高中必修1函数教学课件

高中数学必修函数教学课件1PPT第一章函数的概念与表示函数本质学习目标重要性函数是描述两个变量之间依赖关系的数掌握函数的定义、表示方法及基本性质，函数是连接代数与几何的桥梁，是描述学概念，是高中数学的核心内容之一能够分析简单函数的特征，并应用函数变量间关系的强大工具函数思想贯穿通过学习函数，我们能够用数学语言描知识解决实际问题本章将为后续学习整个高中数学，是大学数学和自然科学述现实生活中的各种变化规律打下坚实基础的基础什么是函数？函数的定义函数的核心特征设D是一个非空实数集，对于每一个x∈D，按照某一确定的对应关系唯一性每个自变量x的值对应唯一一个因变量y的值f，总有唯一确定的值y与之对应，则称f为定义在D上的函数，记作确定性自变量和因变量之间的对应关系是确定的任意性自变量的取值可以是定义域内的任意值y=fx,x∈D其中，x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域关系与函数的区别举例函数关系示例非函数关系示例•一个人的年龄与出生年份•学生与班级（一个班级对应多个学生）•正方形的面积与边长•圆的面积与半径（给定面积，半径可能为正或负）•温度计上水银柱高度与温度•人的身高与体重（同一身高可对应不同体重）这些关系中，每个自变量对应唯一的因变量函数的表示方法

1.列表法

3.解析式通过表格列出自变量和因变量的对应值用数学公式表示自变量与因变量的关系y=2x+3x∈Rx1234y=x²-4x∈Ry=fx14916y=sin xx∈R

4.图像法上表表示的是y=x²的部分对应关系

2.映射图在直角坐标系中用曲线表示函数关系通过箭头将定义域中的元素映射到值域中的元素函数y=fx的图像是平面上所有坐标满足关系式的点x,fx的集合函数的定义域与值域定义域的含义值域的含义函数定义域是指函数自变量x所有可能取值的集合，通常记为D或domf函数值域是指当自变量x取遍定义域中所有值时，因变量y=fx所有可能取值的集合，通常记为R或ranf在函数表达式y=fx中，只有当x取值使函数有意义时，x才属于定义域值域是定义域通过函数映射后得到的集合定义域的确定方法常见限制条件例题求下列函数的定义域分母不为零如y=1/x-2，则x≠

21.fx=√4-x²偶次根式内不为负如y=√x，则x≥0解要使函数有意义，需要4-x²≥0₃对数的真数大于零如y=log x，则x0解得-2≤x≤2特殊函数的限制如y=arcsin x，则-1≤x≤1所以函数的定义域为[-2,2]

