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年山东省潍坊市统招专升本高数自考2021模拟考试（含答案）学校:班级:姓名:考号:
一、单选题（题）
201.Q关丁・函数y=
2.r+—（,r0）的单调性,下列描述正确的是（）a在（）内单调增加在［）内单调增加A.y
0.+S B.y
4.+8C.、在［4,+8）内单调减少D.y在（0,十8）内单调减少
2.设函数/x方程乎=2凸+2处的通解是的定义域QJCB,y=V是则[1,2],函数/1+A J.J2D.y=的定义域为A.y=eTJ JlnxC.v=CeT A，C1,1-ln2]设/2r*则八]=I=7乙厂r7+5
八、
6.r p7+
5.r
3.r
16.r28M+56/28d+57+5/已知向量Q.b的夹角为牛•且|Q|=
1.|b|=・则|Q+b|=A.5B.V5C.V2D.1+724匚答案］A_3加【精析】令/=；,则
①=，故/；=/⑺=---------------------------^-j—=6］•则fi、,厂十Lx LlLx।-/1285n7+勺_
6.r―28/+5・
5.B，［答案］B【精析】|8|」=a+b2=|-+|8+2•％=3+2・1,盒•挈=5,则|=而，故应选I Q+b B.
6.C［答案］C【精析】因于1,2=ktr,所以八/,2=/，故/］1,2=1；911又/
1.y=In—=ln2—liyy,所以f
1.v=—匚，故八
1.2=——,y yy从而dw=/.1,2di+//1,2dy=dr—［dv.故选C.
1.2Z
7.D
8.D［答案］89，:N收敛，故项绝对收敛；工故项发散;A lim=30,BSl-8/Z/+1y/2,
1.,级数上收敛，故，1，收敛，所以项绝对收敛；工上发42X C8散.！一11由莱布尼茨判别法知收敛，故项条件收敛.Dw=l3/-7-，犷M2，+4正仁武仁，2川+4仁/［答案］D【精析】方程两边同时对、r求导，/［11-x］♦⑵-3丁=
1.令w=则故应选1,/12•5=b/2=5,D.
9.D
510.B［答案］B【精析】j//.rcLr=卜=//l—Jyy J dz=I/1—/T+C.由于/1=we，故/z J—2,r+1eJ,・=、举
2、r+1e—j e*r+C=2x~e2,r+C.ll.B［精析］「,ri r2jr-1|dj=1—djr+-1d:rJC JCJ-2J i
12.C［答案］C【精析】令则辞=由格林公式得P=sini+y—
3.Q=cosy+—
7.6,^=L1dx dy］/=J6—1dwd,=5S°=5X2X1=10*D其中为四边形区域的面枳.D
13.D［答案］D【精析】令y=八则/=半=半・半=a%代入方程得UT Ayd.r Ay=〃*—力—p~=0,dy dj当p=0时，/=0•与已知条件不符.所以半一p=0•即亚=dy,oy P两边积分得/=G•把丁=•/=-1代入，得G=一八所以学=—e即5%=—G,两边积分得，一e-=一］+八把y=0代入,得仁=一1，,r-0所以一e二一一”一1,即方程特解为尸一InCr+
1.［答案］c9一［1二三（），一3W］W
3.【精析】因为对于函数丫应满足.i+20,=.r—2・i+2#1♦x工一1♦这三个不等式的公共解为-2V•〈一1或一1V.r
43.14r所以函数的定义域为（一2,—1）U（一1・31JL I•v.x
15.A［答案］A【精析】彳cos—d y=（ycos——.r\d.r整理可得cos—^=—cos上一1♦满足齐次微./u\J-/.r dr.r.r分方程索=八十）形式.所以项是齐次微分方程.A
16.A［答案1A.-a2二「i【精析】由题意可知lim------半=1♦即lim------=lim=
1.xfD ax*f0najr-o tiax-1=2,（〃=3,故J_1=J_1故选A.卜百.=21=［答案］A一1,〃+—1〃
1.11〃=丁+可rhm----------hm-------【精析】乙〃〃
17.A LL n-8n-
818.C［答案1C【精析】是工”的必要条件,故应选.选项中,需要求W；””为正项级一•lim“.=0C B］】«=4=数;选项D应改为若2|I收敛.则工心收敛.*1।»1—i
