高中数学教学课件

高中数学教学课件PPT目录123集合与常用逻辑用语函数与方程不等式与证明集合的概念、表示与运算，常用逻辑用语与函数定义与性质，常见函数类型，方程求解不等式性质，证明方法与技巧命题45三角函数与解析几何立体几何与概率统计三角函数基础，恒等变换，直线与圆第一章集合的概念与运算集合的定义与表示方法常见数集介绍集合是具有某种特定性质的事物的总•自然数集N={1,2,3,...}体，通常用大写字母表示•整数集Z={...,-2,-1,0,1,2,...}表示方法•有理数集Q（可表示为分数的数）•列举法A={1,2,3,4}•描述法B={x|x∈N,x5}•实数集R（数轴上的点）集合间的关系•包含关系A⊂B（A中每个元素都属于B）•相等关系A=B（A⊂B且B⊂A）集合的基本运算运算性质与示意图交集（）∩A∩B={x|x∈A且x∈B}交集是同时属于两个集合的元素组成的新集合并集（∪）A∪B={x|x∈A或x∈B}并集是属于A或属于B的元素组成的新集合补集（）-A-B={x|x∈A且x∉B}典型例题若A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，求A的补集是属于A但不属于B的元素组成的新集合•A∩B={3,4}•A∪B={1,2,3,4,5,6}逻辑用语与命题命题的概念与真假逻辑联结词命题是能判断真假的陈述句每且（∧）个命题都有且仅有一个真值真或假p∧q为真当且仅当p和q都为真例如或（∨）•3+5=8（真命题）•地球是方的（假命题）p∨q为真当且仅当p和q至少有一个为真注意感叹句、祈使句、疑问句不是命题非（）¬¬p的真值与p的真值相反逆否命题与等价命题函数的定义与性质函数的概念与表示函数是从定义域D到值域R的对应关系，使D中每个元素x都有唯一的R中元素y与之对应表示方法•解析法y=fx•图像法曲线或直线•列表法对应的表格反函数与复合函数反函数若y=fx，则x=f-1y∘复合函数f gx=fgx反函数的图像是原函数图像关于y=x对称函数的单调性与奇偶性单调性在区间内，自变量增大，函数值也增大（增函数）或减小（减函数）奇函数f-x=-fx，图像关于原点对称常见函数类型一次函数与二次函数指数函数与对数函数三角函数基础一次函数y=kx+b（直线）指数函数y=ax a0,a≠1正弦y=sin x（周期2π）二次函数y=ax²+bx+c（抛物线）对数函数y=logax a0,a≠1余弦y=cos x（周期2π）一次函数斜率k表示变化率，二次函数a决定开口它们互为反函数，指数增长快于多项式正切y=tan x（周期π）方向二次函数的图像与性质顶点坐标与对称轴开口方向与最值标准形式y=ax-h²+k当a0时，抛物线开口向上，有最小值顶点坐标h,k当a0时，抛物线开口向下，有最大值对称轴x=h最值在顶点处取得，值为k或4ac-b²/4a一般形式y=ax²+bx+c转化为标准形式y=ax+b/2a²+4ac-b²/4a顶点坐标-b/2a,4ac-b²/4a对称轴x=-b/2a指数与对数函数指数函数的定义与图像对数函数的性质与换底公式定义fx=ax a0,a≠1定义fx=logax a0,a≠1性质性质•定义域R，值域0,+∞•定义域0,+∞，值域R•当01时，递增•当01时，递增•过点0,1•过点1,0•当a1时，随x增大，函数值增长迅速•是指数函数y=ax的反函数换底公式logab=logcb/logca常用logab=ln b/ln a三角函数基础角的度量与弧度制角的两种度量方式•角度制一周为360°•弧度制一周为2π弧度换算关系180°=π弧度特殊角度与弧度对照三角函数图像与周期•30°=π/6，45°=π/4，60°=π/3性•90°=π/2，180°=π，360°=2π正弦、余弦、正切定义周期•sin x,cos x2π在单位圆上，对于角θ•tan xπ•sinθ=y坐标值域•cosθ=x坐标•tanθ=sinθ/cosθ=y/x•sin x,cos x[-1,1]三角恒等变换基本恒等式和差公式sin²α+cos²α=1sinα±β=sinαcosβ±cosαsinβ1+tan²α=sec²αcosα±β=cosαcosβ∓sinαsinβ1+cot²α=csc²αtanα±β=tanα±tanβ/1∓tanαtanβsinα+2π=sinαcosα+2π=cosαsin-α=-sinαcos-α=cosα倍角与半角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αtan2α=2tanα/1-tan²αsin²α=1-cos2α/2三角函数应用题解三角形基础三角形的六个元素三边a,b,c和三个角A,B,C基本公式•正弦定理a/sin A=b/sin B=c/sin C=2R•余弦定理a²=b²+c²-2bc·cos A•面积公式S=1/2ab·sin C解三角形的条件•已知三边•已知两边和它们的夹角•已知两角和一边•已知两边和其中一边的对角物理与工程中的应用周期运动描述（简谐运动）电流与电压的交流特性建筑与桥梁结构设计地理测量与导航定位例题已知三角形两边长a=5,b=8，夹角C=60°，求第三边c的长度和三角形面积方程与不等式一元二次方程求根公式不等式的性质与证明方法标准形式ax²+bx+c=0a≠0•若ab，则a+cb+c（同加性质）•若ab且c0，则acbc（同乘性质）判别式Δ=b²-4ac•若ab且c0，则acbc（异乘性质）•当Δ0时，方程有两个不相等的实根•若a0,b0且ab，则1/a1/b（倒数性质）•当Δ=0时，方程有两个相等的实根常见不等式•当Δ0时，方程没有实根•基本不等式a²+b²≥2ab（等号成立当且仅当a=b）求根公式x=-b±√Δ/2a₁₂₁₂•均值不等式算术平均≥几何平均韦达定理x+x=-b/a，x·x=c/a₁₂₁₂₁₁₂₂ₙₙₙₙ•柯西不等式a²+a²+...+a²b²+b²+...+b²≥a b+a b+...+a b²绝对值不等式|x|a⇔-axa|x|a⇔x-a或xa证明题技巧直接证明与反证法数学归纳法直接证明从已知条件出发，通过推理得到结论证明适用于所有自然数n的命题Pn的方法反证法假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原结论成立

