一次函数教学课件

一次函数的奥秘探索第一章一次函数的基本概念函数的定义函数的意义自变量与因变量函数是描述两个变量之间依赖关系的数函数使我们能够精确描述和预测变量间学概念，对于定义域中的每一个元素，的关系，是现代科学和工程领域的基有且仅有一个值域中的元素与之对应石，也是理解自然规律的数学语言函数是数学中表达变量间关系的基础工具函数的直观理解生活中的函数实例函数的输入输出关系•气温与时间的关系一天中不同时刻的温度变化•距离与时间的关系匀速行驶的汽车行驶距离•商品价格与数量的关系批发量越大，单价越低•手机电量与使用时间的关系随着使用时间增加，电量减少函数像一个加工机器，输入自变量x，通过函数规则f处理后，输出因变量y这种对应关系可以用映射图直观表示函数无处不在在我们的日常生活中，函数关系随处可见温度计上的刻度变化、手机电池的消耗速率、汽车油箱的燃油减少量，这些都是时间的函数认识到这些关系，我们就能用数学语言精确描述世界生活中的函数关系往往是复杂的，但通过简化和抽象，我们可以用数学模型（如一次函数）来近似描述它们，使复杂问题变得可分析、可预测一次函数的定义标准形式•x是自变量，表示输入值•y是因变量，表示输出值k是斜率，表示函数图像的倾斜程度b是截距，表示函数图像与y轴的交点坐标斜率的作用kk0k0k=0函数图像呈上升趋势，表示随着x的增加，y也增加函数图像呈下降趋势，表示随着x的增加，y减小函数图像为水平线，表示y值不随x变化而变化例如y=2x+3，每当x增加1，y就增加2例如y=-3x+4，每当x增加1，y就减少3例如y=5，无论x取什么值，y始终等于5截距的作用b定义与轴交点上下平移不改斜率正负或零b y的几何意义的变化效果b b•b表示函数图像与y轴的交点坐标0,b•增大b图像整体向上平移•当x=0时，函数值y=b•减小b图像整体向下平移•b可以是正数、负数或零•图像平移不改变斜率，只改变位置斜率与截距的魔法通过调整斜率k和截距b，我们可以控制一次函数图像的形态这就像是数学的魔法，通过简单的参数变化，创造出无限多的直线图像斜率控制倾斜斜率k决定了直线的倾斜程度和方向，是直线性格的体现截距控制位置截距b决定了直线在坐标系中的起始位置，是直线起点的体现正比例函数特例定义特点正比例函数应用正比例函数是一次函数的特殊情况，当截距b=0时，函数图像必然经过原点0,0这表明自变量与因变量成正比例关系•比例系数k表示变化率•图像为过原点的直线•x增加到原来的n倍，y也增加到原来的n倍•匀速运动s=vt（距离与时间）•欧姆定律I=U/R（电流与电压）•质量与体积m=ρV（物质密度）一次函数的图像绘制步骤确定另一个点确定轴截距点y选择一个合适的x值（通常取1或-1），计算对应的y值，得到第二个令x=0，计算y=b，得到点0,b这是函数图像与y轴的交点点连接点绘制直线利用斜率特性将确定的点用直尺连接起来，绘制完整的函数图像两点确定一条直利用上升/下降和水平移动的方法，根据斜率k确定更多点例如，线，但多画几个点可以减少误差若k=2/3，从已知点向右移动3个单位，向上移动2个单位，得到新的点例题演示绘制的图像y=2x+1步骤分析

1.确定截距b=1，所以与y轴交点为0,

12.确定斜率k=2，表示每当x增加1，y增加

23.计算第二点取x=1，则y=2×1+1=3，得点1,

34.计算第三点取x=-1，则y=2×-1+1=-1，得点-1,-

15.在坐标系中标出这些点，并用直线连接注意观察函数y=2x+1的图像是一条向右上方倾斜的直线，斜率为正k=2，截距为正b=1图像穿过点0,1，且每向右移动1个单位，向上移动2个单位例题演示绘制的图像y=-

