高一数学教学课件

高一数学必修一教学课件第一章集合与常用逻辑用语集合的概念

1.1集合的定义集合是具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素集合用大写字母表示，如A、B、C等常见数集自然数集NN={0,1,2,3,...}整数集ZZ={...,-2,-1,0,1,2,...}有理数集Q所有可以表示为分数形式m/n的数（其中m、n为整数，n≠0）实数集R包含所有有理数和无理数集合的表示

1.2列举法描述法将集合中所有元素一一列举出来，用大括号括起来用元素的共同特征来描述集合例如A={1,2,3,4,5}例如B={x|x是10以内的正偶数}特点适用于元素有限且较少的集合特点适用于元素无限或难以一一列举的集合集合的符号表示元素a属于集合A a∈A元素b不属于集合A b∉A集合间的基本关系

1.3子集关系集合的相等如果集合A中的每个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B两个集合A和B相等，当且仅当A⊆B且B⊆A，记作A=B•任何集合都是自身的子集A⊆A判断两个集合相等的方法•空集是任何集合的子集∅⊆A真子集

1.证明互为子集如果A⊆B，且A≠B，则称A是B的真子集，记作A⊂B集合的基本运算

1.4交集并集补集A∩B={x|x∈A且x∈B}A∪B={x|x∈A或x∈B}A′={x|x∈U且x∉A}交集是同时属于集合A和集合B的所有元素组并集是属于集合A或集合B的所有元素组成的在全集U中，不属于集合A的所有元素组成的成的集合集合集合集合运算的基本性质•交换律A∪B=B∪A；A∩B=B∩A•分配律A∩B∪C=A∩B∪A∩C•结合律A∪B∪C=A∪B∪C；A∩B∩C=A∩B∩C•德摩根律A∪B′=A′∩B′；A∩B′=A′∪B′图示集合的并、交、补关系VennVenn图是用图形直观表示集合关系的重要工具通常用圆或其他闭合曲线表示集合，全集用矩形表示图的基本表示法Venn•并集A∪B两个圆形区域的所有部分•交集A∩B两个圆形重叠的部分•补集A′全集中除A以外的部分•差集A-B属于A但不属于B的部分通过Venn图，我们可以直观理解并验证集合运算的各种性质和定理逻辑用语及其应用

1.5命题命题逻辑连接词命题是一个能判断真假的陈述句否定¬p•真命题判断为真的命题不是p，当p为真时，¬p为假；当p为假时，¬p为真•假命题判断为假的命题命题的基本形式合取∧p q简单命题不能再分解的命题p且q，当p、q都为真时，p∧q为真；否则为假复合命题由简单命题通过逻辑连接词构成的命题析取∨p qp或q，当p、q至少有一个为真时，p∨q为真；都为假时为假充分条件与必要条件p是q的充分条件表示如果p，则q，记作p→qp是q的必要条件表示如果q，则p，记作q→pp是q的充要条件表示p当且仅当q，记作p↔q典型例题判断集合关系与逻辑命题真值1集合关系判断2命题真值判断3集合运算计算已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={1,判断命题若n²是偶数，则n是偶数的真已知全集U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,2}，判断A与B的关系假5}，B={2,3,4}，求A∪B′和A′∩B′解析A={x|x²-3x+2=0}={x|x-解析若n为奇数，则n²=2k+1²=4k²解析A∪B={1,2,3,4,5}，A∪B′=1x-2=0}={1,2}+4k+1=22k²+2k+1，是奇数反{6}之，若n²为偶数，则n不可能是奇数，只结论A=B A′={2,4,6}，B′={1,5,6}，A′∩B′={6}能是偶数结论命题为真结论A∪B′=A′∩B′={6}，验证了德摩根律第二章函数的概念与基本初步本章将学习函数的定义、表示方法以及基本性质，掌握函数图象的变换规律，为后续学习奠定基础函数的定义

2.1函数的基本概念设D是一个非空数集，如果按照某种对应关系f，使对于任意x∈D，有唯一确定的值y与之对应，则称f:D→R为定义在D上的函数记作y=fx，其中x是自变量，y是因变量函数的三要素定义域函数的自变量x所取值的集合，记作D或dom f对应关系自变量x与函数值y之间的关系，通常用解析式表示值域函数的所有函数值构成的集合，记作R或ran f函数的映射关系示意图函数是一种特殊的映射，它满足对定义域中的每个元素，有且仅有一个值域中的元素与之对应函数的表示方法

