数学选修2-3教学课件

数学选修教学课件2-3目录12第一章函数与导数基础第二章导数的应用函数定义与性质回顾、导数的概念、基本运算法则、高阶导数与微分函数单调性与极值判定、凹凸性与拐点、实际问题中的应用、相关变化率34第三章函数的综合问题第四章拓展与思考函数图像与性质分析、参数方程与极坐标函数、最值问题、不等式应对称图形的导数应用、数论与函数联系、圆锥曲线与导数、思考题与用学习建议第一章函数的定义与性质回顾基本概念•函数的定义域函数中自变量所有可能取值的集合•函数的值域函数取值的全体构成的集合•单调性在某区间内，函数值随自变量增大而增大（减小）•奇偶性f-x=-fx为奇函数；f-x=fx为偶函数•周期性若存在T0，使得fx+T=fx恒成立，则T为周期函数图像直观展示了函数的各种性质导数的概念与几何意义极限定义几何意义₀₀₀₀₀fx=lim[Δx→0][fx+Δx-fx]/Δx函数在点x,fx处的切线斜率表示函数在某点的变化率描述曲线在该点的倾斜程度应用价值物理意义分析函数增减性表示瞬时变化率解决最优化问题如位移函数的导数为速度导数的基本运算法则常数与幂函数导数和差法则积法则C=0[fx±gx]=fx±gx[fx•gx]=fx•gx+fx•gxⁿⁿ⁻x=n•x¹商法则链式法则[fx/gx]=[fx•gx-fx•gx]/[gx]²[fgx]=fgx•gx复合函数求导例题求函数y=sinx²+1的导数解析设u=x²+1，则y=sin u根据链式法则y=sin u•u=cos u•x²+1=cosx²+1•2x导数的高阶与微分高阶导数微分•二阶导数fx对导数fx再次求导函数y=fx的微分定义为•物理意义如表示加速度（位移的二阶导）dy=fxdx•几何意义描述曲线的弯曲程度其中dx为自变量x的微小变化量例如fx=x³的二阶导数微分近似计算fx=3x²当Δx很小时，Δy≈dy=fxΔxfx=6x第一章小结函数基础掌握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等基本性质，为导数学习奠定基础导数概念理解导数的极限定义、几何意义和物理含义，掌握基本函数的导数公式计算技巧熟练应用各种求导法则，包括和差积商法则、链式法则等，解决复杂函数求导问题应用准备理解高阶导数和微分概念，为后续章节中导数的广泛应用打下坚实基础第二章函数的单调性与极值判定单调性判定驻点与极值点₀₀若在区间I上，fx0，则fx在I上单调递增驻点满足fx=0的点x若在区间I上，fx0，则fx在I上单调递减极值点函数取得局部最大值或最小值的点极值的必要条件极值的充分条件₀₀₀₀₀₀若x是fx的极值点，则fx=0或fx不存在若fx=0且fx在x左右两侧符号由正变负，则x为极大值点₀₀₀若fx=0且fx在x左右两侧符号由负变正，则x为极小值点典型例题求函数fx=x³-3x²-9x+5的极值点及极值解fx=3x²-6x-9=3x²-2x-3=3x-3x+1令fx=0，得x=3或x=-1在-∞,-1和3,+∞上，fx0，函数递增在-1,3上，fx0，函数递减函数的凹凸性与拐点凹凸性判定•若在区间I上fx0，则fx在I上为凹函数（向上凹）•若在区间I上fx0，则fx在I上为凸函数（向下凹）拐点判定•拐点函数凹凸性改变的点₀₀₀₀•必要条件若x,fx是拐点，则fx=0或fx不存在₀₀₀₀•充分条件若fx=0且fx在x两侧符号相反，则x,fx为拐点凹凸性与二阶导数的关系向上凹（fx0）向下凹（fx0）拐点是曲线形状变化的关键点导数在实际问题中的应用运动学应用经济学应用位置函数st的一阶导数表示速度vt=st总成本函数Cx的导数表示边际成本Cx速度函数vt的导数表示加速度at=vt=st总收益函数Rx的导数表示边际收益Rx可用于分析物体运动状态和轨迹特征利润最大时边际收益=边际成本最大利润问题示例某企业生产x件产品的总成本函数为Cx=