19.D［答案］D【精析】•所以/QLr=cd=2e=1c=E X=|/ickr=IJI］J sJ NJ—«5j jZ2f31]Q丁,所以一=2,EX=f xd.r=k*ckr=DX=E X[EX]=J jL3».-OP苧-•.故选及4=4O o
20.B[答案1B【精析】工hkr+1Lr=likrtlr+dr=x♦Ina—dw=Ina+C.J J JJ•CLJ*+
21.-【精析】lim
7.r=lim1—21=lim1—2x=e-2w lim/.r=lim e2+jr--x-*0，-•+x-*o+J-*0-•由于.且所以之=是/的第一类间断点.x=e lim/.r#lim/1/0=/,
0.r才-*0+T-*0-
22.、.-9jrarcsin3:r+3/—912dx一寿詈[答案]+3产工+,【精析】y=-18^arcsin
3.r+3八-9f=-9arcsin33—9xarcsin3x所以dy=2y1-9x2/一9」，1一9」
23.4r
224.4A［答案14A【精析】由于/，在［］上连续，所以|在——•+a连续•以冗为周期0J/I COM.FL为偶函数.则根据周期函数在任一周期上的积分相等以及偶函数的积分性质可得/=/|cos.r|cLr=21,f|cos.r|di=4|/|cos.r|dr=4A.=21+2y
30.［答案］y=2i+2lim=y,故在t=1处的切线斜率6=2,又当，=1时u=l,乙，Iy=4,则切精线方程为y—4=2%—1,即y=2%+
2.
26.［答案］arctan/*+C.、=、［精析］1d NI，■=arctan/J+C.J1+fXa1+/-1【精析】liniv/〃+1—、d v/〃V it—1JIT•••Jdv_dl_【精=
1.cLr dr析】d
27.1=limzAJ
28.-1［答案］-1,9【精析】/］=才+,令/得二
3./+63/,r=6«r+
6.r=0/.r0；^-1时Ji0・/-1=
9.所以/1的拐点为一1,
9.
29..2er-ld/”ez-Ddr【精析】lim2x e‘一1r.0_________=lim-------------=lim0arctan.z4L0XLO¥7d7dVd-
31.Y12+W・—•hn昌【精析】呵串）1=!山1+申=一「［答案］7【精析】
32.Y
33.N［答案］x【精析】•〉7一2才，・二丁=/一2,当才£［―5・一J2］时）,3r单调递增；当16一招,1］时V
0.5r单调递减.
34.Y【精析】:/（上）=sinjsA/（.r）在［a，a］上连续，在（a,）内可导，且/（大）=cos/.吗.即=cos^,sinZ—sina由拉格朗日中值公式得存在（叫力，使sSGb-a•〃一〃.COS^［答案］【精arcsin.r+C.析】
35.N
36.N［答案］x―亩产，/【精析】v=3；•
6.］故__g0+
3./,dv=——
6.rtan10+rtan
3./dn cos10+3r
37.Y［答案］7【精析】［/
（一）了=—/（—）.若/⑴为奇函数,则［/（—川了=［―）了=—/JQ（“所以一/（一.「）=一/（『）.即（）（）故/（」、）是偶函数./-.r=/1,
38.N史上【精析】因为lim（2+〃=Iim［l+a〃+21=2,所以a+1=0,即〃=一LM［答案］V【精
8.析】
39.YMvdzdvd,r-
040.N由在处连续可得因此f^JC=0=lim/.r=f03a=3—e.［答案］、arctanex.【精lini/.r=lim3c4=3=lim
41.-----------------F a=c—析】i4iri1+J ri0d.r+Az,3dr,即A=arctan.r=八.则工）=*+417--I...+J/x da=工，即fJL To6二+十
13.
42./二Hm+a siru~+/cosz【精析】limo1+jsin,,-cos,rx/l+j-sitir—y/cos.r十有™=2lim2%25IDT+jcos.rLtl4lim3cos.r—xsinx3,r-*
043.【精析】由题意知/（I）的定义域为（-8,+3）・/（）=由不二f尸+l./”（l）2
①一1x—1人一尸+11=（3解得/=
1.当j1时/Q）0;当.r V1时，/
（1）0,故函数/）的凹区间为（1・+3）.凸区间为（一3，1）；拐点为（
1.0）.
