成人高数一函数教学课件

成人高等数学一函数教学第一章函数的基本概念与定义函数是高等数学的基础，理解函数概念对后续学习至关重要函数的定义定义域与值域函数表示方法函数是两个非空数集之间的一种映射关系，定义域是函数自变量x的取值集合，值域是函数可通过语言描述、表格数据、几何图像体现了变量间的对应规则每个自变量值唯所有函数值fx的集合图像是函数在坐标系和解析式（公式）四种方式表示，各有优一确定一个函数值中的直观表示势函数的定义详解设D、E为两个非空数集，若按某一确定的对应法则f，使D中每一个元素x，在E中都有唯一的元素y与之对应，则称f为从D到E的一个函数，记为其中，我们称函数映射关系示意图•x为自变量，y为因变量，记为y=fxD为函数f的定义域（Domain）E为函数f的陪域（Codomain）注意值域fD是陪域E的子集，即fD⊆E只有当函数为满射时，才有fD=E所有函数值y=fx所组成的集合称为函数f的值域（Range），记为fD函数的四种表示方法语言描述用文字说明变量间的关系1例温度与体积成正比关系优点直观易懂缺点不够精确表格表示用数据表列出自变量和函数值2例不同温度下的气体体积数据表优点数据直观缺点信息不连续图像表示在坐标系中绘制函数曲线3例温度-体积关系曲线优点直观展示变化趋势缺点精确度有限解析式表示用数学公式表达函数关系₀例V=V1+αt优点精确且便于计算第二章函数的分类函数可按照表达式的形式和性质分为多种类型，主要分为代数函数和超越函数两大类代数函数超越函数线性函数三角函数形如fx=mx+b，图像为直线正弦、余弦、正切等周期函数多项式函数指数函数₀₁₂ⁿˣₙ形如fx=a+a x+a x²+...+a x形如fx=a，a0且a≠1有理函数对数函数两个多项式的商fx=Px/Qx形如fx=logax，a0且a≠1幂函数复合函数ᵅ形如fx=x，α为常数由多个基本函数复合而成掌握各类函数的定义、性质和图像特征，是解决高等数学问题的基础线性函数详解线性函数是最基本的函数类型，它的一般形式为其中m称为斜率，表示函数图像的倾斜程度b称为截距，表示函数图像与y轴的交点坐标0,b当m0时，函数单调递增；当m0时，函数单调递减；当m=0时，函数为10常函数斜率截距m b线性函数的定义域为R（实数集），值域也为R表示直线倾斜程度表示y轴交点线性函数在实际生活中有广泛应用，如成本计算、速度与距离关系、温度转换等线性函数应用案例出租车计费模型蟋蟀鸣叫频率与温度关系费用y与行驶里程x的关系蟋蟀每分钟鸣叫次数N与摄氏温度T的关系其中10元为起步价（常数项），

2.5元/公里为里程费率（斜率）通过测量鸣叫频率，可以反推环境温度例题求解线性函数模型某工厂生产成本C与产量x的关系为线性函数已知生产100件产品的成本为5000元，生产300件产品的成本为9000元求1成本函数Cx；2生产500件产品的成本；3成本为15000元时的产量解1设Cx=mx+b，代入已知条件C100=5000，即100m+b=5000C300=9000，即300m+b=9000解得m=20，b=3000，所以Cx=20x+30002C500=20×500+3000=13000元3当C=15000时，20x+3000=15000，解得x=600件线性函数模型图示线性函数在现实生活中有多种应用场景，下面通过图形直观展示两个典型应用数学模型建立自变量与因变量间的线性关系式y=mx+b图形表示在坐标系中绘制直线，直观展示变化规律应用计算利用模型进行预测、分析和决策通过线性函数模型，我们可以更好地理解和预测现实世界中的各种关系，从而做出更科学的决策多项式函数介绍₀₁₂ⁿ多项式函数是形如fx=a+a x+a x²+...+aₙx的函数，其中n为非负整数，aₙ≠0常见多项式函数二次函数fx=ax²+bx+c a≠0图像为抛物线例题求二次函数的零点与极值顶点-b/2a,f-b/2a对称轴x=-b/2a对于函数fx=2x²-4x-6，求1函数的零点；三次函数2函数的极值点和极值fx=ax³+bx²+cx+d a≠0解1令fx=0，得2x²-4x-6=0图像有一个拐点△=-4²-4×2×-6=16+48=64拐点横坐标x=-b/3ax=[4±√64]/4=[4±8]/4=3或-1高次多项式所以函数的零点为x=-1或x=32令fx=4x-4=0，得x=1n次多项式最多有n个零点极值点为1,f1=1,-8n次多项式最多有n-1个极值点因为fx=40，所以f1=-8为极小值n次多项式最多有n-2个拐点有理函数与幂函数有理函数幂函数有理函数是由两个多项式的比值表示的函数幂函数的一般形式为其中α为常数其中Px、Qx为多项式，且Qx≠0常见幂函数特点•定义域使Qx≠0的所有实数α0•可能存在垂直渐近线Qx=0的点当x0时，函数单调递增•可能存在水平渐近线当Px与Qx的次数差为1时例fx=x²，fx=x³，fx=√x简单有理函数图像α0当x0时，函数单调递减例fx=1/x，fx=1/x²为整数α定义域为R（当α为负整数时除外）图像关于原点对称或关于y轴对称幂函数图像三角函数基础三角函数是描述角度与边长比值关系的函数，在物理、工程等领域有广泛应用基本定义周期性正弦函数sinθ=对边/斜边sinθ+2π=sinθ，周期为2π余弦函数cosθ=邻边/斜边cosθ+2π=cosθ，周期为2π正切函数tanθ=对边/邻边=sinθ/cosθtanθ+π=tanθ，周期为π值域范围sinθ的值域为[-1,1]cosθ的值域为[-1,1]tanθ的值域为-∞,+∞单位圆与三角函数在单位圆上（半径为1的圆），点Px,y的坐标与角θ有如下关系•x=cosθ•y=sinθ通过单位圆可以直观理解三角函数的周期性和对称性当角θ在单位圆上旋转一周（2π）时，sinθ和cosθ的值会完整地变化一次指数函数与对数函数指数函数对数函数指数函数的一般形式为对数函数的一般形式为其中a0且a≠1其中a0且a≠1特点特点•定义域为R（实数集）•定义域为0,+∞•值域为0,+∞•值域为R（实数集）•当0•当0•当a1时，函数单调递增•当a1时，函数单调递增•图像恒过点0,1•图像恒过点1,0重要的指数函数重要的对数函数自然指数函数fx=e^x自然对数函数fx=ln x=loge x其中e≈

2.71828是自然常数常用对数函数fx=lg x=log10x指数函数与对数函数互为反函数，即y=a^x的反函数是y=loga x第三章函数的图像变换理解函数图像的变换规律，有助于我们更好地分析函数性质和绘制函数图像平移伸缩反射复合变换函数图像变换规律总结变换类型公式变化图像变化水平平移y=fx-h图像沿x轴正向平移h个单位垂直平移y=fx+k图像沿y轴正向平移k个单位水平伸缩y=fax x方向缩小为原来的1/|a|倍垂直伸缩y=bfx y方向伸缩为原来的|b|倍关于y轴反射y=f-x图像关于y轴对称。