0.5x+3确定截距点分析斜率b=3，所以函数图像与y轴的交点是0,3k=-

0.5，是负值，表示函数图像是下降的每当x增加2，y减少1计算关键点绘制图像取x=2，则y=-

0.5×2+3=2，得点2,2在坐标系中标出计算的点，连接成直线，得到完整图像取x=4，则y=-

0.5×4+3=1，得点4,1正负斜率的视觉差异函数图像的升降趋势直观地反映了斜率的正负正斜率与负斜率的函数在视觉上呈现明显的方向差异，这是一次函数最基本的视觉特征正斜率特征函数图像从左下方向右上方延伸，表现为上升趋势x增大时，y也增大，体现正相关关系负斜率特征函数图像从左上方向右下方延伸，表现为下降趋势x增大时，y减小，体现负相关关系一次函数的性质总结单调性定义域与值域零点当k0时，函数单调递增，x增大，y增大一次函数的定义域通常是全体实数-∞,+∞当y=0时，x=-b/k（k≠0）当k0时，函数单调递减，x增大，y减小值域也通常是全体实数-∞,+∞零点的几何意义函数图像与x轴的交点当k=0时，函数为常数函数，y值不变特殊情况k=0时，值域为{b}（单个常数）实际应用求解方程的根、平衡点等斜率k递增递减全体实数/的解kx+b=0零点计算方法数学定义几何意义与应用函数的零点是指函数值等于零时对应的自变量值，即满足方程fx=0的x值当k=0且b≠0时，函数没有零点；当k=0且b=0时，任意x都是零点•零点是函数图像与x轴的交点，坐标为-b/k,0•零点表示因变量y从正变负或从负变正的临界点例题求函数的零点y=3x-6代数求解图像验证所以函数y=3x-6的零点是x=2零点的坐标为2,0，表示函数图像与x轴的交点从图像可以清晰看到，函数图像是一条斜率为

3、y轴截距为-6的直线，与x轴交于点2,0，验证了我们的计算结果当x2时，函数值y0；当x2时，函数值y0一次函数的实际应用出租车计费商品折扣手机流量计费总费用=起步价+里程单价×行驶公里数折后价=原价×1-折扣率月资费=基础套餐费+超出流量单价×超出流量这是一个典型的一次函数，起步价是截距b，里折扣率为30%时，折后价=原价×

0.7，是一个程单价是斜率k特殊的正比例函数当使用流量超过套餐额度时，适用这一一次函数模型例题出租车计费问题建模问题描述模型分析某城市出租车计费规则起步价15元（含3公里），超出部分每公里

2.5元建立模型设x为行驶公里数，y为车费•当x≤3时y=15•当x3时y=15+

2.5x-3=

2.5x+

7.5这是一个分段函数，其中x3的部分是一次函数从图像可以看出•斜率k=

2.5表示每多行驶1公里，增加费用

2.5元•截距b=

7.5不是起步价，而是经过代数变形后的常数项•实际应用中常出现分段函数，需要分情况讨论例题商品打折价格计算问题描述建立模型模型分析某商场进行促销活动所有商品打8折，同时会员还可额外减20元设x为商品原价，y为最终支付价格斜率

0.8表示原价每增加100元，最终价格增加80元请建立原价与最终支付价格的函数关系，并分析其图像特征截距-20表示在打折基础上再减20元零点x=25，表示原价为25元的商品最终免费这是一个一次函数，斜率k=

