不等式选讲教学课件

不等式选讲第一章不等式基础概念什么是不等式？定义示例实际意义不等式是用不等号（＞、＜、≥、≤、52，表示5比2大≠）表示两个表达式大小关系的数学式x10，表示变量x的值小于10子2y+3≥7，表示表达式2y+3的值大于或等于7不等式的符号含义＞大于＜小于表示左边的数大于右边的数表示左边的数小于右边的数例83例26大于等于小于等于≥≤表示左边的数大于或等于右边的数表示左边的数小于或等于右边的数例x≥5例y≤10记忆技巧不等号的尖头总是指向较小的数不等式与等式的区别等式不等式•表示两边的值完全相等•表示两边的大小关系•例如x=3•例如x3•解通常是特定的点值•解通常是一个范围•等式的解集在数轴上通常表示为点•不等式的解集在数轴上通常表示为区间不等式的解与解集解的定义解集的概念解集的表示方法使不等式成立的未知数值称为不等式的解所有解组成的集合称为不等式的解集集合表示法{x|x2}例如对于不等式x2，任何大于2的数都例如x2的解集是2,+∞，表示所有大区间表示法2,+∞是它的解于2的实数数轴表示法在数轴上从2向右的射线（不包括2点）解集的表示形式可以相互转换，数轴表示最为直观，有助于理解解的范围数轴上的不等式表示对于不等式x2在数轴上2点处画一个空心圆点（表示不包含2）从2点向右画一个箭头（表示包含所有大于2的数）对于不等式x≥2在数轴上2点处画一个实心圆点（表示包含2）从2点向右画一个箭头（表示包含所有大于2的数）数轴表示是理解不等式解集最直观的方式，建议学生在解题时养成画数轴的习惯不等式的传递性基本传递性推广形式应用价值若ab且bc，则ac若ab且b≥c，则ac传递性是不等式证明和解题的重要工具例53且31，则51若a≥b且bc，则ac可用于构建多步推理过程传递性反映了不等关系的本质特征，是解决复杂不等式问题的基础不等式的基本性质乘除正数加减同变乘除负数两边互换这些性质是解不等式的基本工具，掌握它们对于正确变形不等式至关重要特别要注意负数乘除时不等号方向变化，这是初学者容易犯错的地方例题解不等式3x-57步骤三写出解集步骤二系数化为步骤一移项1解集为{x|x4}3x12区间表示4,+∞3x-57x12÷33x7+5x43x12第二章一元一次不等式及不等式组本章将深入讲解一元一次不等式的定义、解法以及不等式组的求解方法，帮助学生系统掌握这一重要内容一元一次不等式定义一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式一元一次不等式的一般形式其中，a、b、c是已知的常数，a≠0，x是未知数，不等号可以是、、≥、≤中的任一个标准形式特点示例ax+b0a≠0未知数的次数为12x+37只含一个未知数-5x≤103x-4≥2x+1解一元一次不等式步骤解一元一次不等式的关键在于恰当应用不等式的基本性质，特别要注意系数为负数时不等号方向需要改变解含分母的不等式时，必须考虑分母不为零的条件，并将其作为解集的限制条件例题解不等式组{2x+37,x-4≤5}解第一个不等式解第二个不等式2x+37x-4≤52x7-3x≤5+42x4x≤9x2解集-∞,9]解集2,+∞求不等式组的解集，需要取各个不等式解集的交集2,+∞∩-∞,9]=2,9]不等式组的解集表示不等式组的解集是指同时满足所有不等式的解的集合解集定义求解方法数轴表示₁₂ₙ不等式组{f x0,f x0,...,f x0}