2.gx=lnx-1+√2-x解需满足x-10且2-x≥0解得1x≤2所以函数的定义域为1,2]值域的初步认识与求法求值域的基本方法

1.代数法通过解不等式确定y=fx的取值范围

2.几何法通过函数图像在y轴方向的投影确定值域

3.单调性法利用函数的单调性结合定义域端点值确定值域函数映射示意图函数映射的本质函数本质上是一种映射关系，它将定义域D中的每个元素x，按照确定的对应规则f，唯一地对应到值域R中的某个元素y=fx函数映射的重要特征定义域中的每个元素必须参与映射（全面性）定义域中的每个元素只对应值域中的唯一一个元素（唯一性）值域中的元素可以是多个定义域元素的像（多对一可能）常见映射类型单射不同的x映射到不同的y（一对一）满射值域中的每个元素都是定义域某元素的像双射既是单射又是满射（存在反函数的条件）函数映射举例映射与现实对应函数fx=x²（x∈R）生活中的函数映射例子•不是单射因为f1=f-1=1•身份证号→公民（单射）•不是满射值域为[0,+∞，而不是全体实数•学生→学号（单射）•时间→温度（非单射）函数gx=2x+1（x∈R）•年龄→身高（非单射）•是单射不同的x对应不同的y•是满射值域覆盖全体实数⁻•是双射存在反函数g¹x=x-1/2函数的基本性质函数的基本性质是分析和应用函数的重要工具，通过掌握这些性质，我们可以更深入地理解函数的行为特征和应用价值单调性奇偶性函数在区间内的增减性质，反映了自变量变化时因变量的变化函数关于原点或y轴的对称性质，简化函数分析和图像绘制趋势有界性周期性函数值是否有上界或下界的性质，关系到函数的最值问题函数值按一定间隔重复出现的性质，常见于三角函数等这些性质不是孤立的，它们之间常常有内在联系例如，具有奇函数性质的函数，如果在正半轴上是增函数，那么在负半轴上必定是减函数理解这些联系有助于我们更系统地分析函数在接下来的几张幻灯片中，我们将分别详细讨论这些基本性质通过这些性质的学习，我们将能够•更准确地绘制和解读函数图像•更有效地分析函数的变化规律函数的单调性单调性的定义设函数fx的定义域为D，区间I⊂D₁₂₁₂₁₂单调递增对于区间I上的任意两点x,x，若xx，则fxfx，称函数fx在区间I上是单调递增的₁₂₁₂₁₂单调递减对于区间I上的任意两点x,x，若xx，则fxfx，称函数fx在区间I上是单调递减的单调递增或单调递减的函数统称为单调函数单调性的图像特征单调递增函数的图像从左到右是上升的单调递减函数的图像从左到右是下降的单调性的判断方法定义法直接应用定义判断导数法利用fx的符号判断（高中后续课程）图像法观察函数图像的升降特性单调函数具有重要性质单调函数在其定义域内是一一映射，即不同的自变量值对应不同的函数值典型函数单调性分析线性函数二次函数函数的奇偶性奇函数定义偶函数定义如果对于函数fx的定义域内的任意x，都有如果对于函数fx的定义域内的任意x，都有f-x=-fx f-x=fx则称函数fx为奇函数则称函数fx为偶函数图像对称性说明奇函数的图像特征偶函数的图像特征奇函数的图像关于原点对称偶函数的图像关于y轴对称如果点a,b在图像上，则点-a,-b也在图像上如果点a,b在图像上，则点-a,b也在图像上典型奇函数典型偶函数•fx=x•fx=x²•fx=x³•fx=|x|•fx=sin x•fx=cos x•fx=tan x•fx=1/x²函数的周期性周期函数定义设函数fx的定义域为D，如果存在一个正数T，使得对于任意x∈D，都有x+T∈D，且fx+T=fx则称fx为周期函数，T称为fx的周期如果T是函数fx的周期，那么2T,3T,...也都是fx的周期我们通常关注最小正周期，即最小的正数周期周期函数的图像特征周期函数的图像每隔一个周期T就完全重复一次，即图像沿x轴方向平移T个单位后与原图像完全重合常见周期函数示例三角函数复合三角函数其他周期函数正弦函数fx=sin x，周期为2πfx=sinωx，周期为2π/|ω|fx=|sin x|，周期为π余弦函数fx=cos x，周期为2πfx=A·sinωx+φ，周期为2π/|ω|fx=tan²x，周期为π正切函数fx=tan x，周期为π其中A为振幅，ω为角频率，φ为相位fx=[x]（取整函数），周期为1周期性的应用周期函数广泛应用于物理学描述简谐运动、波动、电磁场等周期性变化现象信号处理分析和处理周期性信号经济学描述经济周期、季节性变化等函数的有界性有界函数的定义设函数fx的定义域为D，如果存在实数M0，使得对于任意x∈D，都有|fx|≤M则称函数fx在D上有界有界的细分上有界如果存在常数M，使得对于任意x∈D，都有fx≤M，则称fx在D上上有界，M称为上界下有界如果存在常数m，使得对于任意x∈D，都有fx≥m，则称fx在D上下有界，m称为下界有界同时上有界和下有界有界性的判断方法定义法直接找出函数的上下界单调性法利用函数的单调性和端点值判断图像法观察函数图像是否被水平直线所限制有界函数与无界函数区别有界函数特点无界函数特点函数值有上限和下限，不会无限增大或无限减小函数值可以无限增大或无限减小，没有上限或下限图像被两条水平直线所夹住图像不能被两条水平直线所夹住例如y=sin