0.1x²+20x+500，销售单价为px=100-

0.2x元/件求企业获得最大利润时的生产量和最大利润值解利润函数Px=x•px-Cx=x100-

0.2x-

0.1x²+20x+500=100x-

0.2x²-

0.1x²-20x-500=80x-

0.3x²-500Px=80-

0.6x，令Px=0，得x=80/

0.6≈133件相关变化率问题变量间的隐函数关系链式法则应用解决实际问题许多实际问题中，变量之间存在隐含的函数关若x、y通过参数t相关x=ft,y=gt用于分析物理、几何、经济等领域中的变化率系关系则dy/dx=dy/dt/dx/dt=gt/ft需要通过微分求导来分析它们之间的变化关联常见如面积变化率、体积变化率等问题水池注水问题一个圆锥形水池，底面半径为3米，高为4米若水以2立方米/分钟的速率注入，当水深为2米时，求水位上升的速率解设水深为h，水体积为V，则V=1/3π•r²•h，其中r/3=h/4，得r=3h/4代入得V=1/3π•3h/4²•h=1/3π•9h²/16•h=3πh³/16对时间t求导dV/dt=9πh²/16•dh/dt=2第二章小结函数性质分析优化问题解决变化率应用123学会利用导数判断函数的单调性、极掌握利用导数求解最大值和最小值的方理解相关变化率的概念，能够分析不同值、凹凸性和拐点，全面分析函数的变法，应用于解决实际中的优化问题变量之间的变化关系，解决复杂的应用化特征问题第三章函数的图像与性质综合分析函数图像绘制步骤

1.确定函数的定义域和特殊点

2.求导数fx，分析单调区间

3.求二阶导数fx，分析凹凸性

4.确定极值点、拐点和渐近线

5.综合上述信息绘制函数图像函数图像是函数性质的直观体现，通过分析导数可以准确把握函数的变化特征分段函数图像分析例题分析函数fx={x²+1,x0cosπx/2,0≤x≤12-x,x1}的图像特征参数方程与极坐标函数导数参数方程导数极坐标函数导数若曲线由参数方程表示x=xt,y=yt若曲线由极坐标方程r=rθ表示则dy/dx=dy/dt/dx/dt=yt/xt，其中xt≠0对应的直角坐标为x=r•cosθ,y=r•sinθ则dy/dx可通过参数方程导数公式求得求极坐标曲线的切线斜率求极坐标曲线r=2+sinθ在θ=π/6处的切线斜率解将极坐标转换为参数方程x=r•cosθ=2+sinθcosθy=r•sinθ=2+sinθsinθ求导dx/dθ=cosθ•cosθ-2+sinθsinθdy/dθ=sinθ•cosθ+2+sinθcosθ函数的最值问题综合多变量函数最值约束条件下的极值多变量函数fx,y的最值需考虑偏导数拉格朗日乘数法处理带约束的优化问题驻点满足∂f/∂x=0且∂f/∂y=0构造拉格朗日函数Lx,y,λ=fx,y-λgx,y二阶偏导数可用于判断极值类型寻找L的驻点求解极值几何优化问题在平面上，点P到直线2x+y-4=0的距离为1，求点P到原点的最短距离设点P坐标为x,y，则点到直线的距离公式为|2x+y-4|/√5=1，即|2x+y-4|=√5由于距离为正，可考虑2x+y-4=±√5点P到原点的距离为d=√x²+y²不等式与导数的结合应用利用导数证明不等式的一般步骤