44.【精析】w+2+之一2vayz.则•TVF=1-=2---rv，工\/工D工v^v所以
45.【精析】函数在处可导，”=且+，彳+人1=124+5*=—2x x因函数在处取得极值，所以7=1/I=a+24+5=0,又］是函数拐点的横坐标，所以=:+26=0,a+2b+5=0,联立］解得a=—19b=-
2.〃］一4a+2=0,
46.3r【证明】设Fx=则F7X=2eJ-1-
2.r-x
2.rx=2eJ-2-2,r=2ex-x-1=/xO.Q0,所以在［内单调递增，F«r0,+8因此，当时，有z0F F0=0,由此可知在［内单调递增.Fi
0.+8故当、时，有即=八
①一/一r0FiF0=0,FT J0,O3r所以/、/+J.H.o
47.【证明】设FT=/E-/
7.因为/.r,g.r均在上连续，在a,〃内可导,所以FJ-在［Ml I连续,在”.〃内可导.乂fa=/b=0,则Fa=Fb=
0.则由罗尔定理知•在a，〃内至少存在一点总使F=0,即.2/力月»=0,又因为以才W
0.所以g3Wd两边同除以g
3.得/「可T+2/T/T=
0.
48.【精析】设为则CX Im,1V7V
4.｝由题可知【期柱和圆锥的底面半径相同.且K=/32-J-I2=则帐篷的体积为、+.V=4•式•R•1—1+7TR2-1=nRJ1+\,I\=R[9—I-1/]•5\Of M・L-U IrV=K-2J-1:~+n•T719—才—1尸]=7t—J2+4・令Vz=0得/=2,且仁2=-4nVO,故在工=2处取得极大值•由于实际问题最值存在.且驻点啡一•故在处取最大值.即当顶点到底面中心5的距离为时•帐篷的体积最V R=22m大.
49.【精析】由两条曲线、=及两条直线才cos.ro=sin.r=号所围成的平面图形如图所示,依题意，旋=0,.r b转体的体积为、=告nc coos2s2w xd—r jusin2Jsin2wZ
50.【精析】设矩形的一边长为八则另一边长为一八设矩形绕长为〃一丁的一边旋转，则圆柱体的体积为V=K.r2/—.r•
0.r VpV=2m/—T=n.r2/—3J•9令v=o.解得驻点为才=4；.,J由于驻点唯一,11圆柱体一定存在最大体积.所以当矩形的边长为学和与时・u绕短边旋转所得圆柱体积最大.
51.【精析】设圆柱体体积为则兀，/•所镀铜层体积即为圆柱体体积的增量△、，,由u.v=于△l=
0.001cm比尸=
0.15cm小得多.于是△V gdV=TTU•Ar=2nr/Ar=2X KX0,15X4X
0.001=
0.0127:cm.镀层用铜的质量为兀天w=
0.0012X
8.9=
0.01068g.【精析】企业的利润函数L/=/Q—=/120—8/—[10+512—8p[=-8//+160/—70«///=-16p+令///=得唯一驻点/=由于//〃=-所以/=是函数/./的极160,0,10,16V0,10大值点，而且是最大值点•此时，最大利润为即当每件产L=-8X102+160X10—700=
100.品的定价为元时.企业的获利最大.最大利润为元.1010B.yd.r-ydy
6.C.dj-Jdy D.dr+|dv乙乙乙设==•，则In2dz
7.y
1.2已知贝二j/xrfx=sinx cosx+C,4xcosx-sinx A.」B cosx+snTx2•2C-cosx+sinxn cos2xJ—■
8.，下列级数中条件收敛的是8A.£
1110.B.£-11M=1若函数/（］）=8D.y一尸、（一C.S1ILH，2〃3+4B.A.2/+W+CD.⑵•I1/I.
2.r-I,rc-z IC
9.-22l+.r设八工）在（0,十3）上连续.且［贝」//dz=I/2=D-fB.3C.1A.-4B.5CO D.
412.L是顶点分别为O.O・2,
0.2J和
0.1的四边形区域D的正向边界，则曲线积分/=，sin.r+y—3d、r+cos.y+
6、[一7dy=A.0B.5C.10D.
