有理数教学课件

有理数免费教学课件第一章有理数的认识什么是有理数？有理数定义有理数特征有理数范围有理数是能表示为两个整数之比的数，其有理数具有以下特征有理数包括中分母不能为零用数学语言表述为若•可以表示为分数形式a/b（b≠0）•正有理数（如1,2/3,

0.25）a,b为整数，且b≠0，则a/b为有理数•小数形式为有限小数或无限循环小数•负有理数（如-5,-1/4,-

0.75）•包含所有整数（整数可视为分母为1的分数）有理数的分类分数•真分数分子小于分母（如1/2,3/4）•假分数分子大于或等于分母（如5/3,整数7/2）•带分数整数部分与真分数的和（如1包括1/2,23/4）•正整数1,2,

3...•负整数-1,-2,-

3...小数•零0•有限小数如

0.5,

0.75,

0.125•无限循环小数如

0.

333...,

0.

999...•注意无限不循环小数不是有理数数轴上的有理数分布在数轴上，有理数形成一种密集分布的模式•整数位于刻度点上（如-3,-2,-1,0,1,2,

3...）•分数位于整数之间（如-1/2在-1和0之间）•小数同样可以在数轴上精确定位（如

0.75在0和1之间）有理数在数轴上的任意两点之间，总能找到无数个有理数这种特性我们称为稠密性有理数与其他数的关系整数自然数有理数实数无理数练习题判断下列数是否为有理数3/4分析可以表示为两个整数之比，分子为3，分母为4结论是有理数-5分析可以表示为-5/1，是两个整数之比结论是有理数

0.

3333...分析这是一个无限循环小数，可以表示为分数形式1/3结论是有理数√2分析已经证明√2不能表示为两个整数之比，是无限不循环小数结论不是有理数（是无理数）-

0.25分析可以表示为-1/4，是两个整数之比结论是有理数理解判断有理数的关键是该数是否可以表示为两个整数的比，或者其小数表示是否为有限小数或无限循环小数第二章有理数的运算本章将详细介绍有理数的四则运算规则及技巧，包括加减乘除的符号规律和计算方法，帮助学生掌握有理数运算的基本技能有理数的加法同号相加异号相加同号数相加，符号不变，将绝对值相加异号数相加，取绝对值大的数的符号，绝对值相减例如例如-3+-5=-3+5=-85+2=77+-4=7-4=3-6+2=-6-2=-4例题解析例题27+-4=例题1-3+-5=解析一正一负相加，取绝对值大的数

