数学奥赛培训课件

数学奥赛培训课件课程内容总览123代数基础与技巧数论核心知识组合计数方法掌握恒等式、多项式、方程和不等式的核心学习整除性、素数、最大公约数等数论基理解组合数学的基本原理，掌握计数技巧，技巧，提升代数解题能力础，解决整数性质相关问题解决排列组合问题45几何问题解析典型题目精选与训练学习平面几何、几何变换、坐标几何与向量，增强空间想象能力第一章代数基础与技巧代数中的基本恒等式完全平方公式因式分解技巧•$a+b^2=a^2+2ab+b^2$•提取公因式$ax+ay+az=ax+y+z$•$a-b^2=a^2-2ab+b^2$•分组因式$ac+ad+bc+bd=a+bc+d$•$a+b^2-a-b^2=4ab$•十字相乘法立方公式•公式法利用平方差、完全平方公式等•$a+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$•$a-b^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$•$a^3+b^3=a+ba^2-ab+b^2$多项式与方程根与系数关系求根技巧对于$ax^2+bx+c=0$，若$x_1$、$x_2$为其根，则面对复杂方程，可考虑以下策略•$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$•换元法将复杂表达式替换为新变量•$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$•分解法将高次方程分解为低次方程的乘积韦达定理利用根与系数的关系高次方程类似对于，若•$x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n=0$$x_1,x_2,...,x_n$为其根，则•整数根判别法若$Px$有有理根$\frac{p}{q}$（最简分数），则是常数项的因子，是最高次项系数的因子$p$$q$•$\sum x_i=-a_1$•$\sum_{i•$\prod x_i=-1^n a_n$不等式初探代数典型题解析经典题目寻找特殊多项式训练题目求解代数不等式问题求多项式的所有系数，问题对于所有正实数，证明$Px=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$$a,b,c$$\frac{a^3}{bc}+已知$P1=P2=P3=P4=0$\frac{b^3}{ac}+\frac{c^3}{ab}\geq3$解析思路解题思路根据条件，应用算术几何平均不等式

1.$Px=x-1x-2x-3x-4$

1.-展开得设

2.$Px=x^4-10x^3+35x^2-50x+24$

2.$\frac{a^2}{bc}=x,\frac{b^2}{ac}=y,\frac{c^2}{ab}=z$因此注意到，利用

3.$a=-10,b=35,c=-50,d=24$

3.$xyz=1$$\frac{x+y+z}{3}\geq\sqrt

[3]{xyz}=1$进一步推导得

4.$\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ac}+启示当多项式的根已知时，因式分解是最直接的求解方法\frac{c^3}{ab}\geq3$第二章数论核心知识数论研究整数性质，是奥赛中重要的考察方向，掌握其中的规律将帮助你破解各类整数问题整除性与带余除法唯一商余定理整除性质同余理论对于任意整数和正整数，存若且，则如果除以的余数等于$a$$b$•$a|b$$a|c$$a$$m$$b$在唯一的整数和，使得，其中为任除以的余数，则称与$q$$r$$a|bx+cy$$x,y$$m$$a$$b$意若整数且，则对模$m$同余，记作$a\equiv b，其中•$a|b$$b|c$$a|c$$a=bq+r$$0\leq rb$\pmod{m}$（整除的传递性）这里称为商，称为余数此$q$$r$若且，则同余关系具有以下性质•$a|b$$a|c$定理是整除理论的基础，其中表示$a|b,c$$b,c$反身性•$a\equiv a\pmod{m}$的最大公约数$b,c$对称性若•$a\equiv b若且，则•$a|bc$$a,b=1$，则\pmod{m}$$b\equiv a（互质条件下的整除性）$a|c$\pmod{m}$传递性若•$a\equiv b且\pmod{m}$$b\equiv c，则\pmod{m}$$a\equiv c\pmod{m}$素数与质因数分解最大公约数与最小公倍数辗转相除法求解两个整数$a$和$b$的最大公约数的经典算法