1413.，，r=I=I丁=A.0B.y=ln.r+1C.v=ln1-.丁D.y=—ln1—J JT函数、■的定义域是lgjr+2B.[-3,3]A.[—2,3]D.—2,3一C2,-1U-U3]下列方程为齐次微分方程的是《B.—sin d/—cos dy=0》一A,.rcos—dy=ycos.r jd.r、y22“+口？=D.4C.a R0微分方程y—（下产=o满足初始条件y=o,/=-1的特解为（）
1.设当i f0时・函数fx=-sinj与=ar是等价无穷小量，则常数0的值分别为JC A.u=5,〃=3B・a=5,〃=363C.u=4，〃=4D.a=5,〃=4126极限+A-l B.0C.8D.不存在Lnrr-*oo
18.已知级数.则下列结论正确的是JI-若则收敛A.lima”=0♦若部分和数列｛有界.则工人收敛B.SJJi-LC.若〃rr收敛，则lim〃〃=0JLl””UC若夕〃“收敛,则£|/|收敛D.设随机变量的概率密度为⑺则方差X f=DX=其他,0,B4A.2C.
319.
20.In.r+1d^r=B..rln.r+C C.r2lnr+C D.hr./+C1-21L mvo1,的第J”=0是函数JX J=类间断点.e+J-.
21.
二、填空题题10„设贝V=\/1——9jr2ar/sin3r9lj dy参数方程所+〃〃=2,则a=
1.确定的函数的二阶导数尸=_____________________________________________.n
38.A.否B.是\y=r-
23.设在［］上连续.则/Q
0.1/|COSJ-|d.r=A.1=/|cos.r|cLr
26.曲线］’在处的切线方程为f=
125.Lv=4/设
27.曲线人］）=十3/十3/十10的拐点为
29./»°arctanJ］limJ.+—\fn y/n—1=
30.…
三、判断题（题）
1031.极限呵（串:，
39.A.否B.是若函数//在处连续，则=J arctaner,z=0a=2e.-------------H a,r0A.否B.是
四、计算题（5题）设/（J）=-~-5*+//
（1）cLr,求/（JT）.1+1Jo”产~~计算Um彳？V1心in.r—x/cos.r
43.设函数/（『）=「7=15rTTd八求曲线_y=/（.r）的凹凸区间和拐点.u L
44.设方程M+2»+-2厉=确定了隐函数ln
（3）,求小标设函数y=++5%在#=1处取得极值，1=---为其拐点横坐标，求a之值.乙
五、证明题（题）2已知/1）=2（1一1一1）是定义在区间10・+8）上的非负可导函数，证明当w0时，）（/3/+,O证明若/（、）,#（］）在上连续,在（而内可导，且（）/（〃）=
26.r/a=O,g（T）/
0.则至少存一点SG（♦〃）•使/（»*（$）+=
0.
六、应用题（题）
548.要求设计一个帐篷•它下部的形状是高为的圆柱体•上部的形状是母线长为1m3m的圆锥（如图所示）.试问当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最1大？
49.求由两条曲线必及两条直线午所围成的平面图形绕V=0=sini.r=0,.r=6m』•轴旋转而成的旋转体体积.第20题图将周长为的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体,矩形的边长各为多少时，才
25.2/J可使圆柱体的体积最大？扩音器杆头为圆柱形,截面半径厂度/=,为了提高它的导电性能.=
0.15cm.K4cm要在这圆柱体的侧面上镀一层厚度为的纯铜，问大约需要多少克纯铜？（已知铜
0.001cm的比币:为）
8.9g/cn假设某企业生产的一种产品的市场需求量Q（件）与其价格P（元）的关系为Q（G）总成本函数为（）问当为多少时企业所获的利润最大,最大利=120—C Q=100+5Q.润为多少？参考答案
1.B[答案1B【精析】该函数定义域为（
0.+8为3,=2—=2Q,116）.当ovz4时.A JT,V0,函数单调减少；当4时.），
0.函数单调增加.故选B.
2.B【精析】原方程可化为半=（2二+2i）y,为可分离变量的方程,分离变量可得,力=（、）两边积分,|也=（、、）心,得-整理即得
2.+2r dr,12r3+2r In|v|=/+CJ yJ2通解为（y=e
4.
3.C【精析】（精的定义域为口则解之得f,2],l4l+hir42,l4/4e.
4.A。
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