2.2解析式图象法列表法用数学公式表示自变量与函数值之间的关系用坐标平面上的点集表示函数当定义域为有限集时，可用表格列出所有的自变量与对应的函数值例如fx=2x+3，fx=x²函数fx的图象是平面上所有点x,fx的集合，其中x∈D常见的基本函数一次函数二次函数fx=ax+b a≠0fx=ax²+bx+c a≠0图象是一条直线，斜率为a，y轴截距为b图象是一条抛物线，开口方向由a的符号决定函数的性质

2.3单调性奇偶性₁₂在区间I上，对任意x,x∈I若函数fx的定义域关于原点对称，且对₁₂₁₂任意x∈D若xx时，都有fxfx，则称fx在I上是单调递增的若f-x=fx，则称fx为偶函数₁₂₁₂若xx时，都有fxfx，则若f-x=-fx，则称fx为奇函数周期性称fx在I上是单调递减的有界性若存在正数T，使得对任意x∈D，都有在区间I上，若存在常数M，使得对任意x+T∈D且fx+T=fx，则称fx为周期x∈I，都有|fx|≤M，则称fx在I上有函数，最小的正数T称为函数的最小正周界期函数的图象变换

2.4平移变换对称变换y=fx-h+k关于坐标轴和原点的对称•将函数fx的图象向右平移h个单位（h0）•y=f-x关于y轴对称•将函数fx的图象向上平移k个单位（k0）•y=-fx关于x轴对称•y=-f-x关于原点对称123伸缩变换y=AfBx•|A|1时，图象在y轴方向伸长|A|倍•0|A|1时，图象在y轴方向压缩至原来的|A|倍•|B|1时，图象在x轴方向压缩至原来的1/|B|倍•0|B|1时，图象在x轴方向伸长1/|B|倍理解函数图象变换可以帮助我们从已知的基本函数图象快速绘制复杂函数的图象，提高解题效率典型例题函数图象的变换与性质判断1函数图象变换2函数性质判断3函数值域求解已知函数fx=x²的图象，求函数gx=判断函数fx=x³-3x的单调区间和奇偶求函数fx=2x²-4x+5的值域2x-1²+3的图象性解析fx=2x²-4x+5=2x²-2x+5=解析gx=2x-1²+3=2fx-1+3解析fx=3x²-3=3x²-1=3x-2x²-2x+1+5-2=2x-1²+31x+1这是将fx=x²的图象先向右平移1个单因为x-1²≥0，所以fx≥3，即函数的位，再在y轴方向伸长为原来的2倍，最当x-1或x1时，fx0，函数单调递值域为[3,+∞后向上平移3个单位得到的增；当-1x1时，fx0，函数单调递减f-x=-x³-3-x=-x³+3x=-x³-3x=-fx，所以fx是奇函数第三章方程与不等式基础本章将学习一元一次方程与不等式、一元二次方程、不等式性质与解法以及绝对值不等式，掌握求解方程与不等式的基本方法一元一次方程与不等式

3.1一元一次方程一元一次不等式形如ax+b=0（a≠0）的方程，其解为x形如ax+b0或ax+b0（a≠0）的不=-b/a等式解方程的基本步骤解不等式的基本性质

1.去分母（有分式时）•不等式两边同加（减）同一数，不等号方向不变

2.去括号（有括号时）•不等式两边同乘（除）同一正数，不

3.移项、合并同类项等号方向不变

4.解出未知数•不等式两边同乘（除）同一负数，不等号方向改变一元一次方程与不等式的应用一元一次方程与不等式可以用来解决许多实际问题，如行程问题、比例问题、浓度问题等解题时，关键是正确地列出方程或不等式一元二次方程

3.2标准形式与求根公式判别式韦达定理₁₂标准形式ax²+bx+c=0（a≠0）判别式Δ=b²-4ac若x和x是方程ax²+bx+c=0的两根，则求根公式x=-b±√b²-4ac/2aΔ0方程有两个不相等的实数根₁₂x+x=-b/aΔ=0方程有两个相等的实数根₁₂x•x=c/aΔ0方程没有实数根一元二次方程的解法公式法配方法

1.

3.直接应用求根公式x=-b±√b²-4ac/2a将ax²+bx+c=0变形为ax+b/2a²=b²-4ac/4a，再求解因式分解法特殊方程

2.

