函数教学 课件

函数教学探索数学与编程中的核心概念第一章函数的基本概念什么是函数？自变量与因变量表示方法函数是从一个非空集合（定义域）到另一个集自变量x可以任意取值的变量，是函数的合（值域）的映射关系，使定义域中的每个元输入因变量y由自变量决定的变量，是素对应值域中唯一的元素简单来说，函数建函数的输出立了变量之间的特定对应规则函数的历史与应用背景函数概念的起源与发展现实生活中的函数函数概念最初由莱布尼兹于1673年提出，后经欧拉、拉格朗日等数学家温度变化一天中气温随时间变化的关系不断完善最初的函数定义仅限于可以用代数式表示的关系，现代函数商品价格需求量与价格的关系函数概念则更为广泛，包括任何确定的对应关系物体运动距离与时间的函数关系18世纪中期，欧拉引入了函数符号fx，使函数表达更加简洁明了，推动了数学分析的发展人口增长人口数量随时间的变化函数函数的定义域与值域定义域值域定义域是函数自变量x所有可能取值的集合值域是函数因变量y所有可能取值的集合确定定义域时需考虑确定值域的常用方法•分母不能为零•分析函数图像在y轴上的投影范围•偶次根号下不能为负数•解不等式确定y的取值范围•对数函数的底数必须为正且不等于1，真数必须为正数•求函数的最大值和最小值例题解析求函数fx=√4-x²的定义域和值域定义域由于根号下表达式不能为负，得4-x²≥0，解得-2≤x≤2，因此定义域为[-2,2]函数映射关系函数建立了从定义域到值域的映射，使中每个元素都对应中唯一的元素X YX xY y=fx一次函数简介一次函数的表达式k b一次函数的一般形式为斜率截距表示因变量y随自变量x增加1个单位时的变化表示函数图像与y轴的交点坐标0,b其中量•k为斜率，表示函数图像倾斜程度•b为y轴截距，表示函数图像与y轴的交点坐标0,b一次函数与正比例函数的区别正比例函数是一次函数的特例，其形式为y=kx（即b=0的一次函数）一次函数图像特征斜率的影响截距的影响k b•k0函数图像为上升直线，k越大，直线越陡峭•b0函数图像向上平移b个单位•k0函数图像为下降直线，k越小，直线越陡峭•b0函数图像向下平移|b|个单位•k=0函数图像为水平直线，退化为常函数y=b•b=0函数图像过原点，为正比例函数例题绘制不同、值的一次函数图像k b请绘制以下一次函数的图像并比较

①y=2x+1k=2,b=1

②y=-x+2k=-1,b=2

③y=

0.5x k=

0.5,b=0函数的图像与性质单调性周期性函数fx在区间I上的单调性若存在正数T，使得对所有x∈定义域，都有fx+T=fx，则称fx为周期函数，T为周期•递增若对区间I上任意x₁•递减若对区间I上任意x₁fx₂奇偶性函数fx的奇偶性•奇函数f-x=-fx，图像关于原点对称•偶函数f-x=fx，图像关于y轴对称函数的分类代数函数三角函数由常数和变量通过有限次四则运算和有理指数幂以角度或弧度为自变量，与三角形边长比值相关运算构成的函数的周期函数包括多项式函数、有理函数、根式函数等包括正弦、余弦、正切等函数例如fx=2x³+3x²-5x+1例如fx=sinx对数函数指数函数形如fx=log_axa0且a≠1的函数，是指数函形如fx=aˣa0且a≠1的函数，表示底数的变量数的反函数次幂应用地震强度、音量分贝、pH值应用复利计算、人口增长、放射性衰变例如fx=log₁₀x例如fx=2ˣ多种函数图像对比不同类型的函数展现出截然不同的图像特征，反映了它们各自独特的数学性质观察各类函数的增长速率差异指数函数增长最快，对数函数最慢，多项式函数介于两者之间函数的实际应用案例物理中的速度与时间关系经济学中的供求函数生物学中的种群增长模型匀加速直线运动中，速度v与时间t的关系需求函数描述商品价格p与需求量q之间的关系指数增长模型无限资源条件下的种群数量N随时间t的变化其中v₀为初速度，a为加速度供给函数描述商品价格p与供给量q之间的关系逻辑斯蒂增长模型有限资源条件下的种群数量N随时间t的这是一个关于时间t的一次函数，描述了物体速度如何随时变化间变化市场均衡点供需相等时的价格和数量其中K为环境容纳量，r为内禀增长率函数的映射关系详解映射的概念例题判断关系是否为函数映射是从集合X到集合Y的对应法则f，记为f:X→Y判断以下关系是否构成函数映射与函数的区别

