最大公因数 教学课件

最大公因数教学课件第一章最大公因数的基础概念什么是因数？数数数数数因是能够整除另一个的整如果一个整a能被整b整除，那么b如何判断因数数就是a的因当数数时数换话说数为则数a÷b=整（无余），b是a的因句，如果a÷b的余0，b是a的因数因数的特点例如24的因有1,2,3,4,6,8,12,24数数数一个的因个是有限的的因数树图示24数树数数径图过数树们因是展示一个的所有因分解路的形方式通因，我可以清晰地看为数组到24如何被分解不同的因合0102第一层分解继续分解24=1×24或2×12或3×8或4×612=2×6，8=2×4，6=2×3，4=2×2得到所有因数什么是公因数？数数称为数两个或多个共有的因公因24的因数36的因数24和36的公因数最大公因数（GCF）定义数数数数最大公因是两个或多个整共有的所有因中最大的那个例子数缩写为称为约数最大公因通常GCD（Greatest CommonDivisor）或GCF（Greatest CommonFactor），在中文中也最大公数数数记为数24和36的公因是1,2,3,4,6,12最大公因的学号a,b，表示a和b的最大公因其中最大的是12数所以24和36的最大公因是12记作24,36=12互质的概念互质的定义互质的例子非互质的例子当数数为时们称这数别数别两个整的最大公因1，我8和27的因分是25和80的因分是数为质称数数两个互（又互素或互补）8的因1,2,4,825的因1,5,25称为数数英文coprime或relatively prime27的因1,3,9,2780的因1,2,4,5,8,10,16,20,40,80们数们数数它唯一的公因是1，所以8,27=1，8它的公因有1和5，最大公因是5，所质质和27互以25和80不互质数论码应别互的概念在和密学中有重要用，特是在RSA加密算法中互质的图形表示质关过关来互系可以通两个集合之间的系可视化表示1∞最大公因数互质数对质数对数数穷质数对互的唯一公因学中存在无多个互质数质任意两个总是互的连续数质任意的两个整总是互的第二章求最大公因数的方法这们将习数举质数在一章中，我学几种常用的求最大公因的方法，包括列法、短除法和因分解法方法一列举法举数观别较数列法是求最大公因最直的方法，特适合小的列出所有因数找出公因数确定最大值别数数组数数数分列出两个的所有因找出两因中共有的在所有公因中找出最大的一个数例找出12和18的最大公因12的因数18的因数公因数1,2,3,4,6,121,2,3,6,9,181,2,3,6数因此，12和18的最大公因是6方法二短除法（分解质因数）数别较数短除法是一种更高效的求最大公因的方法，特适合大的0102同时除以最小质数记录公共因数质数开尝试时数数则记录这质数从最小的2始，同整除两个如果两个都能被整除，个0304继续除下去计算最大公因数数骤数质质数积数用商代替原，重复步1和2，直到两互所有公共因的乘就是最大公因数例求120和165的最大公因短除法步骤图示数过质数来计短除法是一种高效的求最大公因的方法，通系统地找出共同的因算GCD操作步骤将数写

1.两个并排在一起时这数质数

2.找出能同整除两个的最小这质数

3.用个去除，得到商对骤

4.得到的商重复步2-3质数为

5.直到无法找到共同的因止结果计算将质数数所有用于除法的相乘，得到最大公因方法三质因数分解法质数过为质数积来数因分解法是一种通分解因乘求最大公因的方法0102分解为质因数找出公共质因数将数为质数积质数每个分解因的乘找出所有共有的因0304取最小指数计算乘积对质数数现质数积为数于每个公共因，取其在各中出的最小次幂所有公共因（取最小次幂）的乘即最大公因数例求

84、140和168的最大公因质数84=22×3×7公共因2和7140=22×5×72的最小次幂2168=23×3×77的最小次幂1数最大公因=22×7=28练习题求24和39的最大公因数求

25、50和85的最大公因数0101分解质因数分解质因数24=23×325=5239=3×1350=2×5285=5×1702找出公共质因数02找出公共质因数质数公共因只有3质数公共因只有503计算最大公因数03计算最大公因数GCD=3GCD=5这问题时质数提示解决类，因分解法通常是最高效的方法第三章最大公因数的应用这们将讨数问题应数关在一章中，我探最大公因在实际中的用，以及与其他学概念的系应用一约分分数数来将数简为简最大公因可以用分化最形式应用二解决实际问题数许应最大公因在日常生活中有多实际用，下面是一个典型例子绳别将们尽问应该有两条子，分长120厘米和165厘米需要它剪成相同长度且可能长的小段，每段都要完整使用，不能有剩余剪成多长的小段，各需要几段？010203分析问题计算最大公因数得出结论绳该尽数质数应要求两子都能被某一长度整除，且长度可能大120和165的最大公因=15（可用短除法或因分解法）剪成长15厘米的小段这数问题绳正是求最大公因的120厘米的子可剪成8段绳165厘米的子可剪成11段最大公因数与最小公倍数的关系数数数关最大公因GCD与最小公倍LCM之间存在着重要的学系基本关系公式公式验证示例对数为于任意两个正整a和b以12和20例数最大公因12,20=4数最小公倍[12,20]=60数数其中a,b表示a和b的最大公因，[a,b]表示a和b的最小公倍验证12×20=240，4×60=240✓公式图示与的关系GCD LCM数数关过数图来最大公因和最小公倍的系可以通学公式以及形化的方式理解a×b a,b[a,b]两数乘积最大公因数最小公倍数数积数数数任意两个正整的乘两的共同因子中最大者两的共同倍中最小者过这们关问题当通个公式，我可以更有效地解决与GCD和LCM相的，尤其是其中一个值难计时以直接算这关证数论数论个系的明涉及到的基本原理，是初等中的重要定理之一进阶多个数的最大公因数数扩数最大公因的概念可以展到两个以上的数数过进求多个的最大公因可以通多种方法行方法一两两求解法方法二质因数分解法数结数将数为质数质数先求前两个的GCD，再用果与第三个求GCD，依此类推所有分解因，取公共因的最小次幂例如求15,30,10515=3×5先求15,30=15，再求15,105=1530=2×3×5所以15,30,105=15105=3×5×7质数公共因3和5各一次幂所以15,30,105=3×5=15论数数这数数无使用哪种方法，多个的最大公因都是些共有的因中最大的一个练习题求