x（有界于[-1,1]）例如y=x²（在R上无上界）正弦函数图像正弦函数的基本性质基本表达式周期与振幅特殊点正弦函数的基本形式周期基本正弦函数y=sin x的周期为2π对于基本正弦函数y=sin xy=sin x对于y=sinωx，周期T=2π/|ω|零点x=kπk∈Z一般形式振幅基本正弦函数的振幅为1最大值点x=π/2+2kπk∈Zy=A·sinωx+φ对于y=A·sin x，振幅为|A|最小值点x=3π/2+2kπk∈Z其中正弦函数的取值范围特殊值•A为振幅y=A·sinωx+φ的值域为[-|A|,|A|]•sin0=0•ω为角频率•sinπ/6=1/2•φ为初相位•sinπ/4=√2/2•sinπ/3=√3/2•sinπ/2=1正弦函数的其他性质12奇偶性单调性y=sin x是奇函数，即sin-x=-sin x在区间[0,π]上单调递增其图像关于原点对称在区间[π,2π]上单调递减在其他区间上单调性以2π为周期重复34有界性导数正弦函数是有界函数sin x=cos x|sin x|≤1，即-1≤sin x≤1正弦函数的导数是余弦函数正弦函数是描述周期性变化最基本的函数之一，广泛应用于物理、工程、信号处理等领域通过对正弦函数的参数A、ω、φ进行调整，可以描述各种不同的周期性变化现象第二章基本初等函数基本初等函数是函数家族中最基础的成员，是构建复杂函数的基本单元它们的性质和图像特征是学习高等数学的基础幂函数指数函数ᵃˣ形如y=x的函数，其中a为常数形如y=a的函数，其中a0且a≠1包括正整数幂、负整数幂、分数幂等不同类型特点是增长或衰减速度随x变化而变化三角函数对数函数ₐ包括正弦函数、余弦函数、正切函数等形如y=log x的函数，其中a0且a≠1描述周期性变化，应用广泛是指数函数的反函数，增长速度较慢基本初等函数的重要性基本初等函数是所有初等函数的基础通过四则运算和复合运算，基本初等函数可以组合成各种复杂的初等函数，描述各种各样的变化规律掌握基本初等函数的性质和图像特征，是理解和应用函数的关键在本章中，我们将系统学习这些基本初等函数，为后续的数学学习打下坚实基础幂函数与指数函数幂函数指数函数ᵃˣ定义形如y=x的函数称为幂函数，其中a为常数定义形如y=a的函数称为指数函数，其中a0且a≠1幂函数的分类与特点指数函数的性质⁺正整数幂函数y=x^n n∈N定义域与值域•当n为奇数时，定义域为R，值域为R•定义域为R•当n为偶数时，定义域为R，值域为[0,+∞•值域为0,+∞⁺负整数幂函数y=x^-n n∈N单调性•定义域为R\{0}•当a1时，在R上单调递增•当n为奇数时，值域为R\{0}•当0a1时，在R上单调递减•当n为偶数时，值域为0,+∞特殊点分数幂函数y=x^m/n m,n∈Z，n0，最简分数⁰•对于任意a0，a=1ˣˣ•当n为奇数时，定义域为R（当m0时除外）•当a1时，x→+∞，a→+∞；x→-∞，a→0ˣˣ•当n为偶数时，定义域为[0,+∞（当m0时）或0,+∞（当m0时）•当0a1时，x→+∞，a→0；x→-∞，a→+∞对数函数对数函数的定义ₐ如果a0且a≠1，y=logx表示y是满足a^y=x的实数，其中x0ₐˣ对数函数y=logx是指数函数y=a的反函数对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数之间存在以下关系ₐ•如果y=logx，则a^y=xₐ•如果y=a^x，则logy=xₐ•函数关系logx是a^x的反函数•图像关系对数函数的图像是指数函数图像关于直线y=x对称对数函数的性质定义域与值域•定义域为0,+∞•值域为R单调性特殊点•当a1时，在0,+∞上单调递增ₐ•对于任意a0且a≠1，log1=0•当0a1时，在0,+∞上单调递减ₐ•对于任意a0且a≠1，loga=1⁺ₐ•当x→0时，logx→-∞（当a1时）或+∞（当0a1时）ₐ•当x→+∞时，logx→+∞（当a1时）或-∞（当0a1时）对数函数图像及性质常用对数函数自然对数函数对数运算性质₁₀ₐₐₐ以10为底的对数函数y=log x称为常用对数函数，简记为y=lg x以自然常数e为底的对数函数y=log_ex称为自然对数函数，简记为y=ln x logMN=logM+logNₐₐₐ常用对数在科学计数法和数量级表示中广泛应用自然对数在微积分中有特殊地位，其导数为1/xlogM/N=logM-logNₐₐlogM^n=n·logMlog_ba=1/log_ab对数函数的应用对数函数在科学和工程领域有广泛应用信息论信息量的度量使用对数函数声学分贝（dB）是一种对数刻度地震学里氏震级是地震能量的对数表示化学pH值是氢离子浓度的负对数分段函数分段函数定义分段函数是由若干个定义在不同区间上的函数组成的函数，在不同的区间上有不同的表达式一般形式fx={f₁x,x∈D₁f₂x,x∈D₂...f x,x∈D}ₙₙ₁₂₁₂其中D,D,...,Dₙ是互不相交的集合，且D∪D∪...∪Dₙ等于函数f的定义域分段函数的特点•在不同区间上可能有不同的解析表达式•函数图像可能在分段点处不连续•适合描述在不同条件下有不同变化规律的现象分段函数的研究方法研究分段函数时，需要