1.平面上的点集{x,y|x²+y²=1}

2.平面上的点集{x,y|y=±√1-x²}•函数是特殊的映射，要求X中每个元素对应Y中唯一元素•映射是更广泛的概念，包含一对

一、多对一等多种关系

3.平面上的点集{x,y|y=x²}解析映射的三要素定义域X、值域Y、对应法则f

①不是函数，因为对于给定的x值（如x=0），y有两个值0,1和0,-1

②不是函数，同样因为一个x值对应两个y值

③是函数，每个x值对应唯一的y值垂直线判别法垂直线判别原理若关系图像上任意一条垂直于x轴的直线最多只与图像有一个交点，则该关系是函数；若存在某条垂直线与图像有多个交点，则该关系不是函数判别步骤

1.绘制关系的图像

2.在图像上任意画几条平行于y轴的直线

3.检查这些直线与图像的交点数量

4.若均只有0或1个交点，则为函数；若有任一直线与图像相交于多点，则不是函数垂直线判别法体现了函数的本质特征一个自变量值对应唯一的因变量值这是判断关系是否为函数的直观几何方法函数的运算基本运算复合函数设函数fx和gx的定义域分别为D_f和D_g，则定义如果y=fu，u=gx，则y=f[gx]是x的复合函数，记作f∘gx•和函数f+gx=fx+gx，定义域为D_f∩D_g定义域{x|x∈D_g且gx∈D_f}•差函数f-gx=fx-gx，定义域为D_f∩D_g反函数•积函数f·gx=fx·gx，定义域为D_f∩D_g•商函数f/gx=fx/gx，定义域为{x|x∈D_f∩D_g且gx≠0}若函数y=fx为单射（即不同的x值对应不同的y值），则存在反函数x=f⁻¹y反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域反函数的定义与求法反函数的意义求反函数的步骤反函数f⁻¹x表示原函数fx的逆过程，将因变量和自变量的角色互换

1.检查原函数是否为单射图像特点反函数的图像关于直线y=x对称

2.将函数表达式y=fx中的x和y互换，得到x=fy

3.解出y，得到y=f⁻¹x存在条件函数必须是单射（即严格单调函数）才存在反函数

4.确定反函数的定义域（即原函数的值域）例题求简单函数的反函数求函数fx=2x+3的反函数解

①由于fx=2x+3是严格递增函数，所以存在反函数

②将x和y互换，得到y=2x+3→x=2y+3

③解出y，得到y=x-3/2，即f⁻¹x=x-3/2

④原函数的定义域为R，值域也为R，所以反函数的定义域为R函数的极值与图像分析极值的概念函数图像的凹凸性若函数fx在x₀的某邻域内取得最大（或最小）值，则称fx₀为函数的极大值（或极小值），点x₀,fx₀称为极大值点（或极小值点）若函数fx在区间I上的图像位于其任意两点间的弦的下方，则称fx在区间I上是凹函数（向上凸）；反之则为凸函数（向下凸）极值点的必要条件如果fx在x₀处可导且取得极值，则fx₀=0凹凸性判定若fx0，则函数在该区间上为凹函数；若fx0，则为凸函数极值的判定拐点利用导数判定函数图像由凹变凸或由凸变凹的点称为拐点•若fx₀=0且fx在x₀左侧为正，右侧为负，则fx₀为极大值拐点的必要条件若x₀,fx₀为拐点，则fx₀=0或fx₀不存在•若fx₀=0且fx在x₀左侧为负，右侧为正，则fx₀为极小值函数的连续性与间断点连续函数的定义函数fx在点x₀处连续，是指

1.fx在x₀处有定义

2.极限limx→x₀fx存在

3.limx→x₀fx=fx₀若函数在区间上每一点都连续，则称其为该区间上的连续函数常见间断点类型可去间断点limx→x₀⁺fx=limx→x₀⁻fx，但fx₀不存在或不等于此极限值跳跃间断点左右极限存在但不相等，即limx→x₀⁺fx≠limx→x₀⁻fx无穷间断点x→x₀时，fx→∞振荡间断点函数在x₀附近无限振荡，极限不存在函数的连续性是许多数学分析的基础连续函数具有许多重要性质，如介值定理、最大值最小值定理等，为函数的应用提供了理论保障函数的应用拓展利用函数解决实际问题函数是描述现实世界中变量关系的强大工具，广泛应用于科学研究、工程技术、经济预测等领域数学建模的基本步骤