（7）的符号（正号），绝对值相减解析两个负数相加，符号不变，将绝对值相加计算7+-4=7-4=3计算-3+-5=-3+5=-8有理数的减法减法转化为加法的关键技巧a-b=a+-b即减去一个数等于加上这个数的相反数减法转化为加法5-8=5+-8=-3-6--2=-6+2=-4减法计算时，先将减法转化为加法，再按照加法法则计算有理数的乘法乘法符号规则•同号相乘得正数•异号相乘得负数例题解析例题×例题×例题×1-43=2-2-5=30-7=解析一正一负相乘，结果为负解析两负数相乘，结果为正解析任何数与0相乘都等于0计算-4×3=-12计算-2×-5=10计算0×-7=0乘法符号规则可以记忆为同号得正，异号得负这与正负电荷相互作用的物理规律类似，便于理解和记忆有理数的除法除法与乘法的关系a÷b=a×1/b，其中b≠0符号规则与乘法相同同号得正，异号得负重要限制除数不能为零！任何数除以0都是没有意义的例题解析例题÷例题÷112-3=2-15-5=解析解析•一正一负相除，结果为负•两负数相除，结果为正•计算绝对值12÷3=4•计算绝对值15÷5=3•确定符号异号得负•确定符号同号得正答案12÷-3=-4答案-15÷-5=3除法也可以转化为乘以倒数12÷-3=12×-1/3=-4运算规则总结符号运算规则运算类型符号规则记忆口诀加法同号相加，符号不变异同号加，符不变异号号相加，取绝对值大的加，看大小符号减法转化为加上减数的相反减变加，符号变数乘法同号得正，异号得负同正异负除法同号得正，异号得负同正异负，零不做除（除数不为零）掌握这些基本规则后，有理数的复杂运算也可以分解为基本运算的组合反复练习是熟练掌握运算规则的关键分数的加减法异分母分数加减法先通分，再按同分母规则计算例2/3-1/6=4/6-1/6=3/6=1/2同分母分数加减法分子相加减，分母不变例1/4+3/4=1+3/4=4/4=1通分技巧找最小公倍数作为公分母例1/2与3/5通分→10为最小公倍数→5/10与6/10例题详解例题例题11/4+3/4=22/3-1/6=观察分母通分分母相同，都是4找最小公倍数3和6的最小公倍数是62/3=2×2/3×2=4/6分子相加分子相减1+3=44-1=3分数的乘除法分数乘法分数除法乘法法则分子乘分子，分母乘分母除法法则乘以除数的倒数公式a/b×c/d=a×c/b×d公式a/b÷c/d=a/b×d/c=a×d/b×c例2/5×3/4=2×3/5×4=6/20=3/10例3/7÷2/3=3/7×3/2=3×3/7×2=9/14分数运算技巧约分技巧倒数性质负分数在乘除法计算中，可以先交叉约分再计算，避任何非零有理数a的倒数是1/a，有性质a×含负号的分数，可以将负号放在分子前，分母免出现较大数字1/a=1前，或分数前，结果相同这是理解分数除法的关键除以一个数等于乘以-2/3=2/-3=-2/32/5×3/4=2/5×3/4=2×3/5×4这个数的倒数=6/20=3/10小数与分数的互换有理数的小数表示形式有限小数无限循环小数小数点后有限位数的小数小数点后某些数字无限重复出现例

0.5,

0.75,

0.125例

0.

333...,

0.

272727...小数转分数方法有限小数转分数循环小数转分数例

0.75=例

0.

333...=方法分子为去掉小数点的数，分母为1后面加小数位数个0方法设x=

0.

333...则10x=

3.

333...10x-x=39x=3x=3/9=1/3计算过程

0.75=75/100=3/4（约分）重要性质所有有理数的小数表示都是有限小数或无限循环小数；反之，所有有限小数或无限循环小数都可以表示成分数形式练习题计算下列有理数表达式题目题目×1-2+5/623/4-8/9解题步骤解题步骤

1.将整数转为分数-2=-12/

61.分子乘分子，分母乘分母

2.同分母相加-12/6+5/6=-12+5/6=-7/

62.符号确定一正一负，结果为负答案-2+5/6=-7/6=-11/6计算3/4×-8/9=-3×8/4×9=-24/36=-2/3题目÷

30.6-

0.2解题步骤

1.将小数转换为分数

0.6=6/10=3/5，-

0.2=-2/10=-1/

52.分数除法转为乘以倒数3/5÷-1/5=3/5×-5/

13.符号确定一正一负，结果为负计算3/5×-5/1=-3×5/5×1=-15/5=-3也可直接用小数计算

0.6÷-

0.2=-

0.6÷

0.2=-3注意事项计算有理数混合运算时，应注意运算顺序、符号规则，以及分数与小数的转换技巧第三章有理数的应用与拓展本章将探讨有理数在实际生活中的应用场景，以及有理数的进阶知识，包括数轴表示、大小比较、绝对值和运算顺序等内容有理数在生活中的应用温度变化金钱收支海拔高度气温可以用正数和负数表示财务记账使用正负数地理位置高度•北京冬季气温-10°C•收入+200元•珠穆朗玛峰+

8844.43米•夏季气温35°C•支出-150元•死海-420米（低于海平面）•气温下降5°C当前温度-5°C•盈余50元•海平面0米•赤字-30元其他生活应用场景体育比赛股票市场配料与分配•得分+1分，+2分，+3分•涨幅+