4.₁₂₁₂若能将ax²+bx+c分解为ax-x x-x的形式，则x和x就是方程的根如x²=d（d0）的解为x=±√d不等式的性质与解法

3.3基本不等式线性不等式组算术平均值≥几何平均值由多个一元一次不等式组成的不等式组a+b/2≥√ab，当且仅当a=b时取等号例如₁₂ₙ对于n个正数a,a,...,a2x+10₁₂ⁿ₁₂ₙₙa+a+...+a/n≥√a•a•...•a3x-40₁₂ₙ当且仅当a=a=...=a时取等号解不等式组的方法是分别求解每个不等式，然后取它们的交集二次不等式形如ax²+bx+c0或ax²+bx+c0（a≠0）的不等式解二次不等式的步骤

1.求对应的二次方程ax²+bx+c=0的根

2.在数轴上标出这些根，将数轴分成若干区间

3.在每个区间上判断不等式的符号，确定解集绝对值不等式

3.4绝对值的定义绝对值的性质对于任意实数x，其绝对值|x|定义为•|x|≥0，当且仅当x=0时取等号•|-x|=|x||x|=x（当x≥0时）•|xy|=|x|•|y||x|=-x（当x0时）•|x+y|≤|x|+|y|（三角不等式）绝对值不等式的基本类型|x|a（a0）等价于-axa|x|a（a0）等价于x-a或xa|x|≤a（a0）等价于-a≤x≤a|x|≥a（a0）等价于x≤-a或x≥a解绝对值不等式的技巧分类讨论法转化法根据绝对值的定义，将问题分成x≥0和x0两种将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式组情况讨论或不等式典型例题综合方程与不等式应用题1一元二次方程应用2不等式组应用3绝对值不等式某矩形的周长为20厘米，求矩形的面积求解不等式组2x+3y≤6，x≥0，y求解不等式|2x-3|+|x+1|5最大值≥0，x+y≥1解析分段讨论解析设矩形的长为x，宽为y，则2x+y解析这是一个线性规划问题，解集是当x≤-1时，|2x-3|+|x+1|=|2x-3|-x=20，即x+y=10矩形的面积S=xy=平面上由四个不等式确定的一个多边形+1=...x10-x=10x-x²区域当-1x≤3/2时，|2x-3|+|x+1|=-2x当x=5时，S取最大值S=10×5-5²=由2x+3y≤6，得y≤6-2x/3=2--3+x+1=...252x/3当x3/2时，|2x-3|+|x+1|=2x-3+结论矩形的面积最大值为25平方厘结合x≥0，y≥0，x+y≥1，可以画x+1=...米，此时矩形为正方形出可行域解得x∈-2,2第四章立体几何初步本章将学习空间几何体的基本概念、棱柱与棱锥、圆柱、圆锥与球以及空间直线与平面的位置关系，掌握计算立体图形表面积和体积的方法空间几何体的认识

4.1点、线、面的位置关系直线与平面的位置关系点与直线的位置关系•直线在平面内（直线上的所有点都在平面上）空间中的点与直线要么在直线上，要么•直线与平面平行（无公共点）不在直线上•直线与平面相交（有且仅有一个公共点与平面的位置关系点）平面与平面的位置关系空间中的点与平面要么在平面上，要么不在平面上•平行（无公共点）直线与直线的位置关系•相交（公共部分是一条直线）•相交（有且仅有一个公共点）•平行（无公共点且在同一平面内）•异面（无公共点且不在同一平面内）理解空间点、线、面的位置关系是学习立体几何的基础，这些基本概念将帮助我们分析复杂的立体图形棱柱与棱锥

4.2棱柱棱锥定义两个面是全等的多边形，且相互平行，其余各面是平行四边形的立体图形定义一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的立体图形特点上下底面是全等的多边形，侧面是平行四边形特点底面是多边形，侧面是三角形，所有侧面的顶点汇聚于一点（顶点）表面积S=2S底+S侧表面积S=S底+S侧体积V=S底×h体积V=1/3×S底×h正多面体正多面体是指所有面都是全等的正多边形且每个顶点处的面数相同的多面体只有五种正多面体正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体圆柱、圆锥与球

4.3圆柱圆锥球定义两个面是全等的圆，且相互平行，侧面是由两个圆的对应点定义一个面是圆，侧面是由圆上各点与圆外一点连结形成的曲定义空间中到定点（球心）的距离等于定值（半径）的点的集连结形成的曲面面合侧面积S侧=2πrh母线l=√r²+h²表面积S=4πr²表面积S=2πr²+2πrh=2πrr+h侧面积S侧=πrl体积V=4/3πr³体积V=πr²h表面积S=πr²+πrl=πrr+l体积V=1/3πr²h典型例题一个圆锥的底面半径为3厘米，高为4厘米，求它的表面积和体积解析母线l=√r²+h²=√3²+4²=√9+16=√25=5厘米表面积S=πr²+πrl=π•3²+π•3•5=9π+15π=24π≈

