认识方程教学课件

认识方程目录方程的应用与练习方程的解与检验方程的概念掌握什么是方程的解，以及如何验证一个数了解方程的基本定义、组成部分及其在数学是否为方程的解中的重要地位第一章方程的初识什么是方程？方程是含有未知数的等式当未知数取某个特定值时，使等式成立方程的核心特征含有未知数（通常用字母表示）•有等号连接左右两边的表达式•未知数有确定的值使等式成立•方程的组成表达式未知数等号方程的左右两边各有一个表达式，可以包含用字母表示的数值，需要求解的对象连接左右两边表达式，表示两边的值相等数字、未知数及其运算常见字母、、、、、等等号是方程的核心标志x yz am n例如和3x+722生活中的方程场景方程不仅存在于课本中，它们在我们的日常生活中无处不在购物结算单购买件商品，每件元，总共花费元x1590可以写成方程15x=90时间和距离汽车以每小时公里的速度行驶小时，行驶了公里v2140可以写成方程×v2=140几何问题长方形的周长为厘米，宽为厘米，长为厘米203x方程的意义一切问题都可以转化为方程问题法国数学家笛卡尔——方程是数学语言的精髓，它将复杂的问题转化为简洁的数学表达方程的重要性是解决实际问题的强大工具•构成更高级数学的基础•培养逻辑思维和分析能力•帮助理解世界的运行规律•例题引入问题上海到北京的高铁原来需要小时到达由于技术提升，现在速度增加了，使得行程时间缩短了分钟请问现在从上海到北京需要多少小时？549分析过程设新的运行时间为小时

1.x原来运行时间为小时

2.5缩短的时间为分钟，即小时

3.

490.82列出方程

4.x+

0.82=5小组合作请分组讨论以下问题，尝试使用方程表示123购物问题几何问题投篮比赛小红购买了若干瓶水和若干支笔，共花费76元每瓶水3元，每支笔2元一个长方形被分割成一个正方形和一个小长方形正方形的边长为a厘米，长方形的长为12厘米，宽为小明参加投篮比赛，投进一球得3分，投失一球扣1分他一共投了20次球，最终得了40分任务设水瓶数为m，笔数为n，列出方程5厘米任务列出关于a的方程提示总花费=水的总价+笔的总价观察与讨论思考刚才我们列出的各种等式有什么共同点？共同点•3m+2n=76都含有未知数（、、、）•m na xוa+12-a5=60都有等号连接左右两边••3x-20-x=40都在描述一种数量关系•请讨论这些等式的特点，并总结方程的定义第二章方程的解与检验什么是方程的解？方程的解是指使方程左右两边相等的未知数的值对于方程a²+2a=15:当时×✓•a=33²+23=9+6=15当时×✓•a=-5-5²+2-5=25-10=15因此，和都是这个方程的解a=3a=-5从几何角度看，方程的解就是相应函数图像的交点坐标多未知数方程的解对于含有多个未知数的方程，解通常是数对或数组示例3m+7n=76这个方程有多组解，例如m n验证2103×2+7×10=6+70=76✓683×6+7×8=18+56=74✗973×9+7×7=27+49=76✓所以，m,n=2,10和9,7都是该方程的解对于一个未知数的方程，解是一个数；对于两个未知数的方程，解是一个数对；依此类推检验方法判断一个数是否为方程的解，需要将该数代入方程，检验左右两边是否相等例题判断和是否为方程的解a=-5a=4a²+2a=15解答代入左边×右边a=-5=-5²+2-5=25-10=15=15左右两边相等，所以是方程的解a=-5代入左边×右边左右两边a=4=4²+24=16+8=24=15不相等，所以不是方程的解a=4检验方程解时，一定要仔细计算，确保代入后的表达式计算无误检验方程解是确认我们求解是否正确的重要步骤练习题判断以下哪些是方程，并指出未知数检验以下数是否为给定方程的解

1.3x+7=

221.方程3-x=2x，检验x=

12.y-

5102.方程y²=5y，检验y=0和y=

53.2a²=

183.方程2m-7=3，检验m=

54.5+3=

85.m+n=10估计与尝试检验当我们不知道方程的解时，可以通过估计和尝试来寻找可能的解例题找出方程的解x²=3x+4我们可以通过表格来估计解的范围x x²3x+4比较117左右2410左右3913左右41616左=右✓52519左右通过尝试，我们发现x=4是方程的一个解例题讲解12判断方程检验方程解判断以下哪些是方程，并指出未知数检验和是否为方程的解x=-1x=-26x+1=4x-3（是方程，未知数为）代入

1.3x=4x x=-1（是方程，未知数为）

2.1-a²=0a左边×=6-1+1=-6+1=-5（不是方程，没有未知数）

3.5+7=12右边×=4-1-3=-4-3=-7（不是方程，是不等式）

4.y+37左右两边不相等，不是方程的解x=-1代入x=-2左边×=6-2+1=-12+1=-11右边×=4-2-3=-8-3=-11左右两边相等，是方程的解x=-2解题技巧总结解方程的基本技巧