2.5%•食谱3/4杯糖有理数的数轴表示数轴的定义数轴是表示数的位置关系的直线在数轴上•选定原点O，表示数0•选定正方向（通常为右方向）•选定单位长度有理数在数轴上的定位•正数位于原点右侧•负数位于原点左侧•原点表示0•数的绝对值越大，离原点越远例题在数轴上标出，，-3/

202.5解析•-3/2=-

1.5，位于原点左侧

1.5个单位处•0位于原点•

2.5位于原点右侧

2.5个单位处数轴是理解有理数大小关系的重要工具，从左到右，数值由小到大有理数大小比较基本规则在数轴上，位置越靠右的数越大；位置越靠左的数越小同号比较大小异号比较大小•正数绝对值越大，数越大•正数总大于负数•负数绝对值越大，数越小•正数总大于零•零总大于负数例如例如•52（正数，5的绝对值大）•-2-5（负数，-2的绝对值小）•1-10（正数大于负数）•0-3（零大于负数）例题比较和的大小-2/3-3/4结论比较绝对值分析因为-2/3和-3/4都是负数，且|-2/3||-3/4||-2/3|=2/3，|-3/4|=3/4所以-2/3-3/4这是两个负数的比较，需要比较它们的绝对值绝对值小通分比较2/3=8/12，3/4=9/12的负数反而更大所以|-2/3||-3/4|有理数的绝对值绝对值定义一个数在数轴上离原点的距离数学表示|a|=a（当a≥0时）；|a|=-a（当a0时）绝对值的性质绝对值的应用•绝对值永远是非负数|a|≥0•表示距离|a-b|表示a和b在数轴上的距离•相反数的绝对值相等|a|=|-a|•表示误差|实际值-理论值|•两数之和的绝对值小于等于绝对值之和|a+b|≤|a|+|b|•表示数的大小（不考虑方向）例题解析例题例题例题1|-5|=2|3/4|=3|0|=解析负数的绝对值等于它的相反数解析正数的绝对值等于它本身解析零的绝对值等于零计算|-5|=--5=5计算|3/4|=3/4计算|0|=0有理数的运算顺序第一级1括号第二级2乘方、开方第三级3乘法、除法第四级4加法、减法运算顺序的记忆口诀先括号内，次乘方，再乘除，后加减，同级从左到右例题计算×-3+52得出结果第二步执行乘法第一步计算括号内-3+5×2=2×2=42×2=4-3+5=2复杂表达式计算时，应严格按照运算顺序进行，避免常见错误若不确定，可以使用括号明确优先级解决实际问题示范分摊费用问题温度变化问题问题描述问题描述一个班级有30名学生，组织春游活动共花费1500元其中包含大巴费用600元，每人需要分摊多少早晨气温为-5°C，中午上升了12°C，傍晚又下降了8°C，晚上的气温是多少？钱？解题思路解题思路

1.早晨温度-5°C

1.计算总费用1500元

2.中午温度变化上升12°C，计算为-5+12=7°C

2.计算人均分摊1500÷30=50元/人

3.傍晚温度变化下降8°C，计算为7-8=-1°C答案答案每人需要分摊50元晚上的气温是-1°C利润亏损问题问题描述解题思路答案小王开了一家小店，第一季度亏损2000元，第二季度盈利

55001.列出各季度盈亏-2000元，+5500元，-1500元，+3000元全年盈利5000元元，第三季度亏损1500元，第四季度盈利3000元计算全年的盈

2.计算全年盈亏-2000+5500+-1500+3000=5000元亏情况课堂互动有理数游戏与竞赛题快速判断有理数性质运算速算挑战数字分类游戏闪电计算1老师出示一组数字，学生迅速判断它们是正数、负数、整数、分数、有理数还是无理数限时计算有理数四则运算例2/3,-5,√4,π,

0.75,

0.