1.若$b=0$，则$a,b=a$

2.否则，$a,b=b,a\bmod b$例如，求$48,18$$48=18\times2+12$$18=12\times1+6$$12=6\times2+0$所以$48,18=6$裴蜀定理对于整数$a$和$b$，存在整数$x$和$y$使得$ax+by=a,b$特别地，当$a$和$b$互质时，存在整数$x$和$y$使得$ax+by=1$这一定理可以扩展到多个整数的情况，是解决线性丢番图方程的基础最大公约数的性质•$a,b=b,a$•$a,b=a,b-a$•若$d|a$且$d|b$，则$d|a,b$•$a,b\times[a,b]=a\times b$，其中$[a,b]$表示最小公倍数最小公倍数两个整数$a$和$b$的最小公倍数$[a,b]$是能同时被$a$和$b$整除的最小正整数计算公式$[a,b]=\frac{a\times b}{a,b}$扩展到多个数$[a_1,a_2,...,a_n]=[a_1,[a_2,[a_3,[...[a_{n-1},a_n]...]]]]$数论典型题解析经典题目同余方程训练题目丢番图方程问题求解同余方程$3x\equiv5\pmod{7}$问题求解丢番图方程$5x+7y=1$解析解题思路

1.将方程转化为$3x=5+7k$，其中$k$为整数

1.使用扩展欧几里得算法

2.两边同乘$3$的乘法逆元（模$7$下为$5$）

2.$5\times-1+7\times1=2$

3.得到$x\equiv5\times5\equiv4\pmod{7}$

3.$2\times3+5\times-2=1$

4.所以通解为$x=4+7t$，其中$t$为整数

4.合并得$5\times-7+7\times5=1$

5.所以特解为$x_0=-7,y_0=5$

6.通解为$x=-7+7t,y=5-5t$，其中$t$为整数数论问题解题提示寻找数的结构特征是解决数论问题的关键灵活运用质因数分解、同余性质和丢番图方程技巧，可以大大简化复杂问题在实践中，多关注余数的规律和整除性质第三章组合计数方法组合数学研究离散结构的计数问题，是解决奥赛中排列组合类题目的理论基础基础计数原理加法原理乘法原理若一个事件可以通过$n$种方式完成，另一个事件可以通过$m$种方式完若一个事件由$n$个步骤完成，第一步有$m_1$种方法，第二步有$m_2$成，且这两个事件不能同时发生，则这两个事件共有$n+m$种完成方式种方法，...，第$n$步有$m_n$种方法，则完成整个事件共有$m_1\times m_2\times...\times m_n$种方法例如从一个班级中选一名学生担任班长，可以从男生中选，也可以从女生中选若有15名男生和20名女生，则有$15+20=35$种选择方式例如从5本不同的书中选3本，并排成一列，共有$C_5^3\times3!=10\times6=60$种方法排列组合从$n$个不同元素中取出$r$个元素进行排列，排列数为从$n$个不同元素中取出$r$个元素，不考虑顺序，组合数为$P_n^r=\frac{n!}{n-r!}=nn-1n-

2...n-r+1$$C_n^r=\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!n-r!}$特别地，$n$个不同元素的全排列数为$n!$组合数的性质•$C_n^r=C_n^{n-r}$•$C_n^r+C_n^{r-1}=C_{n+1}^r$（杨辉三角递推式）•$\sum_{i=0}^{n}C_n^i=2^n$容斥原理与鸽巢原理容斥原理鸽巢原理对于有限集合$A_1,A_2,...,A_n$，它们并集的元素个数为基本形式如果$n+1$个物体放入$n$个盒子，那么至少有一个盒子包含至少2个物体推广形式如果$kn+1$个物体放入$n$个盒子，那么至少有一个盒子包含至少$k+1$个物体应用例题证明任意$n+1$个整数中，必然存在两个数，它们的差能被$n$整除容斥原理常用于计算满足多个条件之一的对象数量证明思路考虑这$n+1$个数除以$n$的余数，余数可能的取值只有$0,1,...,n-1$共$n$种，根据鸽巢原理，必有两个数的余数相同，它们的差即为$n$例如计算1到100中不是

3、

5、7的倍数的数的个数的倍数递推与生成函数简介递推关系生成函数基础常见生成函数递推关系定义了数列中元素之间的关系，是解对于数列$\{a_n\}$，其普通生成函数为几何级数$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+决组合计数问题的重要工具x^3+...$$Gx=a_0+a_1x+a_2x^2+...=例如，斐波那契数列的递推关系$F_n=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$二项式展开$1+x^n=\sum_{k=0}^{n}F_{n-1}+F_{n-2}$，其中$F_1=F_2=\binom{n}{k}x^k$生成函数的操作与组合对象的操作对应1$常见的解递推关系的方法指数函数$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}加法对应集合的并•\frac{x^n}{n!}$特征方程法•乘法对应集合的笛卡尔积•这些生成函数常用于解决排列组合和递推关系生成函数法•代入对应组合结构的嵌套•问题矩阵快速幂•生成函数是处理复杂组合计数问题的强大工具，它将组合问题转化为代数问题，使得一些难以直接计算的组合数可以通过代数运算求解组合题目精选典型题目棋盘覆盖训练题目组合恒等式问题在一个$8\times8$的棋盘中，任意去掉一格，问剩下的$63$格能否用$1\times2$的骨牌覆盖（骨牌不能重叠且不能超出棋盘）？问题证明$\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}=n\cdot2^{n-1}$解析思路解题思路

