直线和圆相切教学课件

直线和圆相切教学课件第一章基础概念引入开习线圆们础将绍圆线圆现关为续习坚在始学直和相切之前，我需要先理解一些基概念本章介的基本要素以及直与可能出的位置系，后学打下实基础圆的基本要素位置关系类型圆的基本要素线圆们习圆在研究直与相切之前，我需要先复的基本要素圆心圆圆圆的中心点，通常用字母O表示上所有点到心的距离相等半径圆圆线圆圆从心到上任意一点的段，通常用字母r表示上每一点到径心的距离都等于半直径过圆圆线径径通心且两端都在上的段，长度等于2倍半直=2×径半直线与圆的三种位置关系线圆关这关线圆圆径较直与在平面上可能存在三种不同的位置系，些系取决于直到心的距离与的半之间的比相离相切相交当线圆没时称为当线圆仅时称为当线圆时称为直与有任何公共点，相离直与有且有一个公共点，相直与有两个公共点，相交此时线圆圆径时线圆圆时线圆圆径此，直到心的距离大于的半切此，直到心的距离等于的半，直到心的距离小于的半径三种位置关系示意图图线圆关如右所示，直与可能存在三种不同的位置系状态线圆没•相离直与有任何交点状态线圆•相切直与恰好有一个交点状态线圆•相交直与有两个交点切线的定义线圆线这称为线切是与只有一个公共点的直个公共点切点或切点线为从几何意义上看，切可以理解当线圆渐圆时圆临状态•直从外逐向靠近，恰好与相交于一点的界当线状态渐时•直从相交（有两个交点）逐变化，两个交点重合的特殊情况线仅圆线应切的概念不存在于中，在更广泛的曲研究中也有重要圆线线线础用的切是理解一般曲切的基第二章切线的性质将绍线关键质线径关线线质这质线关问题论础本章介切的性，包括切与半的垂直系、切的唯一性以及切段的性些性是解决切相的理基垂直关系唯一性等长性质线径线质过圆线切与半的垂直性是切最基本的性通上一点只能作一条切切线与半径的垂直关系切线性质的基本定理圆线过径的切与切点的半垂直证明思路为圆为为过线

1.设O心，P切点，l P点的切则线

2.假设OP不垂直于l，可以作OP的垂与l相交于点Q径

3.由于OQOP勾股定理，而OP=r半这圆内圆

4.意味着Q点在，l与相交至少有两点这线

5.与l是切（只有一个交点）矛盾线径

6.因此，切l必垂直于半OP切线的唯一性反证法证明基本定理过圆线₁₂证假设通上点P可以作两条不同的切l和l由前面明的性过圆线这线过该质₁₂通上的一点，只能作一条切，条切就是点且垂直于半，l⊥OP且l⊥OP径线的直结论推导矛盾现证们过圆矛盾出，明了我的假设不成立因此，通上一点只能作一这₁₂线过线意味着l和l都垂直于同一条段OP然而，通一点只能作一条切线给线₁₂须线条垂于定直，因此l和l必是同一条直线问题当们线当线圆切的唯一性是解决几何的重要工具我确定了切点，就能唯一确定切；反之，确定了切，也能确定其与的切点切线段的性质等长定理圆圆线从外一点引向的两条切段长度相等证明思路为圆为圆为线