40、45和50的最大公因数判断3和7是否互质0101分解质因数分析因数数40=23×53的因1,3数45=32×57的因1,750=2×5202找出公因数02找出公共质因数数公因只有1质数公共因只有503得出结论03计算最大公因数数为质最大公因1，所以3和7互GCD=5数问题时区选择提示解决最大公因，注意分不同情况，灵活合适的方法常见误区与解题技巧误区一混淆最大公因数和最小误区二只找公因数而忽略最大误区三质因数分解时指数处理公倍数错误时数没有学生只找出几个公因就停止了，数时数质数应最大公因是能同整除两个的最大整有确保找到最大的公共因取最小次幂，而非最大次幂数质数们解决方法使用系统性的方法如因分例8=23，12=22×3，它的最大公因数数时数数最小公倍是能被两个同整除的最小解，确保找到所有公因是22=4，而不是23数整记忆数尽数技巧公因是除得的，公倍是来乘出的这误区题避免些，可以提高解的准确性和效率互动环节小组竞赛过组竞赛巩对数计通小的形式，固最大公因算方法的掌握竞赛规则评分标准为组•全班分4-6个小•答案正确+2分复习总结基本概念求解方法对比数数数•因能整除某个的整列举法数数数•公因两个或多个共有的因数数较数•最大公因所有公因中最大的一个适用于小值质数为数•互最大公因1的两个观较直但效率低短除法数适用于中等值骤步清晰，效率适中质因数分解法数适用于任意值论理性强，效率高课后拓展数应围远数级数领应最大公因的用范不止于初等学，它在更高的学域和实际用中都有重要作用分数运算代数应用计算机科学数数应项欧码应最大公因在分加减法中的用多式的最大公因式几里得算法在密学中的用时数数数扩项质数质通分需要求分母的最小公倍，而最小公倍在代中，最大公因的概念展到了多式RSA加密算法中使用了互的性数过数计计图纵横可以通最大公因算算机形学中分辨率和比的优化例如求2x²+4x和6x+12的最大公因式节课们将习数关数请下一我学与最大公因密切相的概念——最小公倍，敬期待！生活中的最大公因数应用场景分组比赛分蛋糕问题将数数组不同量的学生分成相同人的小将让如何蛋糕切成相同大小的块，每人分到同样数量铺地砖铺砖在长方形地面上设正方形地，求最大的砖地尺寸屏幕分辨率齿轮设计纵横确定屏幕的最佳分辨率和比数转确定齿轮的齿，使其能够按特定比例运数们问题最大公因的概念在日常生活中无处不在，帮助我解决各种实际课件小结过课习们数计应场通本次程的学，我已经掌握了最大公因的基本概念、算方法和用景1数数问题关键们简杂问题寻数数内最大公因是解决众多学的工具，它帮助我化复，找与之间的在联系掌握基本概念应们数问题约问题数关问题在实际用中，我可以使用最大公因解决分配、分以及与的整除性相的各种数数数理解因、公因、最大公因的定义区质质数对分互和非互2熟练计算方法举质数灵活运用列法、短除法和因分解法问题选择根据具体最适合的方法3应用于实际问题数约问题解决分分、物品分配等实际数数关理解最大公因与最小公倍的系参考资料进习练习数关识资以下是一些可以帮助你一步学和最大公因相知的源教材资源在线资源基础教材学习网站数册数数频《初中学》第七第三章整的整除性中国教育网-学道数级册单数资库《人教版学》七年上第三元人民教育出版社-学源数资学科网-初中学源拓展读物在线计算工具数数论础《学奥林匹克》初中卷第二章基数数数数线计《趣味学》第四章的整除性与最大公因最大公因在算器质数因分解工具数习学学APP推荐这资数关识善用些源，可以帮助你更深入地理解和掌握最大公因的相知课后作业过巩课识通以下作业，固本次程所学的知基础计算题应用题思考题计数对数说数数约算以下的最大公因

1.小明有36个苹果和48个橘子，想平均分

1.明最大公因在分分中的作用给数数数学生，每个学生得到的苹果和橘子要•36和48给

2.如果a和b的最大公因是12，那么6a和数请释相同最多可以分多少个学生？9b的最大公因是多少？解你的答案•54和90宽质数

2.一块长方形地板，长

5.4米，

3.6米，要•81和27铺砖砖

3.找出所有与60互且小于60的正整，释题正方形的地，且地大小相同，每块地计砖数单问砖并解你的解思路要求使用至少两种不同的方法算，并比的边长是整（位分米）地的较这些方法的效率边长最大是多少？将对数应完成以上作业后，你最大公因的概念和用有更深入的理解谢谢聆听！期待你们成为最大公因数小达人！过课习们数计通本次程的学，希望你已经掌握了最大公因的核心概念和算方法3∞1计算方法应用场景目标举质数数约问题为数列法、短除法、因分解法分分、物品分配、实际解决成掌握学基本工具的小达人记数仅维过数习们养逻辑维问题住学不是一门学科，更是一种思方式通最大公因的学，我培了思和解决能力节课们将习数关数请下我学与最大公因密切相的概念——最小公倍，敬期待！。