组合问题教学课件

组合问题教学课件目录第一章组合基础与公式学习组合的定义、基本公式、性质及其与排列的区别第二章组合典型例题与解题策略分析常见组合问题类型、解题技巧与方法第三章组合的实际应用与综合训练第一章组合基础与公式（）2组合公式推导计算示例从5个元素中选3个的组合数其中n!表示阶乘n!=n×n-1×n-2×...×2×1特别地，规定0!=1第一章组合基础与公式（）3组合的性质对称性递推关系二项式定理联系从n个元素中选r个，等同于选出n-r个不要的元素可理解为包含第n个元素的组合数+不包含第n个元素的组合数例C8,3=C8,5=56第一章组合基础与公式（）4组合与概率在概率计算中，组合用于计算等可能事件的个数，从而确定特定事件的概率例题从8个开胃菜中选3个，问有多少种不同的组合？练习

1.计算C12,

42.从20名学生中选出5名代表，有多少种不同的选法？第二章组合典型例题与解题策略（）1典型例题1问题从10人中选出4人组成委员会，有多少种选法？解析计算技巧这是一个基本的组合问题，直接应用组合公式可以将阶乘约分，只计算需要的部分这样可以避免计算大数阶乘，提高计算效率第二章组合典型例题与解题策略（）2典型例题2问题从11人中选5人组成队伍，若某人必须入选，组合数如何变化？解析当某人（不妨设为A）必须入选时，问题转化为

1.先确定A必须选入

2.然后从剩余10人中选出4人思路总结第二章组合典型例题与解题策略（）3典型例题3问题从11人中选5人组成队伍，若某人不能入选，组合数如何变化？解析思路比较当某人（不妨设为B）不能入选时，问题转化为从剩余10人中选出5人第二章组合典型例题与解题策略（）4典型例题4问题从11人中选5人组成队伍，某人不能入选，另一人必须入选，组合数？步骤二固定必选人员步骤一确定特殊条件先确定D已入选设C不能入选，D必须入选步骤四计算组合数步骤三从剩余人员中选择从剩余9人中选4人（不包括C和D）第二章组合典型例题与解题策略（）5解题策略总结确定特殊元素先选后排思想分类计数识别问题中的特殊条件（必须选、不能选对于涉及顺序的问题，先确定选哪些元素将问题分解为几种互不重叠的情况等）再考虑这些元素的排列方式分别计算每种情况的方案数先处理这些特殊条件，将问题简化总方案数=组合数×排列数最后将所有情况的方案数相加第二章组合典型例题与解题策略（）6练习题问题从7种不同花中选3种，若两种葵花不能同时选，问有多少种组合？解析提示分类计数法将问题分为三种情况

1.不选葵花从5种非葵花中选3种

2.选第一种葵花从剩余5种非葵花中再选2种

3.选第二种葵花从剩余5种非葵花中再选2种总方案数=C5,3+C5,2+C5,2第二章组合典型例题与解题策略（）7组合与排列混合问题问题特点例题既要考虑选哪些元素（组合），又要考虑这些元素的顺序（排列）先从10人中选出3人，再对这3人进行排序（分配一二三等奖），求总方案数解题思路解析•选3人C10,3=120•先用组合确定要选的元素•排3人P3,3=3!=6•再用排列确定这些元素的顺序•运用乘法原理计算总方案数第二章小结组合问题常见变形解题思路与策略典型例题回顾•必须选入特定元素•分类计数法•基本组合计数•不能选入特定元素•分步计数法•必选/不选条件•特定元素不能同时选•先选后排思想•复合条件•组合与排列混合•特殊条件处理法•混合计数问题第三章组合的实际应用（）1组合在概率中的应用例题从6白球和5红球中选4球，求选中2白2红的概率步骤一确定总样本空间从11个球中选4个的所有可能组合步骤二计算符合条件的方案数选2白球的方案数C6,2=15选2红球的方案数C5,2=10步骤三计算概率第三章组合的实际应用（）2组合在生活中的应用餐饮选择团队组建比赛抽签•套餐组合选择•学校班委会选举•彩票号码组合•多菜一荤的点餐方式•公司项目团队组建•比赛对阵表生成•自助餐食物搭配•运动队员选拔第三章组合的实际应用（）3复杂条件下的组合问题例题在一场文艺晚会中，有4个舞蹈节目和3个音乐节目需要安排，要求舞蹈节目不能连续出现，求不同安排数分析思路解题方法关键在于理解舞蹈节目不能连续这一限制条件考虑将舞蹈节目插入到音乐节目之间可以将所有节目看作一个排列问题，但需要考虑特殊限制•3个音乐节目共有4个可插入位置（前、中间两处、后）首先确定总共有7!种排列方式，然后排除掉不符合条件的情况•需要将4个舞蹈节目分配到这4个位置第三章组合的实际应用（）4组合问题中的插空法与捆绑法插空法捆绑法适用场景需要将元素插入到特定位置适用场景某些元素需要捆绑在一起考虑•首先确定空位的数量和位置•将需要绑定的元素视为一个整体•然后计算将元素插入这些空位的方案数•减少排列组合的总元素数•常用于处理不相邻类型的问题•最后再计算绑定元素内部的排列方式第三章组合的实际应用（）5环形排列与组合问题环形排列是指在圆周上的排列，其特点是只考虑相对位置，不考虑起点例题8人围桌而坐，有多少种不同坐法？解析在环形排列中，由于旋转后的排列被视为相同排列，因此本题中第三章组合的实际应用（）6多排排列组合问题例题在一个教室里，前后两排各有5个座位，10名学生需要就座，要求某两位同学不能同时坐在前排，求不同安排方式的总数总体方案数不符合条件的情况最终结果不考虑限制条件时，总方案数为特定两位同学（设为A、B）同时在前排的方案数符合条件的方案数=总方案数-不符合条件的方案数第三章组合的实际应用（）7重复元素组合问题例题计算单词MISSISSIPPI中字母的不同排列数分析解法这个单词包含的字母对于包含重复元素的排列，公式为•M1个•I4个•S4个其中n是总元素个数，n₁,n₂,...,nₖ是各重复元•P2个素的出现次数总长度为11个字母第三章组合的实际应用（）8组合问题的分类计数与分步计数综合应用12分类计数法分步计数法将问题分解为若干个互斥的子问题将问题按照解决步骤分解各子问题的方案数之和即为总方案数各步骤方案数之积即为总方案数关键是确保各类别不重不漏基于乘法原理，每一步都是独立的3综合应用复杂问题往往需要综合运用两种方法先分类后分步，或先分步后分类根据具体问题特点灵活选择第三章组合的实际应用（）9组合问题的排除法与反向计数有些组合问题直接计算符合条件的方案数较为复杂，可以考虑用排除法或反向计数例题从1到20中选择5个数，使得它们的和不小于70，求方案数解析反向计数法