1.明确问题，确定自变量和因变量

2.分析变量间的关系，建立函数模型

3.求解函数的特征（如极值、增减性等）

4.解释结果，验证模型的合理性例题用函数模型描述生活现象根据实验数据，某种药物在人体内的浓度Ct与服药后时间t的关系可近似表示为求药物浓度的最大值及达到最大值的时间编程中的函数概念引入函数在程序设计中的作用函数的定义、调用与参数传递编程中的函数是一段预先定义的、可重复使用的代码块，用于执行特定任务函数定义通常包括函数的核心优势•函数名标识符，用于调用函数•参数列表函数接收的输入•模块化将复杂问题分解为小任务•函数体执行的代码块•代码复用一次编写，多次调用•返回值函数执行后的输出•抽象化隐藏实现细节，提供清晰接口•易于维护局部修改不影响整体结构函数调用通过函数名和参数进行与数学函数的相似点接收输入（参数），产生输出（返回值）参数传递方式与数学函数的不同点可能有副作用，如修改全局变量或执行I/O操作•值传递传递参数的副本•引用传递传递参数的地址编程函数示例（伪代码）简单函数定义函数调用示例//计算两个数的平均值function计算平均值数值1,数值2{和=//主程序a=10b=20结果=计算平均值a,b输出a和b的平均值是:数值1+数值2平均值=和/2return平均值}+结果//可以多次调用同一函数c=35d=45结果2=计算平均值c,d输出c和d的平均值是:+结果2在上面的示例中，我们定义了一个名为计算平均值的函数，它接收两个参数，计算它们的平均值并返回结果在主程序中，我们多次调用这个函数处理不同的数据，展示了函数的复用性这种模块化的设计方式使代码更加清晰、简洁，并且易于维护如果将来需要修改平均值的计算方法（例如加权平均），只需修改函数定义，而不需要修改所有调用处函数的优势代码复用性编写一次，多处调用，避免重复代码当多个程序需要执行相同操作时，只需调用同一函数，而不必复制粘贴代码这不仅减少了代码量，还确保了逻辑一致性结构清晰，便于维护将复杂问题分解为小的、独立的功能模块，使程序结构更加清晰当需要修改某个功能时，只需关注相应的函数，而不必理解整个程序的细节，大大降低了维护难度和出错风险便于团队协作开发不同的开发者可以负责不同的函数模块，只需约定好接口（参数和返回值），就能并行开发函数的封装性使团队成员能够专注于自己的任务，而不必了解其他部分的具体实现常见编程语言中的函数类型内置函数与用户自定义函数递归函数内置函数（库函数）递归函数是在函数体内调用自身的函数•由编程语言或库提供的预定义函数递归的关键要素•常见例子数学函数（sqrt,abs,sin）、字符串处理（length,substring）、I/O函数•基本情况（Base case）不再递归调用的终止条件（print,read）•递归步骤将问题分解为更小的子问题•使用时无需编写实现，直接调用即可经典递归示例用户自定义函数•由程序员根据特定需求自行编写的函数//计算阶乘的递归函数function阶乘n{//基本情况if n==0||n==1{return1}//递归步骤else{return n*阶乘•可以封装特定业务逻辑或算法n-1}}•根据需要自由定义参数和返回值递归优点代码简洁、直观，适合解决具有递归结构的问题递归缺点可能导致栈溢出，某些情况下效率较低函数的参数类型位置参数默认参数可变参数根据参数在函数调用中的位置进行匹配为参数提供默认值，调用时可以省略这些参数接收不定数量的参数，通常用于处理同类型的多个输入function计算长方形面积长,宽{return长*宽}//调用function问候姓名,问候语=你好{return问候语+，function求和...数字列表{总和=0for数字in时按顺序传参面积=计算长方形面积5,3//结果为15+姓名+！}//可以只传递必要参数消息1=问候张三数字列表{总和+=数字}return总和}//可//你好，张三！消息2=问候李四,早上好//早上好，以传递任意数量的参数结果1=求和1,2,3//6结果2=求和李四！10,20,30,40//100参数传递方式值传递引用传递传递参数的副本，函数内部的修改不影响原始值适用于简单数据类型（如整数、浮点数等）传递参数的地址，函数内部的修改会影响原始值适用于复杂数据类型（如数组、对象等）function增加数字{数字=数字+1return数字}x=5y=增加x//y=6，但x仍然是5function添加元素数组,元素{数组.添加元素}列表=[1,2,3]添加元素列表,4//列表变为[1,2,3,4]函数返回值详解单一返回值最常见的返回方式，函数执行完成后返回一个值function计算面积半径{return

3.14*半径*半径}面积=计算面积5//返回

78.5多返回值某些语言支持函数返回多个值，通常通过元组、数组或对象实现function计算统计数据数组{最小值=找最小值数组最大值=找最大值数组平均值=计算平均值数组return[最小值,最大值,平均值]}[最小,最大,平均]=计算统计数据[3,7,2,9,5]//返回[2,9,