1.证明基础情况P1成立

2.假设Pk成立，证明Pk+1也成立常用技巧

3.由1和2，得出对所有自然数n，Pn都成立•数形结合，借助几何意义常见应用•利用不等式基本性质和常见不等式•恰当变形，引入辅助函数•证明求和公式•证明整除性质•证明不等式典型证明题示范例题证明对于任意正实数a,b，有a²+b²≥2ab证明a-b²=a²-2ab+b²≥0∴a²+b²≥2ab解析几何基础平面直角坐标系坐标系由x轴和y轴组成，确定平面上点的位置两点间距离公式₂₁₂₁d=√[x-x²+y-y²]点到直线的距离₀₀d=|Ax+By+C|/√A²+B²₀₀其中x,y为点坐标，Ax+By+C=0为直线方程直线的方程与性质直线的一般式Ax+By+C=0₀₀点斜式y-y=kx-x斜截式y=kx+b截距式x/a+y/b=1₁₂两直线平行斜率相等k=k圆的方程与几何性质₁₂两直线垂直斜率之积为-1，k·k=-1标准方程x-a²+y-b²=r²一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0其中圆心坐标为-D/2,-E/2半径r=√D²/4+E²/4-F圆的切线方程₀₀x-ax-a+y-by-b=r²直线与圆的位置关系判别式应用直线Ax+By+C=0与圆x-a²+y-b²=r²的位置关系可通过判别式判断d=|Aa+Bb+C|/√A²+B²•若dr直线与圆相离•若d=r直线与圆相切切线方程求法•若dr直线与圆相交₀₀两圆位置关系设两圆圆心距为d过圆外点Px,y到圆x-a²+y-b²=r²的切线方程₁₂₁₁•若dr+r两圆外离方法一设切点为Tx,y，利用PT⊥OT₁₂•若d=r+r两圆外切方法二利用公式₁₂₁₂•若|r-r|dr+r两圆相交₀₀₁₂x-ax-a+y-by-b=r²•若d=|r-r|两圆内切₁₂•若d|r-r|两圆内含例题求过点到圆的切线方程P1,2x²+y²=1解圆心O0,0，点P到圆心的距离d=√1²+2²=√5因为dr=1，所以点P在圆外，过P有两条切线立体几何基础空间直角坐标系由三条互相垂直的坐标轴构成x轴、y轴和z轴空间两点间的距离₂₁₂₁₂₁d=√[x-x²+y-y²+z-z²]直线与平面的位置关系直线与直线平行、相交、异面直线与平面平行、相交、垂直平面与平面平行、相交判断方法•利用向量的垂直、平行关系•利用点到平面的距离•通过投影和坐标确定位置关系空间向量初步向量的定义与运算向量有大小和方向的量，用a或$\vec{a}$表示零向量大小为0，方向不确定单位向量大小为1的向量向量的基本运算加法a+b（平行四边形法则）减法a-b=a+-b数乘ka（改变大小和可能改变方向）向量的坐标表示a=x,y,z向量的模|a|=√x²+y²+z²概率与统计基础随机事件与概率定义随机事件在随机试验中可能出现也可能不出现的事件必然事件一定会发生的事件，概率为1不可能事件一定不会发生的事件，概率为0概率的定义•古典概型PA=所有有利于事件A的基本事件数/所有可能的基本事件总数•条件有限个基本事件且等可能概率的性质•0≤PA≤1•PΩ=1（必然事件）•P∅=0（不可能事件）•若A∩B=∅，则PA∪B=PA+PB频率与概率的关系频率事件A在n次试验中发生的次数与n的比值频率与概率的区别•频率是统计结果，概率是理论值•当试验次数增大，频率会稳定在概率附近简单统计图表解读常见统计图表组合计数与概率计算计数原理排列数组合数加法原理若事件A有m种方法，事件B有n从n个不同元素中取出m个元素并考虑顺序从n个不同元素中取出m个元素不考虑顺序种方法，两者互斥，则完成A或B有m+n种的方法数的方法数方法Pn,m=nn-1n-