1.计算总的选择方式C20,5=

155042.计算和小于70的选择方式（较为复杂）

3.用总数减去不符合条件的方案数第三章组合的实际应用（）10组合问题的数学思想与模型构造问题转化模型构造将复杂问题转化为已知问题将实际问题抽象为数学模型利用等价关系简化计算识别关键元素和约束条件条件分析分析条件的本质含义找出隐含的数学关系解题策略结构识别选择合适的计数方法灵活应用组合公式识别问题中的数学结构利用已知结构的性质第三章综合训练（）1练习题1从10幅画中选4幅挂在一条直线上，其中有3幅是水彩画，7幅是油画要求水彩画不在两端，且同类画连在一起，求组合数思路分析解题过程这道题包含多个条件情况一全部选油画

1.从10幅画中选4幅方案数C7,4=

352.水彩画不能在两端情况二全部选水彩画（不满足条件，因为水彩

3.同类画必须连在一起画不能在两端）关键是理解同类画连在一起意味着只有两种可情况三水彩画和油画各选一部分，且连在一起能的排列方式•选2幅水彩画、2幅油画C3,2×C7,2=3ו全是同一类画21=63•前面是一类画，后面是另一类画•选1幅水彩画、3幅油画C3,1×C7,3=3×35=105第三章综合训练（）2练习题25男5女排成一排，要求男生相邻，女生相邻的排列数是多少？思路分析要使男生相邻，女生相邻，意味着所有男生必须连在一起，所有女生也必须连在一起解题过程

1.将所有男生看作一个整体，所有女生看作一个整体

2.这两个整体的排列方式有2!=2种（男生在前或女生在前）

3.男生内部的排列方式有5!=120种

4.女生内部的排列方式有5!=120种

5.根据乘法原理，总排列数=2×5!×5!=2×120×120=28800答案第三章综合训练（）3练习题38人排成两排，前排4人，后排4人要求前排和后排不能有人对齐（即前后排人员构成的4对均不能由同性别组成），求不同的排列方式总数分析特殊条件关键在于理解前后排不能有人对齐的含义排除同性别对齐的情况计算总体方案数不考虑限制条件时计算不满足条件的方案数使用容斥原理，考虑所有可能的对齐情况需要分类讨论并计算每种情况的方案数得出最终结果第三章综合训练（）4练习题4在一个班级中有7男5女，从中选3人参加比赛，求选中全女生的概率思路分析解题过程这是一个基于组合的概率问题，需要计算

121.总的选择方式数量

2.选中全女生的方式数量总人数

3.计算概率=选中全女生的方式数/总的选择方式数7男5女共12人220总选法C12,3=220种10全女生选法C5,3=10种1/22概率结语组合问题是数学与生活紧密结合的桥梁知识总结能力提升•掌握了组合的基本定义与公式通过学习组合数学，我们培养了•理解了组合问题的多种变形•系统分析问题的能力•学习了各类解题策略与方法•逻辑推理与数学建模能力•探索了组合在实际生活中的应用•解决实际问题的应用能力•创新思维与发散思考能力。