用列举法求概率教学课件

用列举法求概率教学课件第一章概率基础与列举法简介概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，而列举法是求解概率问题最直观的方法之一本章将介绍概率的基本概念以及列举法的核心思想本章我们将学习•概率的定义与意义•概率的不同计算方法•列举法的基本原理什么是概率？定义表示方式实例概率是对随机事件发生可能性的度量，概率可以用分数、小数或百分比表示用0到1之间的数值表示概率为0表示例如1/6=

0.

1666...≈

16.7%不可能发生，概率为1表示必然发生概率的三种计算方法经验概率（实验频率）古典概率（等可能事件）主观概率（估计猜测）通过大量重复试验，用事件发生的次数除以当所有基本结果等可能时，事件的概率等于基于个人经验、知识和判断对事件发生可能试验总次数来估计事件包含的基本结果数除以样本空间的基本性的估计结果总数例投掷硬币1000次，正面朝上出现489例医生根据经验判断患者患某病的可能性次，则正面朝上的经验概率约为

0.489例从一副扑克牌中抽一张，抽到红桃A的为30%概率是1/52在本课程中，我们主要讨论古典概率，并通过列举法来计算什么是列举法？列举法是计算概率的一种直观方法，特别适合处理样本空间较小的问题其核心思想是•列出所有可能的基本结果•统计符合事件条件的结果数量•用事件结果数除以总结果数得到概率通过列举所有可能结果，我们可以直观地计算事件发生的概率列举法的优势在于直观易懂，让我们能清晰地看到事件与样本空间的关系列举法的步骤计算概率事件结果数÷样本空=列出事件发生的所有结果间总数明确试验的所有可能结果（样本空间）根据问题中事件的定义，从样本空间中找出用事件A包含的基本结果数量除以样本空间Ω所有符合条件的基本结果，构成事件A的基本结果总数，得到事件A的概率PA这一步需要列出所有可能出现的基本结果，构成样本空间Ω确保不遗漏任何可能的结PA=nA/nΩ果列举法的关键是全面且不重复地列出所有可能结果直观示意掷两个骰子所有可能点数组合掷两个骰子共有6×6=36种可能的结果组合上图展示了所有可能的点数组合，每个格子代表一种可能的结果例如，从图中可以清楚地看到•和为7的组合有6种（红色标记）•和为2的组合只有1种1,1•和为12的组合也只有1种6,6通过这种直观的网格展示，我们可以清晰地列举所有可能结果，便于计算概率例题掷一枚骰子，求掷出偶数的概率1解题步骤步骤一明确样本空间•样本空间{1,2,3,4,5,6}共6个结果步骤二列出事件的所有结果•偶数事件{2,4,6}共3个结果步骤三计算概率偶数点数（

2、

4、6）在骰子的六个面中占了一半，所以概率为•P偶数=3/6=1/2=

0.5=50%1/2例题掷两个骰子，求点数和为的概率27样本空间分析事件结果列举概率计算两个骰子的所有可能组合和为7的所有可能组合和为7的概率第一个骰子1,2,3,4,5,6•1,6P和为7=6/36=1/6≈

0.167=

16.7%•2,5第二个骰子1,2,3,4,5,6•3,4总共有6×6=36种可能的结果组合•4,3•5,2•6,1总共有6种组合在所有36种可能的结果中，和为7的结果有6种，因此概率为1/6练习题掷两个骰子，求点数和为偶数的概率思考步骤