2...n-m+1=n!/n-m!Cn,m=Pn,m/m!=n!/[m!n-m!]乘法原理若事件A有m种方法，事件B有n性质Cn,m=Cn,n-m种方法，则完成A和B有m×n种方法特殊情况Pn,n=n!概率计算实例例题从1到10中随机抽取3个数，求这3个数都是偶数的概率解总的可能情况C10,3=10!/3!×7!=120有利情况从5个偶数2,4,6,8,10中抽取3个，共C5,3=5!/3!×2!=10种函数综合应用函数模型建立生活中的函数问题函数模型建立步骤

1.分析问题，确定变量

2.确定变量间的关系

3.选择合适的函数表示

4.验证模型并求解常见的函数模型•线性模型y=kx+b•指数模型y=a·bx•对数模型y=a+b·ln x•幂函数模型y=axb函数在生活中的应用•经济学成本函数、收益函数•物理学运动方程、电路分析•生物学种群增长模型•医学药物浓度与时间关系数学建模思路问题分析明确问题的背景、目标和限制条件识别关键变量和参数确定需要的数据和信息分析变量之间的可能关系模型假设简化问题，保留关键因素建立变量间的数学关系选择合适的数学工具（函数、方程、不等式等）明确模型的适用范围和局限性模型求解与验证应用数学方法求解模型使用实际数据验证模型准确性分析结果的合理性和敏感性必要时调整模型参数或结构典型例题讲解（）1集合与逻辑题目例题已知集合A={x|x²-5x+6=0}，B={x|x是不大于4的正整数}，求A∩B和A∪B详细步骤解题技巧先求出集合A和集合B的元素根据交集和并集的定义集合A x²-5x+6=0A∩B={x|x∈A且x∈B}={2,3}（x-2）（x-3）=0A∪B={x|x∈A或x∈B}={1,2,3,4}x=2或x=3解题要点所以A={2,3}•明确集合的表示方法集合B不大于4的正整数•准确求出每个集合的元素B={1,2,3,4}•理解交集、并集的定义典型例题讲解（）2函数与方程题目例题求函数fx=2x³-3x²-12x+5的单调区间详细步骤图像分析与计算方法求fx的导函数fx=6x²-6x-12=6x²-x-2令fx=0x²-x-2=0x-2x+1=0x=2或x=-1这两点将数轴分为三个区间-∞,-1,-1,2,2,+∞在每个区间内选取一点，代入fx•当x=-2时，f-2=6[-2²--2-2]=64+2-2=6×4=240•当x=0时，f0=60²-0-2=-120•当x=3时，f3=63²-3-2=69-3-2=6×4=240根据导数符号判断函数的单调性•当fx0时，函数单调递增•当fx0时，函数单调递减得到函数的单调区间•函数在-∞,-1上单调递增•函数在-1,2上单调递减数学学习方法建议课前预习与课后复习重点难点突破技巧课前预习•识别关键概念，理解而非记忆•多角度思考问题，建立知识连接•浏览教材内容，了解核心概念•寻找类比和图形化表示，直观理解•记录疑问点，带着问题听课•分类归纳典型题型，总结解题模式•尝试解决简单例题，建立初步认识•多做变式题，培养应变能力课后复习•适时寻