1.明确各个分段的区间和表达式

2.分析各个分段上函数的性质

3.重点关注分段点处的函数连续性

4.根据实际问题确定分段点的取值典型分段函数示例及图像12绝对值函数取整函数fx=|x|={x,x≥0-x,x0}fx=[x]（取不超过x的最大整数）这是最简单的分段函数之一，在x=0处连续但不可导是一个阶梯状函数，在每个整数点处不连续反函数反函数的定义反函数的求法设函数y=fx的定义域为D，值域为R如果存在函数g，使得对于任意x∈D，都有gfx=x，且对于任意y∈R，都有fgy=y，则称函数g为函数f求函数y=fx的反函数的一般步骤⁻的反函数，记作f¹

1.检查函数f是否为单射（通常通过判断其单调性）反函数存在的条件

2.如果是单射，将方程y=fx中的x和y互换，得到x=fy

3.解方程x=fy，得到y=gx函数f存在反函数的充要条件是函数f是单射（一一映射），即₁₂₁₂

4.验证gfx=x和fgy=y，确认g是f的反函数•对于定义域中的任意两个不同元素x和x，都有fx≠fx例题也即f在其定义域上是严格单调的（严格递增或严格递减）反函数的性质例求函数fx=2x+3的反函数⁻解•如果y=fx，则x=f¹y•反函数的定义域是原函数的值域