1.样本空间有多少个基本结果？

2.点数和为偶数的情况有哪些？

3.如何系统地列举所有和为偶数的组合？

4.概率如何计算？提示两个数相加为偶数的条件是什么？挑战思考和为偶数的组合占总组合的比例是多少？是否恰好•两个偶数相加是1/2？为什么？•两个奇数相加第二章列举法与排列组合基础当样本空间变得较大时，简单的手工列举可能变得繁琐且容易出错这时，我们可以结合排列组合的知识，更高效地应用列举法本章将介绍•排列与组合的基本概念•如何用排列组合辅助列举法•解决更复杂的概率问题排列与组合简介排列（）组合（）Permutation Combination从n个不同元素中取出r个元素，按照一定顺序排成一列，称为从n个不同从n个不同元素中取出r个元素，不考虑顺序，称为从n个不同元素中取出r元素中取出r个元素的一个排列个元素的一个组合公式Pn,r=n!/n-r!公式Cn,r=n!/[r!n-r!]其中n!=n×n-1×n-2×...×2×1例从5人中选3人组成委员会的方法数为C5,3=10种例从5人中选3人坐在3个固定座位上的方法数为P5,3=5×4×3=60种理解排列与组合的区别对于正确列举样本空间和事件结果至关重要例从字母中选个A,B,C2排列（考虑顺序）组合（不考虑顺序）从A,B,C中选择2个字母并排序的所有可能结果从A,B,C中选择2个字母不考虑顺序的所有可能结果•AB•AB包含AB和BA•BA•AC包含AC和CA•AC•BC包含BC和CB•CA共有3种不同的组合•BC计算公式C3,2=3!/2!×1!=3•CB共有6种不同的排列计算公式P3,2=3×2=6列举法结合排列组合在解决概率问题时，结合排列组合知识可以使列举过程更加高效主要应用场景概率计算公式•用排列组合计算样本空间大小，避免繁琐的手工列举•用排列组合计算事件包含的基本结果数量其中•特别适用于从整体中抽取部分元素的概率问题•nA事件A包含的基本结果数量结合排列组合的列举法可以处理更复杂的概率问题，尤其是样本空间较大的情况•nΩ样本空间包含的基本结果总数例题从个球中取个，求取到红球的概率（红白）35232样本空间分析事件结果列举概率计算从5个球中取2个球的所有可能方法数取到2个红球的方法数取到2个红球的概率C5,2=5!/2!×3!=10C3,2=3!/2!×1!=3P2红=C3,2/C5,2=3/10=

0.3=30%这10种组合构成了样本空间即从3个红球中选2个的组合数例题从个球中取个，求至少有个红球的概率4521解题思路使用补集有时直接列举符合条件的结果较为复杂，可以考虑使用补集方法P至少1红=1-P无红球解题步骤

1.计算样本空间大小C5,2=10通过计算补集（即没有红球的情况），我们可以更简单地

2.计算补集无红球的情况得到答案•无红球=2白球=C2,2=

13.计算概率•P至少1红=1-1/10=9/10=

0.9=90%事件与补集示意图在概率计算中，使用补集是一种强大的技巧，特别是当直接计算原事件比较复杂而补集较简单时基本关系适用情况•事件A与其补集A互不相容•原事件包含多种情况，枚举困难•PA+PA=1•补集只包含少量简单情况•因此PA=1-PA•例如至少一个类型的问题常用补集第三章列举法求概率的典型应用列举法在解决各种概率问题中有着广泛的应用在本章中，我们将通过一系列典型例题，展示如何在不同场景下应用列举法求解概率问题这些例题涵盖•字母和单词问题•扑克牌抽取问题•硬币投掷问题•其他经典概率模型例题从字母组成的单词中随机取一个字母，求取5LEVEL到的概率L解题步骤

1.样本空间分析•单词LEVEL包含5个字母位置L,E,V,E,L•样本空间大小为

52.事件结果列举•字母L在单词中出现了2次，位于第1和第5位置单词LEVEL中，字母L出现了2次，总共有5个字母位置•符合事件的结果数为

23.概率计算•P取到L=2/5=

0.4=40%注意此问题考虑的是字母位置，而不是不同字母的种类例题抽取扑克牌，求抽到红桃的概率6A扑克牌组成4种花色黑桃♠、红桃♥、方块♦、梅花♣•每种花色13张牌A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K•总共52张牌解题步骤在标准的52张扑克牌中，红桃A只有一张，因此抽到它的概率是样本空间标准扑克牌52张1/52事件抽到红桃A，只有1种结果概率P红桃A=1/52≈

0.019=

1.9%例题掷两个硬币，求出现个正面个711反面的概率样本空间分析事件结果列举掷两个硬币的所有可能结果出现1个正面1个反面的结果•正正第一个硬币正面，第二个硬币正面•正反第一个硬币正面，第二个硬币反面•正反第一个硬币正面，第二个硬币反面•反正第一个硬币反面，第二个硬币正面•反正第一个硬币反面，第二个硬币正面事件包含的结果数2•反反第一个硬币反面，第二个硬币反面样本空间大小4概率计算出现1个正面1个反面的概率P1正1反=2/4=1/2=

