象限部分-1,-

8、-2,-

4、-4,-

2、-8,-1反比例函数图像绘制反比例函数xy=k的图像是双曲线，当k0时，图像位于第一象限和第三象限绘制步骤关键在于确定一系列点的坐标，然后将这些点用平滑曲线连接起来选择简单的x值（如

1、

2、

4、8等）可以方便计算对应的y值记住图像不会与坐标轴相交，因为x和y都不能为0（否则乘积无法等于常数k）曲线会无限接近坐标轴但永远不会触及坐标轴反比例函数的实际意义变量间的相互制约反比例描述了两个变量之间的相互制约关系，一方的增加必然导致另一方的减少，且变化的程度是成比例的优化资源分配理解反比例有助于我们在有限资源条件下做出最优决策，例如时间与效率的平衡、成本与质量的权衡等生活中的例子水龙头水流速度与注满水桶时间的关系、同一距离下速度与时间的关系、固定面积的长方形中长与宽的关系等课堂练习填空与选择题填空题判断题

1.反比例的一般式为xy=k，其中k是常数

1.汽车的速度与行驶相同距离所需时间成反比例关系（√）

2.当x的值变为原来的3倍时，y的值变为原来的1/

32.长方形的长与宽成反比例关系（×）（解释只有面积固定时才成立）

3.反比例函数的图像是双曲线，不经过坐标轴

3.班级人数与人均占地面积成反比例关系（√）

4.商品单价与购买数量成反比例关系（×）小结掌握反比例的计算与图像计算方法掌握反比例的基本公式xy=k，能够计算出当一个变量确定时，另一个变量的值记住乘积恒等于常数k图像绘制能够根据反比例关系选取合适的点，在坐标系中绘制双曲线图像，并理解图像的基本特征应用能力能够识别生活中的反比例现象，并运用反比例的性质解决实际问题，尤其是工作效率、时间与速度等问题第三章反比例的综合应用与拓展在掌握了反比例的基本概念和计算方法后，我们将探索反比例在更广泛领域的应用，包括几何、地图、物理等方面的问题通过这一章的学习，你将能够灵活运用反比例知识解决各种复杂问题，并深入理解反比例在现实世界中的重要性反比例在几何中的应用长方形面积与边长当长方形的面积固定时，长与宽成反比例关系例题一个面积为24平方厘米的长方形，当长为6厘米时，宽为多少？解答设宽为y厘米答案宽为4厘米拓展思考如果将长方形的长增加到12厘米，宽会变成多少？可以发现，长增加到原来的2倍，宽减少到原来的1/2，这正是反比例的特性反比例与比例尺问题比例尺的定义反比例关系地图比例尺表示地图上的距离与实际比例尺的分母n与地图上同一实际距距离的比值，通常表示为1:n或1/n离的长度成反比例关系比例尺越小（分母越大），地图上的表示越小计算示例某地图比例尺为1:10000，两地在地图上距离5厘米，实际距离为500米如果换成1:20000的地图，两地距离变为

2.5厘米这个例子说明比例尺分母增大一倍，地图上的距离缩小一半，体现了反比例关系反比例问题的解题策略010203识别反比例关系找出常数设未知数k判断两个变量是否符合一个增大，另一个减利用已知的一组x和y值，计算出乘积常数k=x×根据问题要求，设出需要求解的变量（通常用字小，乘积不变的特征y母x或y表示）0405列方程求解验证结果利用反比例关系xy=k列出方程，代入已知值求解未知变量检查所得结果是否符合题意，必要时进行单位换算典型应用题演练例题水管注水问题例题车速与时间问题12一根水管以一定的流量向水池注水，需要8小时才能注满如果再开小明骑自行车从家到学校，速度为10千米/小时，需要20分钟如果一根相同的水管，需要多少小时才能注满？他以15千米/小时的速度骑行，需要多少分钟？分析水管数量与注满时间成反比例关系分析速度与时间成反比例关系解答设水管数量为x，注满时间为y小时解答设速度为v，时间为t已知x=1时，y=8，所以k=1×8=8已知v=10时，t=20，所以k=10×20=200当x=2时，y=k÷x=8÷2=4当v=15时，t=k÷v=200÷15≈

13.33答案需要4小时答案约13分20秒动手实践，理解反比例通过动手绘制反比例函数图像，学生们可以更直观地理解反比例的特性在实践过程中，同学们选择不同的k值（比如k=

6、k=

12、k=24等），观察不同k值对应的图像有何异同在绘制过程中，学生们发现k值越大，曲线越远离坐标轴；k值越小，曲线越接近坐标轴但无论k值如何变化，反比例函数的图像始终保持双曲线的形状，不与坐标轴相交这种亲身实践的学习方式，有助于加深对反比例概念的理解和记忆反比例的误区与注意点变量不能为零不是所有反向变化都是反比例在反比例关系xy=k中，x和y都不能取两个变量反向变化不一定是反比例关0值，否则乘积无法等于常数k这也系只有当它们的乘积为常数时，才解释了为什么反比例函数的图像不经是反比例关系例如温度升高，人过坐标轴感觉热；温度降低，人感觉冷这是反向变化，但不是反比例图像的象限分布当k0时，反比例函数的图像分布在第一和第三象限；当k0时，图像分布在第二和第四象限初学者常常忽略负值情况课堂小测验反比例综合题选择题应用题

1.下列关系中，属于反比例关系的是（B）一辆汽车以60千米/小时的速度，行驶某段路程需要

2.5小时如果以75千米/小时的速度行驶这段路程，需要多少小时？A.商品单价与购买数量分析速度与时间成反比例关系B.相同工作量下，工人人数与完成时间C.学生年龄与身高D.温度与人的感受求出k=60×

2.5=

1502.已知x和y成反比例关系，当x=3时，y=4则当x=6时，y的值为（C）A.8B.7C.2D.12答案需要2小时反比例学习总结基本定义核心性质反比例是两个变量的乘积等于常数，表示为xy乘积恒定、反向变化、比例对应（一个变量变=k一个变量增大，另一个变量按比例减为n倍，另一个变为1/n倍）小实际应用图像特点广泛应用于速度与时间、工作效率、几何计双曲线形状，不经过坐标轴，k0时分布在第算、资源分配等领域的问题解决

一、三象限拓展阅读与思考反比例与函数的联系物理学中的反比例反比例关系y=k/x是一种特殊的函数在物理学中，许多自然规律都体现了关系，它是初等函数中的有理函数反比例关系例如波义耳定律（气在高年级学习中，你会接触到更多与体压强与体积的反比例关系）、光强反比例相关的函数知识与距离的平方的反比例关系等生活中的反比例探索尝试在日常生活中发现更多的反比例关系例如蛋糕的大小与分得的份数、家庭预算分配、时间管理等方面结束语反比例知识是理解数学变化关系的关键，它帮助我们认识世界的运行规律通过学习反比例，我们不仅掌握了一种数学工具，更培养了分析问题、解决问题的能力希望同学们能够带着好奇心，在生活中主动发现数学之美，将所学知识应用到实际中，体会数学的魅力与价值记住数学不仅存在于课本中，更存在于我们周围的世界里当你能用数学的眼光观察世界时，你会发现无穷的奇妙！。