1.函数fx=2x+3是严格递增的，所以存在反函数•反函数的值域是原函数的定义域⁻⁻

2.设y=2x+3，交换x、y，得x=2y+3•f¹¹=f，即反函数的反函数是原函数

3.解方程得y=x-3/2⁻

4.所以f¹x=x-3/2⁻

5.验证ff¹x=2·x-3/2+3=x-3+3=x✓⁻f¹fx=2x+3-3/2=x✓反函数的图像对称性⁻函数y=fx与其反函数y=f¹x的图像关于直线y=x对称这一对称性可以这样理解•如果点a,b在函数f的图像上，则有b=fa⁻•由反函数的定义，有a=f¹b⁻•因此点b,a在反函数f¹的图像上•而点a,b和点b,a关于直线y=x对称利用这一对称性，我们可以通过已知函数的图像，直观地得到其反函数的图像常见的函数与反函数对ˣₐ•指数函数y=a与对数函数y=logx•正弦函数y=sin x（在[-π/2,π/2]上）与反正弦函数y=arcsin x指数函数与对数函数图像对比指数函数与对数函数的关系函数关系图像特征ˣₐ指数函数y=a和对数函数y=logx互为反函数指数函数与对数函数的图像关于直线y=x对称ˣₐ如果y=a，则x=logy这种对称关系反映了反函数的几何特性这种关系意味着对称点的坐标关系ˡᵒᵍᵃˣˣ•a=x（对于x0）•如果点a,b在指数函数y=a的图像上ₐˣₐ•loga=x（对于任意x）•则点b,a在对数函数y=logx的图像上特征对比指数函数y=aˣa1•定义域R•值域0,+∞•单调性在R上单调递增•特殊点0,1•渐近线x轴（y=0）•增长特点随x增大，函数值增长越来越快对数函数y=logₐx a1•定义域0,+∞•值域R•单调性在0,+∞上单调递增•特殊点1,0，a,1•渐近线y轴（x=0）•增长特点随x增大，函数值增长越来越慢实际应用对比指数函数的应用场景对数函数的应用场景复利增长资金按复利计息的增长信息量度量香农信息熵人口增长理想条件下的人口增长模型声音强度分贝刻度放射性衰变放射性物质的衰变过程地震强度里氏震级细菌繁殖细菌数量的指数增长酸碱度pH值算法复杂度对数级算法的时间复杂度指数函数适合描述加速增长或衰减的过程第三章函数的图像与性质综合应用在前两章中，我们学习了函数的基本概念、基本性质以及常见的基本初等函数本章将进一步探讨如何综合应用这些知识，分析和绘制函数图像，并解决相关问题图像绘制极值分析零点应用学习如何通过分析函数的性质，准确绘制函数图像，研究函数的增减性变化和极值点，了解极值的几何探讨函数零点的几何和代数意义，学习利用函数图掌握关键点、对称性和渐近线等要素的确定方法意义和求解方法，为解决最大值和最小值问题打下像求解方程的方法，建立函数与方程的联系基础综合应用的重要性函数知识的综合应用是高中数学的重要内容，也是高考的重点考查内容通过本章的学习，我们将培养函数的整体观念，综合考虑函数的多种性质提高分析问题和解决问题的综合能力建立函数与实际问题之间的联系，提高应用意识为后续学习微积分奠定基础函数图像的绘制技巧绘制函数图像的基本步骤确定定义域明确函数的有效定义范围分析函数的基本性质•奇偶性判断图像是否关于原点或y轴对称•单调性确定函数的增减区间•周期性对于周期函数，只需绘制一个周期内的图像确定特殊点•与坐标轴的交点（零点和y轴截距）•极值点•拐点•间断点确定渐近线（如果有）

5.连接各点并调整曲线形状绘图工具现代函数图像绘制可以使用多种工具•图形计算器•数学软件（如GeoGebra、Desmos等）•编程语言（如Python的matplotlib）但理解手工绘制的原理对于深入理解函数性质至关重要关键点与对称性利用关键点的确定对称性的利用与坐标轴交点奇函数图像关于原点对称，只需绘制x0部分，再反射得到x0部分•x轴交点（零点）解方程fx=0偶函数图像关于y轴对称，只需绘制x0部分，再反射得到x0部分•y轴交点计算f0（如果0在定义域内）周期函数只需绘制一个周期内的图像，然后平移复制特殊值点对于特殊的x值（如

0、

1、π/2等），计算对应的函数值利用对称性可以大大简化绘图过程极值点通过求导并解fx=0，结合二阶导数判别函数的增减性与极值函数的增减性函数的增减性反映了函数值随自变量变化的趋势在增函数区间内，x增大，fx也增大在减函数区间内，x增大，fx减小判断函数的增减性可以