1.将棋盘染色为黑白相间的格子

1.利用组合恒等式$k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}$

2.正常情况下，黑白格子各32个

2.代入得$\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}=n\sum_{k=1}^{n}\binom{n-1}{k-1}$

3.任意去掉一格后，黑白格子数量必定不同

3.令$j=k-1$，得$n\sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}$

4.每个骨牌必定覆盖1个黑格和1个白格

4.利用$\sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}=2^{n-1}$

5.所有骨牌覆盖的黑白格数量必须相等

5.最终得到$\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}=n\cdot2^{n-1}$

6.结论无法用骨牌完全覆盖组合问题解题技巧寻找规律和对称性是解决组合问题的关键注意分析问题中的计数对象特征，灵活运用加法、乘法原理，必要时结合容斥原理处理重复计数情况对于复杂问题，尝试建立递推关系或使用生成函数第四章几何问题解析几何思维是数学竞赛的重要组成部分，掌握几何问题的解决策略将显著提升解题能力平面几何基础三角形性质四边形性质圆与角的关系•内角和为$180°$•内角和为$360°$•圆心角$\theta$对应的弧长$l=r\theta$（弧度制）•任意两边之和大于第三边•平行四边形对边平行且相等，对角相等•圆心角是同弧上的圆周角的2倍•正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中$R$•矩形四个角都是直角的平行四边形•同一弧上的圆周角相等为外接圆半径•菱形四条边相等的平行四边形•半圆内的圆周角是直角•余弦定理$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$•梯形一组对边平行的四边形•切线与半径垂直•面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ah=\sqrt{ss-as-bs-c}$，其•内接四边形四个顶点在同一圆上，对角互补•两条切线长度相等中$s=\frac{a+b+c}{2}$几何变换基本几何变换相似与全等•平移将图形沿着某一方向移动一定距离全等三角形的判定•旋转将图形绕某一点旋转一定角度•边-边-边SSS•对称轴对称（关于直线）和中心对称（关于点）•角-边-角ASA•缩放按一定比例扩大或缩小图形•边-角-边SAS几何变换保持图形的某些性质不变，是解决几何问题的重要工具•直角三角形斜边-直角边HL相似三角形的判定•角-角AA•边-边-边SSS对应边成比例•边-角-边SAS对应边成比例且夹角相等平移旋转保持图形的形状、大小和方向保持图形的形状和大小对称缩放保持图形的形状和大小保持图形的形状和角度坐标几何与向量坐标系中的几何问题向量基础点的坐标$x,y$向量$\vec{a}=a_x,a_y$两点距离$d=\sqrt{x_2-x_1^2+y_2-y_1^2}$向量长度$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$直线方程向量运算•一般式$Ax+By+C=0$•加法$\vec{a}+\vec{b}=a_x+b_x,a_y+b_y$•点斜式$y-y_0=kx-x_0$•数乘$\lambda\vec{a}=\lambda a_x,\lambda a_y$•斜截式$y=kx+b$•点积$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x+a_y b_y=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$•两点式$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$•叉积$\vec{a}\times\vec{b}=a_x b_y-a_y b_x=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$圆的方程$x-a^2+y-b^2=r^2$向量的几何意义•点积为0表示两向量垂直•叉积的绝对值表示由两向量构成的平行四边形的面积•叉积的符号表示两向量的相对方向（顺时针或逆时针）几何典型题解析经典题目四点共圆训练题目几何构造问题证明四边形$ABCD$的四个顶点在同一个圆上的充要条件是对角互补，即$\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180°$问题给定直线$l$和直线外一点$P$，仅用直尺作$P$点到直线$l$的垂线解析思路解题思路