1.设P外一点，O心，PA和PB从P点引出的两条切为连

2.A和B两个切点，接OA、OB、OP线质

3.由切性，OA⊥PA，OB⊥PB

4.在三角形OPA和OPB中圆径•OA=OB（都是的半）•OP是公共边线径•∠OAP=∠OBP=90°（切垂直半）这质线关问题证线

5.因此，三角形OPA≅三角形OPB（斜边、直角、一边）一性在解决与切相的几何中非常有用，尤其是在需要明段相对应计线题

6.所以，PA=PB（边相等）等或算切长度的目中圆圆连线该圆连线延伸思考从外一点到的切点，与点到心的形成这问题应的角是多少？在解决实际中有何用？切线与半径垂直示意图图线圆连圆径如所示，切l与O相切于点P，接心O与切点P得到半OP关键观察实际应用线径这关断线为线注意切l与半OP之间形成了一个一垂直系是判直是否切这线径线90°的角，正是切与半垂直的的重要依据，也是求解切方程的基观现础直体条件衍生性质这关导许线质线质由一垂直系可以推出多切的其他性，如唯一性和切段等长性第三章切线与圆的位置关系解析将绍过计线圆关别断线为圆线线本章介如何通算确定直与的位置系，特是如何判一条直是否的切，以及如何求解切方程求距圆心最近点比较距离与半径确定直线方程判定位置关系求切线方程判定直线是否为切线的方法基于距离的判定法线为圆线过计线圆圆径关来直是否的切，可以通算直到心的距离与半的系判断相离条件当线圆时线圆没直到心的距离dr，直与相离，有交点相切条件当线圆时线圆直到心的距离d=r，直与相切，有一个交点断线为圆线计线圆因此，判直l是否O的切，只需算直l到心O的距离d，然后圆径较相交条件与的半r比则线圆线•如果d=r，直l是O的切当线圆时线圆则线圆线直到心的距离dr，直与相交，有两个交点•如果d≠r，直l不是O的切这别过计种基于距离的判定法在解析几何中特有用，可以通公式直接算判断计算点到圆心距离公式们线来断线为圆线在解析几何中，我可以利用点到直距离公式判直是否的切圆的信息直线的一般式方程圆标为₀₀径为设心坐x,y，半r线为设直方程Ax+By+C=0判断条件点到直线距离公式将计径较算得到的距离d与半r比圆线计则线圆线心到直的距离算公式•若d=r，直是的切则线圆•若dr，直与相离则线圆•若dr，直与相交这们标断线圆关线问题一公式使我能够在坐系中精确判直与的位置系，是解决切的重要工具切线方程的求法方法三利用判别式方法二已知圆外一点对线圆方法一已知切点于一般直y=kx+m，与x²+y²=r²圆圆₀₀若已知的方程和外一点Px,y，利相切的条件是圆线质若已知的方程x-a²+y-b²=r²和切用切的定义和几何性₀₀线径为₁₁则圆点Px,y，利用切垂直于半的性质

1.设切点Tx,y，T在上计径₀₀₁₁

1.算半方向向量x-a,y-b x-a²+y-b²=r²这线圆径线₀₀₀₁₀₁₁是利用直到心距离等于半的条件推导

2.切方程x-ax-x+y-

2.PT⊥OT，即x-x x-a+y₀₀₁出的by-y=0-y y-b=0简₀₀₀组标线

3.化得x-ax+y-by=x-

3.联立方程求解切点坐，再代入直₀₀₀ax+y-by方程选择线问题以上三种方法适用于不同的已知条件，灵活可以有效解决各类切直线与圆的切线示意图图圆线关径关中展示了O与其切l的系，以及切点P与半OP的垂直系切点P半径OP线圆连圆线圆切点P是切l与O的唯一交点，是接心O与切点P的段OP是的线问题关键径圆径解决切的点一条半，其长度等于的半r垂直关系观径线现线径关键注意察半OP与切l之间形成了90°角，体了切与半垂直的性质这关线问题论证还计一几何系是理解和解决切的核心，无是在几何明是在方程算中都具有重要意义第四章切线的应用实例将过题线质问题应们将题线线问题线计本章通具体例展示切性在解决几何中的用我分析三个不同类型的例，涵盖求切方程、公切以及切长度算等实际应场用景求切线方程公切线问题切线长度计算圆线圆线计线利用外一点求切方程分析两的公切情况算切段的长度过这题们将将线论识应问题养问题通些例，我看到如何切的理知用到具体中，培解决实际几何的能力例题两圆的公切线问题2公切线的定义公切线数量的确定公切线方程的求法圆线时圆线圆径别为圆为则对圆₁₁₁₁两个的公切是同与两个相切的直设两半分R和r，心距d，于两个C:x-x²+y-y²=r²圆对线为₂₂₂₂当时线内根据切点在的相位置，公切分两类和C:x-x²+y-y²=r²•dR+r，有4条公切（2外2）线₁₁当时线内

1.外公切求解|Ax+By+C|/√A²•d=R+r，有3条公切（2外1）线别圆侧₁₂₂当时线外公切两个切点分在两的同+B²=r且|Ax+By+C|/√A²+•|R-r|dR+r，有2条公切（都₂内线别圆侧线B²=r，其中符号相同公切两个切点分在两的异是外公切）内线当时线线