1.利用定义直接判断

2.求导数fx，分析其符号（高中后续课程）

3.观察函数图像的升降趋势极值的概念₀₀₀₀极大值如果函数fx在点x的某个邻域内，对于任意x≠x，都有fxfx，则称fx为函数的一个极大值₀₀₀₀极小值如果函数fx在点x的某个邻域内，对于任意x≠x，都有fxfx，则称fx为函数的一个极小值极大值和极小值统称为极值，取得极值的点称为极值点极值点的几何特征从图像上看极大值点函数图像由升转降的点，呈山峰状极小值点函数图像由降转升的点，呈山谷状在光滑曲线上，极值点处的切线（如果存在）平行于x轴，即导数为0但注意导数为0的点不一定是极值点，还需结合导数的符号变化进行判断极值点的判定方法函数的零点与解方程零点的意义函数fx的零点是使得fx=0的x值，即函数图像与x轴的交点的横坐标零点的重要性•解方程fx=0实际上就是求函数fx的零点•零点将函数的正负区间分开•零点往往是函数图像的重要特征点•在实际应用中，零点常常有特殊的物理或几何意义零点的求法零点与函数性质的关系代数法直接解方程fx=0函数的零点与其他性质密切相关因式分解法对于多项式函数，可以尝试因式分解数值法对于复杂函数，可以用二分法、牛顿法等数值方法•对于连续函数，如果在区间端点函数值异号，则区间内至少有一个零点图像法通过函数图像确定零点的位置•零点可能是函数的极值点（如y=x²在x=0处）•奇函数如果有零点，则x=0必定是其零点•周期函数如果有零点，则在一个周期内零点的个数是偶数（考虑连续情况）利用函数图像求解方程基本原理图像法的优势方程fx=0的解就是函数y=fx的零点，即函数图像与x轴的交点的横坐标图像法可以方程fx=gx的解就是函数y=fx-gx的零点，也是函数y=fx与y=gx的图像的交点的横坐标•直观地显示方程解的个数和大致位置•处理一些用代数方法难以解决的方程•验证代数解法的结果•提供解的存在性和唯一性的信息例题例1利用函数图像解方程x³-3x+2=0解

1.构造函数fx=x³-3x+

22.分析函数性质fx=3x²-3=3x²-1=3x+1x-

13.当x-1或x1时，fx0，函数单调递增；当-1x1时，fx0，函数单调递减

4.计算特殊点f-1=-1-3-1+2=-1+3+2=4，f1=1-3+2=0，f0=

25.根据函数的单调性和特殊点值，可知函数图像与x轴有且仅有两个交点，即方程有两个解x=1和x≈-

26.代入验证f1=0，f-2=-8+6+2=0函数的应用实例生活中的函数模型函数广泛存在于我们的日常生活中，通过建立函数模型，我们可以描述和分析各种现实问题常见生活函数模型线性函数模型•出租车计费费用=起步价+单价×超出里程•工资计算工资=基本工资+提成比例×销售额二次函数模型₀₀•物体抛射高度h=h+v t-

4.9t²•利润最大化利润=收入-成本，其中收入或成本可能是关于产量的二次函数指数函数模型•复利计算本利和=本金×1+年利率^年数•人口增长人口=初始人口×e^增长率×时间函数图像示意函数图像的关键特征点零点极值点拐点函数图像与x轴的交点，表示fx=0的解函数的局部最大值或最小值点，是函数图像的山峰或山谷函数图像的曲率变号点，是图像由凹变凸或由凸变凹的点零点的几何意义极值点的几何特征拐点的几何特征•函数值由正变负或由负变正的分界点•函数图像在此处的切线（如果存在）平行于x轴•函数图像在此处的切线与函数图像的相对位置发生改变•方程fx=0的解•函数由增变减（极大值点）或由减变增（极小值点）•函数的二阶导数在此处变号•函数图像与x轴的交点求极值点的方法求拐点的方法求零点的方法•导数法求解fx=0，结合二阶导数或单调性分析•二阶导数法求解fx=0，结合三阶导数或凹凸性分析•代数法解方程fx=0•比较法对于特殊函数，直接比较可疑点的函数值•图像观察法观察函数图像的弯曲方向变化•图像法观察函数图像与x轴的交点图像分析实例图像特征综合分析图像特征与导数的关系以图中的函数为例，我们可以观察到函数的图像特征与其导数密切相关函数有两个零点，分别在x=a和x=b处fx0的区间对应函数的增区间函数有两个极值点在x=c处取得极大值，在x=d处取得极小值fx0的区间对应函数的减区间函数有一个拐点，在x=e处fx=0且fx在此点变号的点是函数的极值点函数在区间a,c和d,b上单调递增，在区间c,d上单调递减fx0的区间对应函数图像的凹区间函数在xe处是凹函数（向上凹），在xe处是凸函数（向下凹）fx0的区间对应函数图像的凸区间fx=0且fx在此点变号的点是函数图像的拐点第四章课堂练习与思考题在前三章中，我们系统学习了函数的基本概念、性质、基本初等函数以及函数图像的分析与应用本章将通过一系列练习和思考题，帮助同学们巩固所学知识，提高分析和解决问题的能力典型例题讲解基础练习通过详细解析典型例题，展示解题思路和方法，帮助同学们掌握解题技巧针对各个知识点设计的基础练习，帮助同学们巩固基本概念和方法思考题应用题设计一些有一定深度和挑战性的问题，培养同学们的数学思维和创新能力结合实际情境的应用题，培养同学们将数学知识应用于解决实际问题的能力学习方法指导在进行练习时，建议同学们先独立思考，尝试自己解决问题