0.8，截距b=-20当x25时，y0，实际中可能规定最低消费或不适用此优惠数学连接生活出租车计费商品价格变化出租车计费是城市生活中最常见的一次函数应用无论是起步价还是里从折扣计算到税费添加，商品的最终价格往往是原价的一次函数掌握程费率，都反映了线性关系的特点了解这一数学模型，能帮助我们估这些关系，让我们能更清晰地理解消费行为背后的数学逻辑算出行成本一次函数不仅是课本上的知识，更是解读现实世界的有力工具当我们能用数学眼光看待日常现象，世界会变得更加清晰有序一次函数的图像变换旋转变换改变斜率k的值，函数图像绕y轴截距点旋转•增大k图像逆时针旋转•减小k图像顺时针旋转•k的绝对值越大，图像越陡峭平移变换改变截距b的值，函数图像沿y轴方向平移•增大b图像向上平移•减小b图像向下平移•平移距离等于|b2-b1|综合变换同时改变k和b，产生旋转和平移的复合效果•先考虑斜率变化带来的旋转•再考虑截距变化带来的平移•变换前后的图像互为线性变换练习题判断函数图像的变化题目题目13函数y=2x+3变为y=2x+5，图像如何变化？函数y=-2x+4变为y=-x+1，图像如何变化？解析截距b从3变为5，增加了2，因此图像沿y轴向上平移2个单位斜率k不变，图像倾斜度不变解析斜率k从-2变为-1，绝对值减小，图像变得不那么陡峭，绕y轴交点顺时针旋转截距b从4变为1，图像沿y轴向下平移3个单位题目2函数y=x-2变为y=3x-2，图像如何变化？解析斜率k从1变为3，因此图像绕截距点0,-2逆时针旋转，变得更陡峭截距b不变，图像与y轴交点不变一次函数与方程组几何意义两个一次函数图像的交点表示两个方程的共同解，也就是方程组的解求解这个方程组，就是找到同时满足两个方程的x和y值₁₂•当k≠k时，两直线相交于一点，方程组有唯一解₁₂₁₂•当k=k且b≠b时，两直线平行，方程组无解₁₂₁₂•当k=k且b=b时，两直线重合，方程组有无穷多解解方程组的代数方法是消元法或代入法，几何上就是找两条直线的交点坐标这种代数与几何的对应关系，是中学数学中重要的思想方法例题求两函数和的交点y=2x+1y=-x+4方程组列法代数解法几何验证通过在坐标系中绘制这两条直线，可以直观地看到它们相交于点1,3第一条直线斜率为2，y轴截距为1第二条直线斜率为-1，y轴截距为4这两个方程构成了一个二元一次方程组，我们需要找到同时满足这两个方程的x和y值由于斜率不同2≠-1，两直线必然相交将x=1代入任一原方程，得y=2×1+1=3因此，交点坐标为1,3一次函数的扩展知识斜截式点斜式两点式₀₀标准形式，通过斜率k和截距b确定直线通过一点x,y和斜率k确定直线₁₁₂₂通过两点x,y和x,y确定直线优点直观反映直线的倾斜程度和位置优点当已知直线上一点和斜率时很方便优点不需要单独计算斜率适用场景已知斜率和截距，或需要分析直适用场景已知斜率和直线上一点的情况适用场景已知直线上两点的情况线性质这三种表达式可以相互转化，根据已知条件选择最便捷的形式来表示一次函数理解它们之间的联系，有助于灵活解决各类问题例题已知点和斜率，写出函数表达式1,3k=2点斜式求解图像展示₀₀

1.已知点x,y=1,3和斜率k=2₀₀

2.代入点斜式公式y-y=kx-x

3.得到y-3=2x-

14.展开y-3=2x-

25.整理y=2x-2+3=2x+1所以函数表达式为y=2x+1函数图像是一条通过点1,3且斜率为2的直线验证当x=1时，y=2×1+1=3，确实通过点1,3斜率k=2表示当x每增加1，y增加2，符合题目条件一次函数的综合应用分析问题求解问题识别问题中的变量关系，确定自变量和因变量，判断利用函数的图像或代数方法，计算特定条件下的函数是否为线性关系值、零点或交点1234建立模型解释结果根据问题情境，写出一次函数表达式y=kx+b，明确k将数学结果翻译回实际问题，给出明确的答案和解释和b的实际意义课堂小结1核心概念重点难点•一次函数的标准形式y=kx+b•理解斜率的几何意义和代数意义•斜率k表示函数图像的倾斜程度•函数图像的变换规律及原因•截距b表示函数图像与y轴的交点•一次函数与方程、不等式的联系•正比例函数是特殊的一次函数，形如y=kx•实际问题的数学建模过程课后思考与拓展123生活中的一次函数一次函数的应用拓展数学思维的培养尝试在日常生活中发现更多的一次函数关一次函数可以用来解决许多实际问题一次函数是理解线性关系的基础，而线性思系维是数学思维的重要组成部分•成本分析固定成本与可变成本•水龙头的水流量与时间关系•善于发现变量间的线性关系•运动学匀速运动的位移与时间•商场的会员积分与消费金额关系•学会用简单模型近似复杂问题•经济学供需平衡点的确定•快递费用与包裹重量关系•培养数据分析与预测能力•数据分析线性回归预测•手机充电电量与充电时间关系探索如何将非线性关系在某一区间近似为挑战尝试用一次函数解决一个你感兴趣的线性关系？思考这些关系是严格的一次函数吗？为什实际问题么？谢谢聆听期待你用一次函数探索更多数学世界的奥秘！知识是无限的思维是丰富的应用是广泛的一次函数只是数学王国的一扇小门，通过学习数学不仅是掌握知识，更是培养逻辑思数学模型无处不在，一次函数帮助我们理解它，我们可以看到更广阔的数学风景维和问题解决能力和改变这个世界。