2.公切求解类似方程，但符号相反•d=|R-r|，有1条公切（外公切）当时没线•d|R-r|，有公切线问题应别圆圆关线质对杂问题公切在几何中有广泛用，特是在与系的分析中，理解公切的性解决复几何非常有帮助两圆及其公切线示意图图当圆圆径时们线如所示，两个相离（心距大于两半之和），它有四条公切外公切线线图标记为₁₂圆侧线线两条外公切（中l和l）是切点在两的同的切外公切不过圆连线穿两的心内公切线内线图标记为₃₄圆侧线内线两条公切（中l和l）是切点在两的异的切公切穿过圆连线线两的心的延长特殊情况当圆时内线数当圆圆内时没线两相切，公切量减少；一个在另一个部，有公切线质对圆杂问题理解公切的几何性解决涉及多个的复非常有帮助第五章综合练习与总结将过综习题巩线圆识顾对课内进结本章通合性固直与相切的知，回重要定理，并程容行系统总定理回顾典型练习线关系统梳理切相定理综应线质问题合用切性解决几何课堂小结结线圆内总直与相切的核心容课后作业拓展思考计层练习巩识设多次固知线应切在实际用中的意义切线相关定理回顾12切线垂直半径定理切线唯一性定理圆线过径过圆仅线的切与切点的半垂直通上一点，有且有一条切这断线为线这线径论•是判直是否切的几何依据•是切垂直半定理的直接推来线对圆线过该径线•可以用求解切方程•于上一点，切就是点且垂直于半的直线质础•是很多切性的基34切线段等长定理切线判定条件圆圆线线圆圆径则该线圆线从外一点引向的两条切段长度相等直到心的距离等于的半，直是的切这证题这断线•一定理在明中经常使用•是在解析几何中判切的常用方法计线关结线进计•可以用于算与切相的距离•合点到直的距离公式可以方便地行算线问题应•在公切中有重要用这圆线论这应线问题关键些定理构成了的切理的核心，掌握些定理及其用是解决切的课堂小结核心性质基础概念线径线线切与半垂直、切的唯一性、切段等长质圆线圆关性的基本要素、直与的三种位置系、切线的定义解析方法线圆计线切判定条件、点到心距离算、切方程求解综合练习应用实例综题线质题合目分析、切性的灵活运用、解策圆线圆线问题线计略外点求切、两公切、切长度算过课习们线圆质应这识仅组许问题通本程的学，我系统掌握了直与相切的基本概念、核心性和用方法些知不是几何学的重要成部分，也是解决多实际的基础工具线问题质线圆关这关导质过线质们切的本在于理解直与的特殊位置系，以及种系所致的几何性通掌握切的性和判定方法，我能够更加灵活地解决各类几何问题拓展阅读与思考动态几何软件探索切线在实际应用中的价值过态软观观线规线许领应通GeoGebra等动几何件，可以直察切的变化律切概念在多域有广泛用圆观线•拖动外一点，察两条切的变化物理学轨圆关•研究切点迹与的系线规圆时线线时线关•探索切长度随点位置变化的律物体沿周运动，速度方向沿切方向；光反射，反射角与切有态软观对线质动几何件提供了一种直理解几何概念的方式，有助于加深切性的理解工程设计切线的三维扩展计弯线过啮维线线关为杂机械零件的轮廓设；道路道的切渡；齿轮合的接触分析在三空间中，直与球体的切系更复线•球的切实际上是切平面计算机图形学线•一条直可以与球相切，形成一个切点线线锥线线关检测•空间中点到球的切形成一个切贝塞尔曲的控制点与切系；光滑曲面的拼接；物体碰撞这应线纯数论为问题些用展示了切概念如何从学理发展解决实际的工具动态几何软件中切线变化动画截图图这创态线圆态如所示，是一个使用GeoGebra建的动几何演示，展示了直与相切的动过变化程动态观察数据验证过线圆数软时计线圆通拖动直或改变的参，可以件可以实算直到心的距离观观线过径关验证线直察切的形成程从相离到与半的系，切的判定条件线相切再到相交，理解切是一种特殊d=r的正确性临状态的界探索发现现规轨线络线扩问学生可以自主探索，发新的几何律，如切点迹、切族的包等展题态软为习观认识习动几何件几何学提供了强大工具，能够帮助学生建立直，激发学兴趣课后作业提示基础题目（A组）进阶题目（B组）1切线判定1切线长度断线圆线请圆圆线验证判直4x-3y+12=0是否是x-2²+y-1²=25的切若不是，修改直已知点P6,8，C:x-1²+y-2²=9求点P到C的切长度，并两条切线为线线方程使其成切长度相等2切线方程2公切线问题过圆线圆₁圆₂线求点5,8的x²+y²=16的切方程求C:x²+y²=4和C:x-5²+y²=9的所有公切方程3切点计算3综合应用圆线标线圆证已知x-3²+y-4²=25和直x+y-10=0相切，求切点坐已知直l:y=kx+b与x²+y²=r²相切明b²=r²1+k²拓展探究（C组）选择线关问题态软进记录现尝试数语证虑一个切相，使用动几何件（如GeoGebra）行探究你的发，并用学言表述和明可以考以下方向圆圆线夹规•从外一点到的两条切所角的变化律线络线问题•切族的包圆线•两公切的特殊情况分析仅计还验证对线质作业中要求学生不掌握算方法，要能够动手，加深切性的理解谢谢聆听！期待你们的精彩表现课绍线圆础质应过习线应维本件系统介了直与相切的基概念、核心性和用方法希望通学，你能够掌握切的判定、求解和用，提升几何思能力34∞位置关系核心定理应用价值线圆关线径线识数领应直与的相离、相切、相交三种基本位置系切与半垂直、唯一性、等长性和判定条件四切知在学、物理、工程等域有无限用大核心定理可能。