5.2]返回值的实际应用函数返回值常用于•计算结果传递如数学运算、数据处理•状态指示如操作成功/失败的标志•链式调用一个函数的返回值作为另一函数的输入函数调用栈与执行流程函数调用的过程栈帧与局部变量生命周期当程序调用函数时，系统会执行以下步骤栈帧（Stack Frame）是为函数执行分配的内存区域，包含

1.保存当前执行环境（包括程序计数器、局部变量等）•函数参数

2.为被调用函数分配栈帧（存储参数、局部变量、返回地址）•局部变量

3.将控制权转移给被调用函数•返回地址

4.函数执行完毕后，返回值被传递给调用者•调用者的栈指针

5.释放被调用函数的栈帧局部变量的生命周期

6.恢复调用函数的执行环境，继续执行•创建函数被调用时，在栈帧中分配内存•销毁函数执行结束时，栈帧被释放函数调试技巧常见错误及解决方案•参数错误确保传入正确类型和数量的参数•返回值错误检查函数是否在所有执行路径上都返回了预期的值•逻辑错误使用打印语句或调试器跟踪函数执行流程•递归无限循环确保递归函数有明确的终止条件•作用域混淆注意局部变量与全局变量的区别调试工具与方法•打印调试在关键位置添加打印语句，显示变量值和执行流程•断点调试使用IDE的调试器设置断点，逐步执行程序•日志记录将函数执行情况写入日志文件，便于后期分析•单元测试编写测试用例验证函数在各种输入下的行为•代码审查邀请同事检查函数逻辑，寻找潜在问题有效的调试是编程过程中不可或缺的一部分通过掌握这些调试技巧，可以更快地定位和解决函数中的问题，提高开发效率养成良好的调试习惯，将帮助你编写更健壮、更可靠的函数函数综合练习数学函数题目编程函数设计题目

1.求函数fx=x³-3x²+2的零点

1.设计一个函数，计算给定数组中所有元素的平均值

2.判断函数gx=|x²-4|的单调区间

2.编写一个递归函数，计算斐波那契数列的第n项

3.求函数hx=e^x+e^-x的最小值

3.设计一个函数，判断给定字符串是否为回文

4.判断函数kx=sinx+cosx的周期

4.编写一个函数，将摄氏温度转换为华氏温度

5.求复合函数f[gx]，其中fx=x²+1，gx=2x-

35.设计一个函数，找出给定整数数组中的最大值和最小值解析（部分）参考实现（第5题）

5.f[gx]=[gx]²+1=2x-3²+1=4x²-12x+9+1=4x²-12x+10function找最值数组{if数组.长度==0{return null}最大值=数组

[0]最小值=数组

[0]for i=1;i数组.长度;i++{if数组[i]最大值{最大值=数组[i]}if数组[i]最小值{最小值=数组[i]}}return[最小值,最大值]}课堂小结函数的核心概念回顾基本定义函数是变量间的特定对应关系，建立输入与输出的映射重要性质定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等是分析函数的关键特征广泛应用函数在数学建模、科学研究、编程设计等领域有着不可替代的重要作用数学与编程中函数的联系与区别联系两者都建立了输入与输出的关系，都具有抽象化和模块化的特点区别数学函数强调映射关系，而编程函数更注重执行过程；数学函数总是确定性的，而编程函数可能有副作用拓展阅读与学习资源推荐书籍练习平台•《高等数学》（同济大学编）-函数理论基础•洛谷-中文编程题库，适合算法函数练习•《数学分析》（陈纪修编）-深入理解函数性质•CodeWars-通过挑战提升函数编程能力•《算法导论》-算法与函数设计•HackerRank-各种难度的编程挑战•《代码整洁之道》-编程函数设计最佳实践•PAT程序设计能力测试-函数设计与实现•《Python编程从入门到实践》-通过Python学习函数编程竞赛信息网站与视频课程•全国高中数学联赛-函数相关题目•中国大学MOOC-高等数学、程序设计课程•ACM程序设计竞赛-算法函数实现•bilibili-3Blue1Brown数学可视化系列•蓝桥杯程序设计大赛-编程函数设计•Khan Academy-函数与微积分教程•数学建模竞赛-应用函数模型解决实际问题•LeetCode-函数算法练习平台•GitHub-开源代码学习函数设计模式谢谢聆听期待你用函数解决更多问题！函数是连接数学与编程的桥梁，掌握函数思维将帮助你更好地理解和描述这个世界无论是分析数据变化规律，还是设计高效算法，函数都是你强大的工具欢迎提问与交流，让我们一起探索函数的奥秘！。