2.遇到困难时，回顾相关知识点，寻找解题思路

3.参考例题解析，比较自己的解法与标准解法的异同

4.总结解题方法和技巧，形成自己的知识体系

5.多与同学交流讨论，互相启发，共同进步典型例题讲解函数定义域求解12例题1例题2求函数fx=ln3x²-5x-2的定义域求函数fx=√x²-4x+arcsin2x-1的定义域解解对于对数函数lnu，要求u0对于√x²-4x，要求x²-4x≥0，即xx-4≥0所以需要3x²-5x-20解得x≤0或x≥4解不等式3x²-5x-20对于arcsin2x-1，要求-1≤2x-1≤1△=25+24=49解得0≤2x-1≤1x=5±7/6即1/2≤x≤1x=2或x=-1/3所以函数的定义域为x∈[1/2,1]∩[0,0]∪[4,+∞=[1/2,1]∩

[0]∪[1/2,1]∩[4,+∞=∅∪∅=∅当x-1/3或x2时，3x²-5x-20因此，函数没有定义域所以函数的定义域为-∞,-1/3∪2,+∞单调性判断题例题3例题4判断函数fx=x³-6x²+9x+1在区间[0,5]上的单调性判断函数fx=x+1/x-2的单调性解解求导数fx=3x²-12x+9=3x²-4x+3=3x-1x-3函数的定义域为{x|x≠2}令fx=0，得x=1或x=3求导数fx=[x-2-x+1]/[x-2²]=-3/[x-2²]在区间0,1内，fx0，函数单调递增因为x-2²0（当x≠2时），所以fx0在区间1,3内，fx0，函数单调递减所以函数fx在区间-∞,2和2,+∞上都是单调递减的在区间3,5内，fx0，函数单调递增所以函数fx在区间[0,1]和[3,5]上单调递增，在区间[1,3]上单调递减反函数求解练习反函数的求法步骤⁻求函数fx的反函数f¹x的一般步骤检查判断函数是否为单射（一一映射），通常通过分析函数的单调性交换将方程y=fx中的x和y互换，得到x=fy解方程解方程x=fy得到y=gx⁻表示写出反函数f¹x=gx⁻⁻验证检查ff¹x=x和f¹fx=x是否成立注意事项•并非所有函数都有反函数，只有单射函数才有•如果函数f在区间I上是严格单调的，则f在I上有反函数•反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域⁻∘∘⁻•复合函数f¹fx=x，f f¹x=x反函数的图像特征⁻•函数y=fx与其反函数y=f¹x的图像关于直线y=x对称⁻•如果点a,b在函数f的图像上，则点b,a在反函数f¹的图像上•函数与其反函数的单调性相同递增函数的反函数也是递增的，递减函数的反函数也是递减的典型反函数题目解析123例题1线性函数的反函数例题2二次函数的反函数例题3分段函数的反函数求函数fx=3x-2的反函数，并说明其定义域和值域求函数fx=x²+1x≥0的反函数，并说明其定义域和值域求函数fx={2x+1,x0x²,x≥0}的反函数，如果存在的话综合应用题函数模型建立与分析例题1实际问题的函数模型某商品的价格为p元，日销售量为q件市场调研表明，当p=10元时，q=100件；当p=15元时，q=50件假设价格p与销售量q之间满足线性关系1建立价格p与销售量q的函数关系式2商品的日销售收入为R=p·q，求日销售收入R关于价格p的函数关系式3求使日销售收入R最大的价格p解1设销售量q与价格p的关系为q=kp+b代入已知条件100=10k+b50=15k+b两式相减得50=-5k，解得k=-10代入k值得100=10·-10+b，解得b=200所以销售量q与价格p的关系为q=-10p+2002日销售收入R=p·q=p·-10p+200=-10p²+200p3要使R最大，可以求导R=-20p+200令R=0，解得p=10又因为R=-200，所以p=10时，R取得最大值验证当p=10时，q=-10·10+200=100，R=10·100=1000所以，当价格p=10元时，日销售收入R最大，为1000元实际问题转化为函数问题例题2几何最优化问题例题3投资收益模型一块矩形牧场要用篱笆围起来，并用一道篱笆把牧场分成两个矩形如果有400米长的篱笆，求牧场的最大面积及相应的尺寸某人计划将10000元分成两部分，一部分按年利率3%存入银行，另一部分按年利率5%购买国债如果希望一年后的总收益达到400元，求两部分各应存入多少钱？解解设矩形牧场的长为x米，宽为y米，则有设存入银行的金额为x元，则购买国债的金额为10000-x元2x+2y+x=400（周长加上中间的一道篱笆）一年后的总收益为3%·x+5%·10000-x=