75.4厘米²体积V=1/3πr²h=1/3•π•3²•4=1/3•π•9•4=12π≈

37.7厘米³圆锥展开图与母线示意图圆锥的展开图圆锥的侧面展开后是一个扇形，底面是一个圆扇形的圆心角θ满足θ=l/r×360°其中，l是圆锥的母线长度，r是底面圆的半径母线的性质•圆锥的所有母线长度相等•母线与底面半径和高形成直角三角形•母线长度l=√r²+h²通过圆锥的展开图，我们可以更直观地理解圆锥的表面积计算公式，侧面积等于扇形的面积立体几何中的空间直线与平面位置关系

4.4平行关系的判定垂直关系的判定直线与直线平行直线与平面垂直两条异面直线所在的平面平行，且一条直线与另一条直线与平面内的所有直线都垂直直线所在平面平行平面与平面垂直直线与平面平行一个平面内存在一条直线垂直于另一个平面直线与平面内的任意直线都不相交二面角平面与平面平行由两个半平面和它们的公共边组成的图形两个平面没有公共点空间中的角度与距离两条直线的夹角直线与平面的夹角空间中两条异面直线的夹角是指这两条直线的平直线与其在平面上的射影所成的角行投影所成的角两个平面的夹角两个平面的夹角是指这两个平面所形成的二面角的大小典型例题立体几何综合应用1正方体中的距离问题2圆柱与圆锥的组合体3球的切面问题₁已知边长为a的正方体ABCD-一个圆柱底面的半径为r，高为h，在一个半径为R的球，被一个平面截得一个₁₁₁₁₁A BC D，求对角线AC的长度及其上放置一个底面与圆柱上底面重合的圆，若这个圆的半径为r，求圆心到球心₁₁₂其与面BCC B的夹角圆锥，圆锥的高为h，求这个组合体的的距离d表面积和体积解析设坐标系原点在A，三条坐标轴分解析设球心为O，圆心为C，平面与球₁₁₂别沿AB、AD、AA方向，则C的坐标解析圆锥的母线l=√r²+h²心的距离为h为a,a,a组合体的表面积S=圆柱侧面积+圆柱下由勾股定理r²+h²=R²，所以h=√R²₁AC的长度为√a²+a²+a²=a√3底面积+圆锥侧面积-r²₁₁₁₁₁面BCC B的法向量为0,1,0，AC=2πrh+πr²+πrl=πr2h+r+l而圆心C到球心O的距离d=R-h=R-的方向向量为1,1,1√R²-r²组合体的体积V=圆柱体积+圆锥体积=₁₂₁₂夹角θ满足sinθ=πr²h+1/3πr²h=πr²h+h/3|0,1,0•1,1,1|/[|0,1,0|•|1,1,1|]=1/√3所以θ=arcsin1/√3≈

35.3°复习与总结重点知识点回顾集合与逻辑函数•集合的表示方法与运算•函数的定义域与值域•命题的真假判断•函数的性质•充分必要条件的转化•图象变换规律方程与不等式立体几何•一元二次方程求根公式•基本几何体的表面积与体积•不等式的基本性质•空间位置关系•绝对值不等式的解法•角度与距离计算常见易错点提示

1.集合的运算中，注意交、并、补运算的优先级

1.解不等式时，乘以负数要改变不等号方向

2.函数定义域的确定，特别是分式、根式和对数函数

2.立体几何中，注意区分棱柱与棱锥、圆柱与圆锥的表面积和体积公式

3.解一元二次方程时，注意判别式的符号对解的影响

3.计算空间角度时，正确选择适当的方法和公式结束语数学不仅仅是公式和计算，更是一种思维方式通过本课程的学习，希望同学们能够培养逻辑思维灵活运用知识建立数学自信学会用数学的方式分析问题，培养严谨的逻不要死记硬背，要理解概念的本质，学会在通过不断练习和思考，克服数学学习中的困辑推理能力和空间想象能力不同情境中灵活运用数学知识难，建立学习数学的信心下一阶段，我们将学习更多高中数学必修内容，包括三角函数、平面向量、数列和概率统计等这些知识将进一步拓展你们的数学视野，为未来的学习和生活打下坚实基础祝大家学习愉快！。