1.构造适当的函数fx

2.求导数fx并分析其符号

3.确定函数单调性

4.通过比较函数在端点的值得出不等式结论常用技巧•对含多个变量的不等式，可固定其他变量只考虑一个变量•注意分析函数的定义域和导数的符号变化•合理运用均值不等式、琴生不等式等基本不等式第三章小结参数方程与极坐标函数图像分析掌握特殊表达方式下的导数计算方法综合运用导数理论，全面分析函数的性质和图像特征最值问题求解应用导数解决实际优化问题的能力知识整合不等式证明提升综合运用微积分解决复杂问题的能力利用导数证明数学不等式的技巧第四章轴对称与中心对称图形的导数应用轴对称函数的导数特性•若f-x=fx（偶函数），则f-x=-fx•若f-x=-fx（奇函数），则f-x=fx这意味着偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数对称性简化计算利用对称性质，可以将复杂函数的导数计算简化例如y=x²+cos x，通过分解为偶函数与偶函数的和，可以快速判断其导数的对称性对称性不仅是函数的一种美学特性，也是解决问题的有力工具中心对称性质可用于判断曲线上特殊点的性质理解对称性可以帮助我们快速把握函数的整体特征例题利用对称性简化计算已知fx是定义在R上的奇函数，且f2=3，求f-2的值数论基础与函数的联系整除性与函数值整数函数fn的整除性质经常与函数的周期性相关例如若fn在整数点上满足某些整除性质，可能暗示函数具有特定周期数列与导数数列可视为定义在自然数集上的函数差分运算类似于离散情况下的导数连续函数的导数性质可启发数列性质的研究同余与周期性模n的同余关系常与周期为n的函数有关周期函数的导数也具有相同的周期性函数值的整除性问题练习证明多项式函数Px=x³-x在任意整数点上的值都能被3整除圆锥曲线与导数圆锥曲线的参数表示•圆x=r•cos t,y=r•sin t•椭圆x=a•cos t,y=b•sin t•双曲线x=a•sec t,y=b•tan t•抛物线x=2pt²,y=2pt导数应用求切线方程利用参数方程导数公式计算斜率法线方程与切线垂直的直线曲率计算κ=|y|/[1+y²]^3/2圆锥曲线是数学中最基本的曲线之一导数分析可以揭示圆锥曲线的几何性质求圆锥曲线切线方程例题求椭圆x²/9+y²/4=1在点√3,√2处的切线方程解椭圆的参数方程为x=3cos t,y=2sin t在点√3,√2处，有cos t=√3/3,sin t=√2/2由tan t=sin t/cos t=√2/2/√3/3=√6/3切线斜率k=dy/dx=dy/dt/dx/dt=2cos t/-3sin t=-2cos t/3sin t=-2√3/3/3•√2/2=-2√3/3√2=-√6/3课后思考题精选1导数的物理实验设计一个简单的物理实验，用于直观展示导数的物理意义请描述实验步骤、所需材料以及实验结果与导数概念的对应关系2导数在艺术设计中的应用研究曲线在艺术设计中的应用，分析如何利用导数来设计特定形态的曲线举例说明导数思想如何影响现代建筑或产品设计3最优化问题探究在日常生活中寻找并提出一个可以用导数解决的最优化问题完整描述问题背景、数学建模过程以及解决方案4导数与人工智能探讨导数在机器学习和人工智能领域的应用梯度下降算法如何利用导数原理优化模型参数？尝试用高中数学知识解释这一过程教学反思与学习建议常见难点学习策略•导数概念的抽象理解•注重概念理解，不仅是公式记忆•复合函数的链式求导•多做例题，归纳解题模式•应用问题的数学建模•建立图像思维，可视化函数性质•多步骤优化问题的分析•联系实际，培养应用意识学习方法•建立知识网络，理清各概念联系•小组讨论，交流不同解法•错题分析，总结思维盲点•利用软件辅助理解复杂概念课件总结基础概念应用分析导数的定义与几何意义函数性质分析方法基本求导法则与运算技巧实际问题的数学建模思维提升知识整合数学思维方法培养综合问题的分析解决创新意识与实践能力跨学科应用与扩展参考资料与拓展阅读推荐教材•《普通高中数学课程标准教科书》选修2-3•《高等数学》同济大学数学系编•《微积分的历程》（美）威廉•邓纳姆著网络资源•中国大学MOOC高等数学课程•3Blue1Brown微积分的本质系列视频•GeoGebra函数图像与导数可视化工具•Wolfram Alpha数学问题求解与分析平台互动环节课堂提问请同学们对课程内容提出疑问或见解，共同讨论以加深理解问题可涉及概念理解、解题思路或实际应用等方面小组讨论分组讨论以下主题之一1导数在不同学科中的应用；2导数概念的历史发展；3如何向初学者解释导数概念课后作业完成教材习题

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4.2及补充习题一套尝试用多种方法解决问题，并比较各种解法的优缺点致谢感谢师生共同努力在数学选修2-3的学习过程中，感谢各位同学的积极参与和认真思考，也感谢教师团队的精心指导与支持数学学习是一段充满挑战但也充满乐趣的旅程，希望通过这门课程的学习，同学们不仅获得了知识，更培养了严谨的逻辑思维和解决问题的能力。