0.03x+

0.05·10000-x解得y=400-3x/2根据题意，有方程

0.03x+

0.05·10000-x=400牧场的面积S=x·y=x·400-3x/2=400x-3x²/2化简

0.03x+500-

0.05x=400要使S最大，求导S=400-6x/2-

0.02x=-100令S=0，解得x=400/6≈

66.7米x=5000此时y=400-3·

66.7/2≈100米最大面积S=

66.7·100≈6670平方米课堂小结函数的核心概念回顾函数的定义函数的性质函数是从定义域到值域的一种对应关系，其中定义域中的每个元素唯一对应值域中的一个元素函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性和有界性这些性质帮助我们理解函数的行为特征和变化规律函数可以通过列表、映射图、解析式、图像等方式表示基本初等函数函数的图像与性质基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等它们是构建复杂函数的基本单函数图像直观展示了函数的性质和特征通过分析函数的零点、极值点、单调区间等，我们可元，有各自的特性和应用场景以全面理解函数的行为学习函数的意义与方法函数学习的意义有效的学习方法思维工具函数思想是数学思维的重要组成部分，帮助我们理解变量间的依赖关系概念理解准确理解函数的定义和基本性质，而不是机械记忆知识基础函数是高中数学的核心内容，也是学习微积分的基础图像思维培养通过图像理解函数性质的能力，建立代数与几何的联系应用价值函数广泛应用于物理、经济、工程等领域，是描述现实问题的有力工具多样练习通过多种类型的习题巩固所学知识，提高应用能力解题能力函数知识能帮助解决许多数学问题，如方程求解、最值问题等联系实际尝试用函数模型描述身边的实际问题，加深理解系统整理定期整理归纳所学内容，形成自己的知识体系预习提示与拓展下一章内容预告（函数的运算与复合）函数的四则运算预习建议在下一章中，我们将学习如何对函数进行四则运算为了更好地学习下一章内容，建议函数的和f+gx=fx+gx

1.复习本章学过的基本函数及其性质函数的差f-gx=fx-gx

2.尝试思考一些简单的函数运算，如fx=x²和gx=x+1的和、差、积、商函数的积f·gx=fx·gx

3.尝试计算一些简单的复合函数，如fgx，其中fx=x²，gx=x+1函数的商f/gx=fx/gx，gx≠

04.思考函数运算与函数性质之间的关系这些运算将帮助我们构建更复杂的函数，并理解函数之间的关系函数的复合我们还将学习函数的复合运算∘f gx=fgx函数复合是高等数学中的重要概念，它允许我们将一个函数的输出作为另一个函数的输入。