求帮助，不积累疑问•整理课堂笔记，梳理知识框架•复现课堂例题，加深理解•完成课后习题，及时巩固错题整理与反思•建立错题本，记录错因分析•分类整理错题，找出薄弱环节•定期复习错题，避免重复错误•反思解题过程，而非仅关注结果数学考试应试技巧时间管理题型分析答题规范与书写•先浏览全卷，了解题•选择题排除法缩小•卷面整洁，字迹清晰型分布范围•书写公式时注意准确•按难易程度合理分配•填空题计算精确，性时间注意单位•解答过程完整，步骤•遇到难题先跳过，确•解答题理清思路再清晰保简单题得分动笔•适当添加辅助线或标•预留检查时间，特别•证明题逻辑严密，注关注计算过程步骤清晰•计算结果要有单位和•掌握答题节奏，避免•应用题审题准确，解释在单题上耗时过长建模合理数学学习资源推荐优质教材与辅导书在线课程与视频数学竞赛与兴趣小组•人教版高中数学教材（基础扎实）•中国大学MOOC数学课程•全国高中数学联赛（提高水平）•《高中数学知识大全》（系统梳理）•学而思网校高中数学专题•希望杯数学邀请赛（普及性强）•《数学奥林匹克辅导》（提高思维）•Khan Academy数学视频（英文）•学校数学兴趣小组（同伴学习）•《五三》《一本》系列（题型多样）•3Blue1Brown数学可视化系列•数学建模竞赛（应用数学）•《数学解题方法与技巧》（方法指导）•知乎、B站优质数学讲解•GeoGebra几何作图（直观理解）•微信公众号数学星球、高中数学课堂互动与思考题小组讨论题实际应用问题

1.讨论函数y=ax²+bx+c的图像与参数a,b,c的关系

1.设计问题一个圆柱形水箱，底面半径为r，高为h，容积为V，如何确定r和h的值，使得水箱的表面积最小？

2.探究三角函数sinA+B与sin Acos B+cos Asin B的关系，并尝试推导证明

3.小组合作解决在一个四面体中，能否所有的棱长都相等？如果能，这样的四面体有什么特点？拓展思考题ˣ

1.研究不同函数的增长速度x²、x³、

2、x!，当x趋向无穷时，哪个函数增长最快？

2.若a,b,c为三角形三边长，试证明a²+b²+c²≥2ab+bc+ca/

33.思考为什么e^iπ+1=0被称为最美丽的数学公式？它连接了哪些数学概念？

2.经济学应用某产品的成本函数为Cx=2000+50x-

0.1x²，其中x为产量求生产多少件产品时，平均成本最低？总结与展望迈向更高数学殿堂的准备持续积累与创新思维高中数学学习的关键点高中数学是更高数学学习的基础数学学习是持续积累的过程•为大学数学课程打下基础高中数学学习需要掌握以下关键要素•打牢基础，积累解题经验•数学思维对各专业学习都有帮助•概念的准确理解是基础•培养数学直觉，形成思维习惯•培养严谨的科学态度和创新精神•公式定理的灵活运用是关键•多角度思考问题，提升解决问题能力•为未来职业发展提供问题解决能力•数学思维方法的培养是核心•强化空间想象和逻辑推理能力•解题技巧的积累是提高分数的捷径•从会做题到懂数学的提升•学科内外知识的融会贯通是最高境界。