1.确定未知数可能的取值范围

2.有针对性地选择尝试的值

3.逐一代入检验

4.通过表格或图像辅助分析这种猜测-检验的方法是解决方程的重要手段，特别是在学习方程解法之前第三章方程的应用与练习掌握方程的解法，应用方程解决实际问题解方程的基本步骤移项合并同类项将方程中的项从一边移到另一边，同时改变符号将方程中的同类项合并，简化方程例如移项后变为例如合并后变为x+5=8x=8-53x+2x=105x=10乘除运算检验通过乘法或除法解出未知数将解代入原方程，验证是否成立例如两边同除以得确认所得解是否满足原始条件5x=105x=2掌握这些基本步骤，可以解决大多数一元一次方程例题演示例解方程例解方程18x=2424+x=10解答解答

1.原方程8x=

241.原方程4+x=

102.两边同除以8x=24÷

82.移项x=10-

43.计算得x=

33.计算得x=6检验将x=3代入原方程8×3=2424=24✓检验将x=6代入原方程4+6=1010=10✓因此，x=3是方程的解因此，x=6是方程的解含有多个未知数的方程例题解方程练习解方程3a+2a=25a+4a-5=30解答解答

1.合并同类项3+2a=

251.合并同类项1+4a-5=

302.简化5a=

252.简化5a-5=

303.两边同除以5a=

53.移项5a=30+5=

354.检验3a+2a=3×5+2×5=15+10=25✓

4.两边同除以5a=7因此，a=5是方程的解

5.检验a+4a-5=7+28-5=30✓因此，a=7是方程的解解含有多个相同未知数的方程时，关键是先合并同类项，将方程简化实际问题建模问题一个长方形的周长为36厘米，长比宽的2倍多3厘米，求长方形的长和宽分析与建模

1.设长方形的宽为x厘米

2.根据长比宽的2倍多3厘米，长=2x+

33.长方形周长公式2×长+宽=

364.代入得2×[2x+3+x]=

365.化简2×3x+3=

366.计算6x+6=

367.移项6x=36-6=

308.求解x=5生活中的方程应用购物预算1小明有元，想买价格为元的书和价格为元的笔记本，最多可以买多少本书？120x15方程x·n+15≤120比赛得分2篮球比赛中，投中三分球个，二分球个，罚球个，总得分为分a bc85方程3a+2b+c=85时间距离3汽车以每小时公里的速度行驶小时，共行驶了公里v3210方程×v3=210混合问题4将浓度为的盐水克与浓度为的盐水克混合，得到浓度为的盐水30%x10%50015%方程×××30%x+10%500=15%x+500方程使我们能够将复杂的实际问题转化为简洁的数学模型，从而找到解决方案课堂练习精选基础练习应用练习

1.判断下列哪些是方程

1.小红的年龄是小明的3倍少2岁，两人年龄之和是26岁，求小红和小明各多少岁？•5x-3=

122.一个长方形的周长是32厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的长和宽•y+

2103.老师准备了若干个苹果分给30名学生，每人分得3个，还剩下6个老师一共准备了多少个苹果？•2a-1=3a+4•3+2=

52.解下列方程•2x+5=13•3y-8=7•5m+2=35课后作业布置必做题选做题

1.判断下列各式是否为方程，并指出未知数

1.一个长方形的面积是48平方厘米，周长是28厘米，求这个长方形的长和宽•3x+4=

102.两个数的和是25，它们的差是7，求这两个数•5×4=20挑战题一个三位数，百位数字比十位数字大2，个位数字是十位数字的3倍，三个数位上的数字之和是15求这个三位数•y-38•2m+5m=

282.解下列方程•x+8=15•3y=24•4z-5=19•2a+3=16列方程解应用题小明存了一笔钱，第一个月用去存款的1/4，第二个月又用去剩余的1/3，还剩600元小明原来存了多少钱？请在下次课前完成必做题，选做题可以根据自己的情况选择完成知识点回顾方程组成方程定义表达式、未知数、等号方程是含有未知数的等式左右两边相等是方程的特点例如3x+7=22方程的解使方程左右两边相等的未知数值通过代入检验方程解的正确性方程应用解题步骤将实际问题转化为方程通过方程求解实际问题移项、合并同类项、乘除法解未知数解方程后要进行检验掌握这些核心知识点，是学习方程的基础学习小结方程的重要性方程是数学建模的基础工具•方程帮助我们将复杂问题简化•方程是学习代数的重要阶段•方程思想贯穿整个数学学习•核心能力培养掌握列方程的能力•理解并检验方程解的方法•应用方程解决实际问题•学习方程不仅是掌握一种解题技巧，更是培养一种思维方式通过本次学习，我们了解了方程的基本概念、方程的解与检验方法，以及方程的简单应用这些知识将为我们后续学习更复杂的方程奠定基础拓展思考方程与不等式方程要求左右两边相等，而不等式表示大小关系例如（方程）和（不等式）x+3=7x+37简单方程向复杂方程过渡一元一次方程一元二次方程多元方程方程组→→→方程的复杂度增加，但基本思想相同方程在科学工程中的应用物理学中的运动方程、化学中的反应方程式工程学中的力学方程、经济学中的供需方程高等数学中的方程微分方程、积分方程、矩阵方程等方程思想贯穿整个数学体系随着学习的深入，我们将接触到更多类型的方程，但解决问题的基本思路是相通的谢谢聆听方程数学世界的神奇钥匙我们期待你能数学是科学的女王，而方程是数学的灵魂理解方程的基本概念•欢迎同学们提出问题，分享学习心得！掌握方程的解法和检验方法•后续我们将学习更多关于方程的知识，共同探索数学的奥秘应用方程解决生活中的实际问题•培养数学思维和建模能力•。