1.在圆上，同弧上的圆周角相等

1.在$l$上任取两点$A$、$B$

2.互补弧上的圆周角互补（和为180°）

2.以$P$为圆心，适当半径作圆，交$l$于$C$、$D$

3.对于圆上四点$A$、$B$、$C$、$D$，$\angle A$和$\angle C$是互补弧上的圆周角

3.连接$PC$、$PD$

4.因此$\angle A+\angle C=180°$，同理$\angle B+\angle D=180°$

4.作$CD$的中垂线，即为所求垂线这一构造利用了等腰三角形的性质，展示了纯几何方法的优雅几何问题解题技巧尝试使用辅助线、辅助圆，寻找相似三角形，应用向量分析有时，变换视角或引入坐标系能简化问题注意特殊点（内心、外心、垂心、重心）和特殊线（中线、高线、角平分线）的性质第五章典型题目精选与综合训练通过综合性题目训练，提升解题能力，培养数学直觉，为竞赛实战做好准备代数综合题目题目一函数性质探究题目二代数恒等式问题设$fx=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为实数且$a\neq0$已知问题证明对任意实数$a,b$都有$a^2+b^2^2\geq4a^2b^2$，并讨论等号$f1=f3=f5$，求$f2+f4$成立条件解题思路解题思路

1.设$f1=f3=f5=m$

1.$a^2+b^2^2-4a^2b^2=a^2-b^2^2\geq0$

2.则$fx-m=ax-1x-3x-5$

2.当且仅当$a^2=b^2$时等号成立

3.展开得$fx=ax^3-9x^2+23x-15+m$

3.即$a=\pm b$时等号成立

4.比较系数得$fx=ax^3-9ax^2+23ax-15a+m$这个不等式实际上是算术-几何平均不等式的平方形式

5.计算$f2=2a-36a+46a-15a+m=-3a+m$

6.计算$f4=64a-144a+92a-15a+m=-3a+m$

7.因此$f2+f4=-6a+2m=2m-3a$解题策略常见误区代数问题解题关键•忽略定义域限制•不关注等号成立条件

1.寻找表达式的特殊结构（如完全平方式、因式分解）•丢失解或引入额外解

2.利用基本不等式•运算错误（如展开乘积、求导等）

3.考虑特殊值（如极值点、零点）

4.建立方程组或函数方程数论综合题目题目一同余方程组题目二整数性质问题求解同余方程组问题证明对任意正整数$n$，$n^3+2n$能被$3$整除•$x\equiv2\pmod{3}$解题思路•$x\equiv3\pmod{5}$

1.考虑$n$除以$3$的余数•$x\equiv2\pmod{7}$

2.当$n\equiv0\pmod{3}$时，$n=3k$，则$n^3+2n=27k^3+6k=解题思路39k^3+2k$，能被$3$整除

3.当$n\equiv1\pmod{3}$时，$n=3k+1$，则$n^3+2n=3k+1^3+23k+1=

1.使用中国剩余定理27k^3+27k^2+9k+1+6k+2=39k^3+9k^2+5k+3=39k^3+9k^2+5k+1$，能被$3$

2.计算$M=3\times5\times7=105$整除

4.当$n\equiv2\pmod{3}$时，$n=3k+2$，类似可证能被$3$整除

3.$M_1=\frac{M}{3}=35,M_2=\frac{M}{5}=21,M_3=\frac{M}{7}=15$

5.综上，对任意正整数$n$，$n^3+2n$都能被$3$整除

4.求$M_i$关于$m_i$的乘法逆元$35\cdot2\equiv1\pmod{3}$，$21\cdot1\equiv1\pmod{5}$，$15\cdot1\equiv1\pmod{7}$

5.$x=2\cdot35\cdot2+3\cdot21\cdot1+2\cdot15\cdot1\bmod105=233\bmod105=23$数论综合题目通常需要灵活运用同余性质、整除性质、同余方程解法等技巧关键是要分析数的结构，寻找规律，并善于利用数论中的经典定理组合与几何综合题目组合几何混合题几何概率题问题在平面上有$n$个点，其中没有三点共线这些点能确定多少个不同问题在边长为$1$的正方形内随机选择一个点，求该点到正方形四个顶点的的三角形？距离之和的期望解题思路解题思路

1.每个三角形由三个点确定

1.设正方形的四个顶点为$0,0$,$1,0$,$0,1$,$1,1$

2.从$n$个点中选择$3$个点的方法数为$C_n^3=\frac{nn-1n-2}{6}$

2.随机点坐标为$x,y$，其中$0\leq x,y\leq1$

3.由于没有三点共线，所以任意三点都能确定一个三角形

3.到四个顶点的距离之和为$fx,y=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{1-

4.因此，共有$C_n^3=\frac{nn-1n-2}{6}$个不同的三角形x^2+y^2}+\sqrt{x^2+1-y^2}+\sqrt{1-x^2+1-y^2}$