666...•-3+7=•5/6-1/3=找出错误游戏•-2×-4=•-15÷3=老师展示有理数运算过程，学生找出计算中的错误2✗例-3+-5=-8✓7--2=5接龙计算前一题的答案作为下一题的第一个数数轴定位游戏•-2+5=3•3×-1=-33老师提供一组有理数，学生在数轴上正确标出位置•-3÷

0.5=-6例-

1.5,2/3,-π,0,

2.25•...数学拼图将分散的数字和运算符组合成正确的算式例给出2,3,5,+,-,×学生组合2×3-5=1常见错误与易混点解析符号错误分数通分错误循环小数识别错误•错误示例-3-5=-8（正确答案应•错误示例1/2+1/3=2/5（正确答•错误示例认为

0.

333...是无理数为-8）案应为5/6）（正确认识应为有理数）•错误示例-3×-5=-15（正确答案•错误示例3/4-1/2=2/2（正确答•错误示例将

0.

1212...表示为

0.12应为15）案应为1/4）（缺少了循环部分）解析符号运算是学生最容易出错的地解析分数加减必须先通分，找最小公解析任何循环小数都是有理数，可以方，尤其是连续的负号和乘除法中的符倍数作为公分母分子不能直接相加表示为分数形式无限不循环小数才是号判断记住同号得正，异号得负的减，这是常见错误无理数规则其他常见错误运算顺序错误绝对值概念混淆数轴方向错误错误示例2+3×4=20（正确答案应为14）错误示例|-3|+|5|=-8（正确答案应为8）错误示例认为-5比-3小（正确应为-5-3）解析应先算乘除，后算加减解析绝对值结果必定是非负数解析数轴上越靠左数值越小总结回顾有理数的定义与分类1•有理数是能表示为两个整数之比的数（分母不为零）•包括整数、分数、有限小数和无限循环小数运算规则与技巧2•包含正数、负数和零•加法同号相加取相同符号，异号相加取绝对值大的符号•减法转化为加法生活中的应用3•乘除法同号得正，异号得负•温度变化•分数运算通分、约分、乘倒数•金钱收支•海拔高度•股票涨跌•分配与测量核心概念543有理数分类基本运算表示形式整数、真分数、假分数、有限小数、无限循环小数加、减、乘、除四则运算是掌握有理数的基础分数表示、小数表示、数轴表示是理解有理数的三种重要方式课后练习推荐课本习题精选在线有理数练习平台推荐基础巩固题1课本第25页习题1-5，练习有理数的概念和分类•判断各数是否为有理数•将分数转化为小数•将小数转化为分数运算练习题2课本第30-32页习题6-15，练习有理数的四则运算•有理数加减法计算•有理数乘除法计算•混合运算与运算顺序应用题3课本第35-36页习题16-20，练习有理数的实际应用•温度变化问题•财务盈亏问题•数轴定位问题猿辅导数学提供有理数专题练习，针对不同难度水平设计习题，有详细的解题过程和讲解参考资料与拓展阅读教材与参考书在线学习资源中国教育电视台数学频道《数学分析（）》1I提供有理数专题教学视频，深入浅出地讲解有理数概念及应用作者孙伟网址www.cetv.cn出版社华东师范大学出版社国家中小学智慧教育平台推荐章节第一章数与数列中的有理数部分2提供标准化的有理数教学课件和练习资源，适合自学和复习《初中数学知识精讲》网址www.zxx.edu.cn作者王后雄站数学大师频道出版社长春出版社3B推荐章节有理数章节，包含丰富例题和解析提供生动有趣的有理数教学视频，配有动画演示和实例讲解关键词有理数，初中数学《数学奥林匹克解题宝典》作者陈传理出版社哈尔滨工业大学出版社推荐章节有理数应用与扩展思考拓展学习方向实数系统小数展开了解有理数如何扩展到实数系统，以及有理数与无理数的关系深入研究有理数的小数表示方法和循环规律谢谢观看！欢迎提问与交流联系方式学习资源教师邮箱teacher@school.edu.cn扫描下方二维码获取更多免费学习资料教研组电话010-12345678包括练习题、教学视频、错题解析办公室地址教学楼二层数学组我们的目标是让每位学生都能掌握有理数的概念和运算，为进一步学习数学打下坚实基础愿数学的魅力伴随你们成长！。