1.分别求出每个不等式的解集在数轴上表示各不等式的解集，然后找出共的解集是所有使每个不等式都成立的x值的同部分

2.求所有解集的交集集合不等式组的解集表示了满足多个条件的值的范围，在实际应用中具有重要意义不等式组解集的数轴表示以不等式组{x2,x≤9}为例•第一个不等式x2的解集在数轴上表示为从2点（不含）向右的射线•第二个不等式x≤9的解集在数轴上表示为从9点（含）向左的射线•两个解集的交集是从2点（不含）到9点（含）的区间，即2,9]数轴表示法直观展示了不等式组解集的范围，有助于理解和验证解答的正确性在绘制数轴时，建议使用不同颜色区分各个不等式的解集，并用高亮色标出交集部分无解不等式组示例解不等式组{x5,x3}x5的解集5,+∞x3的解集-∞,3交集5,+∞∩-∞,3=∅这个不等式组没有解从数轴上可以直观看出，x5和x3的解集没有公共部分，因为没有任何数既大于5又小于3当不等式组的各个不等式的条件相互矛盾时，就会出现无解的情况在实际应用中，这表示问题的约束条件无法同时满足第三章二次不等式及应用本章将介绍二次不等式的定义、解法及其在实际问题中的应用，帮助学生掌握更复杂的不等式类型二次不等式定义二次不等式是指含有未知数的二次项的不等式，其一般形式为其中，a、b、c是常数，a≠0，x是未知数，不等号可以是、、≥、≤中的任一个标准形式特点示例ax²+bx+c0a≠0未知数的最高次数为2x²-40图像为抛物线2x²-5x+3≤0-x²+2x+3≥0解二次不等式的步骤化为标准形式将不等式化为ax²+bx+c0的形式（a≠0）求对应方程的根₁₂₁₂解方程ax²+bx+c=0，获得根x和x（假设x≤x）划分区间₁₁₂₂根据方程的根将数轴分为三个区间-∞,x、x,x、x,+∞检验区间符号在每个区间内取一点代入原不等式，判断不等式在该区间内是否成立写出解集将使不等式成立的区间合并，得到不等式的解集解二次不等式的关键是理解二次函数的图像与x轴的交点位置关系例题解不等式x²-3x-40求方程的根划分区间并检验x²-3x-4=0数轴被分为三个区间使用求根公式•-∞,-1取x=-2，代入得4+6-4=60，不满足•-1,4取x=0，代入得0-0-4=-40，满足•4,+∞取x=5，代入得25-15-4=60，不满足₁₂得到x=-1,x=4因此，不等式x²-3x-40的解集为{x|-1x4}，或区间表示为-1,4二次不等式的图像理解抛物线与轴的位置关系解集的图像表示特殊情况x二次不等式ax²+bx+c0对应的图像是开当a0时若方程ax²+bx+c=0没有实根，则抛物线口朝上（a0）或开口朝下（a0）的抛与x轴没有交点ax²+bx+c0的解集对应抛物线在x轴上物线方的部分•当a0时，ax²+bx+c0恒成立，ax²抛物线与x轴的交点就是对应方程ax²+bx++bx+c0无解ax²+bx+c0的解集对应抛物线在x轴下c=0的根方的部分•当a0时，ax²+bx+c0恒成立，ax²+bx+c0无解当a0时，情况相反通过图像理解二次不等式可以更直观地把握解集的范围抛物线图示与解集区间以不等式x²-3x-40为例•对应的二次函数fx=x²-3x-4•方程x²-3x-4=0的根为x=-1和x=4•a=10，抛物线开口朝上•不等式0，寻找函数值小于0的区间•在两根之间，即-1,4区间内，函数值小于0因此，不等式的解集为-1,4，表示抛物线在x轴下方的x值范围在解二次不等式时，画出抛物线图像可以帮助我们直观理解解集，特别是对于复杂的不等式问题不等式的实际应用举例速度限制包裹重量利润计算汽车在高速公路上的速度需满足60≤v≤100快递包裹重量要求w20kg利润计算公式P=R-C0km/h超过此重量限制需要支付额外费用或选择其他运企业盈利要求收入R必须大于成本C，可转化为不这是一个双侧约束不等式，规定了行驶速度的安输方式等式求解问题全范围不等式在日常生活和各行各业中有广泛应用，通过数学建模可以解决许多实际问题不等式证明题简述什么是不等式证明例题证明对所有实数成立x²≥0x不等式证明是指证明某个不等式对特定范围内的所有值恒成立的过程证明例如，证明x²≥0对所有实数x成立对于任意实数x，有常用证明方法•若x0，则x²=x•x0•若x=0，则x²=0•0=0•直接运算法•若x0，则x²=-1•-x•x=-x•-x0•数学归纳法综上所述，对于任意实数x，恒有x²≥0•函数性质法•构造辅助函数法不等式的证明在高等数学中有重要应用，是培养逻辑思维和数学推理能力的重要途径常见不等式总结三角不等式均值不等式|a+b|≤|a|+|b|算术平均数≥几何平均数任意两边之和大于第三边柯西不等式伯努利不等式两个向量的内积不等式针对指数表达式的不等式这些经典不等式是数学研究的重要工具，也是解决复杂问题的基础重点应放在理解这些不等式的适用条件和证明方法上课堂练习精选123一元一次不等式一元一次不等式组二次不等式解不等式2x+1-35x-8解不等式组{3x-2≥4,5-2x-3}解不等式x²-5x+6≤045分式不等式实际应用题解不等式\\frac{x+1}{x-2}\geq0\某商品的成本为c元，售价为p元，要使利润不少于100元，售价应满足什么条件？这些练习题涵盖了不同类型的不等式，旨在帮助学生巩固所学知识并提高解题能力练习题答案与解析一元一次不等式二次不等式2x+1-35x-8x²-5x+6≤0解解2x+2-35x-8x²-5x+6=0→x=2或x=32x-15x-8a=10，抛物线开口朝上-3x-7不等式≤0，函数在两根之间小于等于0x7/3解集[2,3]分式不等式解集-∞,7/3一元一次不等式组\\frac{x+1}{x-2}\geq0\{3x-2≥4,5-2x-3}解解当分子分母同号时，分式≥03x-2≥4→3x≥6→x≥2x+1=0→x=-15-2x-3→-2x-8→x4x-2=0→x=2解集[2,4解集-∞,-1]∪[2,+∞实际应用题设商品成本为c元，则p-c≥100，即p≥c+100这意味着售价至少要比成本高100元不等式学习建议多画数轴图形注意不等号方向变化多做应用题提升理解数轴是理解不等式解集最直观的工具在不等式变形过程中，特别要注意乘除不等式在实际生活中有广泛应用通过养成在解题过程中画数轴的习惯，可以负数时不等号方向的变化这是初学者解决实际问题，不仅可以提升对不等式帮助你直观理解解集范围，避免出错最容易犯错的地方，需要特别警惕的理解，还能培养数学建模能力掌握不等式需要理解概念、熟悉性质、勤于练习建议你制作不等式解题方法卡片，将各类不等式的解法步骤整理成便于记忆的形式结束语数学之美，不等之道不等式是数学中的重要工具，掌握它不仅能帮助我们解决数学问题，还能培养逻辑思维能力和数学直觉学以致用触类旁通勇攀高峰将所学的不等式知识应用到实际问题中，建不等式的思想和方法与其他数学领域密切相希望大家在不等式的学习中不断挑战自我，立数学与现实世界的联系关，学好它将有助于学习更高级的数学内攀登数学知识的高峰！容感谢您的学习！祝愿大家在数学的道路上取得更大进步！。