4.计算二重积分$\int_0^1\int_0^1fx,y dxdy$

5.通过对称性简化计算组合问题解题策略几何问题解题策略综合题目建议•分类讨论将复杂问题分解为简单情况•作辅助线引入辅助元素简化问题•多角度思考同一问题尝试不同方法•递推关系建立递推方程并求解•坐标方法引入坐标系代数化处理•寻找模式归纳总结解题规律•容斥原理处理重复计数•向量方法利用向量运算•建立联系联系已知理论和定理•生成函数转化为代数问题•变换方法使用几何变换•简化复杂问题从特殊情况入手竞赛策略与心态调整时间管理技巧•快速浏览所有题目，先解容易题•设定时间限制，避免在单题上花费过多时间•每道题预留检查时间•困难题先尝试部分得分策略•将思路记录下来，即使暂时无法完成解题心态•保持冷静，不被难题影响情绪•相信自己的能力，保持自信•转换思路，换个角度看问题•适当休息，让思维保持清晰•记住成功经验，建立积极反馈竞赛中，心理素质与知识储备同等重要优秀的心态能帮助你在压力下保持最佳状态，充分发挥自己的实力竞赛常见误区与避免方法计算错误过于依赖公式问题在复杂计算中出现符号错误、代数运算错误等问题机械套用公式而不理解其背后原理，遇到变形题无法应对解决方法养成仔细检查的习惯，学习简化计算的技巧，通过多种方法验证结果解决方法深入理解每个公式的推导过程和适用条件，培养举一反三的能力时间分配不当忽略边界条件问题在单一题目上花费过多时间，导致其他题目无法完成问题不考虑特殊情况或边界条件，导致结论不完整解决方法制定合理的时间计划，设置放弃点，适时转换到其他题目解决方法系统性思考，列出所有可能情况，特别关注极端或特殊情况提高准确率的技巧克服心理障碍

1.养成清晰书写习惯，避免因潦草字迹导致的错误竞赛中常见的心理障碍包括

2.解题过程中标注重要步骤，便于回溯和检查•考试焦虑通过充分准备和放松技巧缓解

3.利用估算验证结果的合理性•畏难情绪将难题分解为小步骤，逐个突破

4.尝试用不同方法解同一问题，交叉验证•挫折感正视失败，从错误中学习

5.总结常见错误类型，针对性强化•比较心理专注自身进步，避免不必要的比较资源推荐与学习路径经典书籍在线资源学习建议•《奥林匹克数学问题与解法》陈传理•中国数学奥林匹克网www.cmo.org.cn•从基础知识开始，打好数学根基•《数学竞赛中的不等式方法》汪林•北京数学会竞赛网www.matholympiad.org.cn•循序渐进，由易到难•《组合数学》卢开澄•洛谷www.luogu.com.cn•重视解题思路，不仅关注结果•《数论导引》夏道行•Art ofProblem Solvingwww.artofproblemsolving.com•坚持定期训练，培养数学直觉•《几何变换与几何不变量》张奠宙•International MathematicalOlympiad www.imo-official.org•参加模拟竞赛，锻炼实战能力•《数学奥林匹克小丛书》系列•与同学交流讨论，拓宽思路总结与展望0102夯实基础勤于实践数学竞赛的成功建立在扎实的基础知识之上通过系统学习代数、数论、数学能力的提升离不开大量的题目训练通过解决各类典型题目和挑战性组合数学和几何等领域的核心概念和解题技巧，培养良好的数学思维习问题，不断强化解题能力，提高解题速度和准确性惯0304创新思维持续学习竞赛数学不仅要求掌握已有知识，更需要创新思维和灵活应用培养多角数学学习是一个持续深入的过程保持对数学的热爱和探索精神，不断挑度思考问题的能力，学会用不同方法解决同一问题战自我，超越极限数学不仅是解题的工具，更是一种思维方式，它教会我们如何系统思考、逻辑推理、抽象概括这些能力将伴随你终身，无论未来从事何种职业希望本课程能够点燃你对数学的热情，培养你的竞赛思维，帮助你在数学奥林匹克的道路上不断进步期待你成为下一位数学奥林匹克冠军！。