0.5=50%练习题掷三个硬币，求出现恰好两个正面的概率思考步骤

1.列出掷三个硬币的所有可能结果•提示可以用正和反表示每个硬币的状态

2.找出恰好有两个正面的所有情况

3.计算概率提示样本空间大小为2³=8思考你能用组合的思想来求解这个问题吗？从3个位置中选择2个位置放正面的方法数是多少？第四章列举法的优势与局限列举法作为求概率的基本方法，有其独特的优势，同时也存在一定的局限性了解这些特点有助于我们在实际问题中灵活选择合适的解题策略本章将讨论•列举法的优势和适用场景•列举法的局限性•如何克服这些局限性优势直观易懂适合小样本空间便于检验结果列举法通过清晰列出所有可能结果，使概率计算当基本结果数量较少时，列举法效率高，过程简列举过程可视化，易于发现遗漏或重复，便于检过程透明化，便于理解概率的本质单明了查计算是否正确特别适合初学者建立概率直觉，帮助培养概率思在掷骰子、抛硬币、抽扑克牌等经典概率问题中有助于培养严谨的数学思维和验证习惯维尤为实用局限样本空间过大易出错缺乏系统性当样本空间包含大量基本结果时，完全列手工列举容易遗漏或重复计算某些情况，面对复杂问题，如果没有系统的列举方举变得不现实特别是在复杂问题中法，过程会变得混乱且难以管理例如从52张扑克牌中抽取5张牌，共有如果列举不完全或有重复，将导致概率计需要结合其他数学工具才能高效解决C52,5=2,598,960种可能组合，不可能手算错误工列举为克服这些局限，我们需要结合排列组合、条件概率等知识，拓展列举法的应用范围第五章综合案例分析在本章中，我们将通过一个综合案例，展示如何运用列举法和排列组合知识解决较复杂的概率问题我们将详细分析解题思路和步骤，展示以下技能的应用•问题分析与建模•合理运用排列组合简化计算•使用补集方法处理至少类型的问题案例班级中有男女，随机选人组成小组，求选中至少6431女的概率问题分析样本空间计算使用补集方法总人数6男4女，共10人从10人中选3人的所有可能方法数至少1女的补集是0女，即全选男生需要选择3人组成小组C10,3=10!/3!×7!=120从6名男生中选3人的方法数目标计算至少选中1名女生的概率这120种组合构成了样本空间C6,3=6!/3!×3!=20这是一个至少类型的问题，考虑使用补集法P至少1女=1-P0女=1-20/120=1-1/6=5/6通过使用补集方法，我们避免了直接计算选1女、选2女和选3女的复杂过程案例解析图示直接计算法补集法比较我们也可以直接计算选中女生的各种情补集法只需计算况•全选男生C6,3=20种•选1女2男C4,1×C6,2=4×15=至少1女的概率1-20/120=5/660种•选2女1男C4,2×C6,1=6×6=36补集法在这类问题中更为简便，尤其是种当直接计算需要考虑多种情况时•选3女0男C4,3×C6,0=4×1=4种至少1女的方法数60+36+4=100种概率100/120=5/6总结与复习概率的定义概率计算方法概率是对随机事件发生可能性的度量，取值范经验概率、古典概率和主观概率，本课程主要围为0到1讨论古典概率实际应用列举法基本步骤解决掷骰子、抛硬币、抽扑克牌等多种经典明确样本空间，列举事件结果，计算概率=概率问题事件结果数/样本空间总数补集方法排列组合应用利用PA=1-PA简化至少类型问题的计结合排列组合知识，高效计算样本空间和事件算结果数量结束语掌握列举法是理解概率的基础列举法不仅是计算概率的工具，更是培养概率思维的重要途径通过列举，我们能够直观地理解随机事件的本质和概率的意义多练习，多思考，灵活运用概率问题千变万化，没有固定的解题模板通过大量练习，培养灵活应用列举法的能力，结合排列组合、条件概率等知识，建立系统的概率解题思路期待你成为概率高手！概率思维在现代社会中有着广泛的应用，从数据分析到决策制定，从风险评估到科学研究，掌握概率将为你打开一扇通向更广阔世界的大门。