高中数学概念教学课件

高中数学概念教学课件第一章集合与常用逻辑用语集合论是现代数学的基础，它为我们提供了严格描述数学对象的语言和工具本章我们将学习集合的基本概念与表示方法•集合间的关系（子集、相等集）•集合的基本运算（并集、交集、补集）•集合在实际问题中的应用•集合的基本概念集合的定义集合是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素1我们用大写字母表示集合，如、、等；用小写字母表示元素，如、、A BC ab等c若元素属于集合，记作∈；若不属于，记作∉a Aa Aa Aa A常见数集自然数集•N={0,1,2,3,...}正整数集•N+={1,2,3,...}整数集•Z={...,-2,-1,0,1,2,...}有理数集（可表示为分数的数）•Q集合的表示方法列举法描述法将集合中的所有元素一一列举出来，用用集合的元素的共同特征来描述集合，大括号括起来格式为具有某种特性{x|x}例如表示由例如是小于的正整数表A={1,3,5,7,9}1,3,C={x|x10}这五个元素组成的集合示由到的所有正整数组成的集合5,7,919例题用描述法表示所有偶数当集合元素较多或无限时，可的集合用省略号表示，如B={2,解∈，其中表示所有正偶数集合E={x|x=2n,n Z}n4,6,...}取遍所有整数集合间的基本关系子集真子集相等集如果集合中的每个元素都是集合中的元素，如果⊆，且（即中至少有一个元素不如果⊆且⊆，则称集合与集合相等，A B A B A≠B B A BB A A B则称是的子集，记作⊆属于），则称是的真子集，记作⊂记作A BA BA A BA BA=B任何集合都是自身的子集，即⊆即两个集合所含的元素完全相同AA空集∅是任何集合的子集例题判断集合关系设，，，判断它们之间的关系A={1,2,3}B={1,2,3,4,5}C={1,2,3}解⊂（是的真子集），（与相等）A BA BA=C AC集合的基本运算并集∪∈或∈A B={x|x Ax B}由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合A B交集∈且∈A∩B={x|x Ax B}韦恩图是表示集合运算的直观工具，可以清晰展示各个集由所有既属于集合又属于集合的元素组成的集合合之间的关系和运算结果A B补集∁∈且∉UA={x|x Ux A}在全集中，不属于集合的所有元素组成的集合U A集合运算满足一系列重要性质，如交换律、结合律、分配律等，这些性质是解决集合问题的重要工具典型例题解析问题某班级有名学生，其中人喜欢数学，人喜403530欢物理，人同时喜欢数学和物理求28只喜欢数学的学生人数

1.只喜欢物理的学生人数

2.既不喜欢数学也不喜欢物理的学生人数

3.分析与解答设集合表示喜欢数学的学生，表示喜欢物理的学生，全集为全班学生M PU已知，，|M|=35|P|=30|M∩P|=28只喜欢数学的学生人

1.|M-P|=|M|-|M∩P|=35-28=7只喜欢物理的学生人

2.|P-M|=|P|-|M∩P|=30-28=2既不喜欢数学也不喜欢物理∁∪∪

3.|UM P|=|U|-|M P|=40-35+人30-28=40-37=3集合理论在统计分析、逻辑推理和概率计算中有广泛应用，是解决多种实际问题的有力工具第二章函数的概念与性质函数是描述变量之间依赖关系的数学工具，是高中数学的核心概念之一本章我们将学习函数的定义与基本概念•函数的表示方法•函数的基本性质•特殊函数类型•函数思想贯穿整个高中数学，理解函数将帮助我们建立变量间关系的数学模型函数的定义函数的映射关系设、是两个非空数集，如果按照某种对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中A Bf Ax B都有唯一确定的元素与之对应，则称为从集合到集合的函数y f:A→BA B记作，其中∈，∈y=fx x A yB称为自变量，其取值范围称为定义域xA称为因变量，对应的值的集合称为值域y例题判断下列关系是否为函数例1y=x²对于每个值，值唯一确定，所以是函数x y例2x²+y²=1对于某些值（如），有两个值（或），不满足唯一对应，所以不是函数x x=0y y=1y=-1例3y²=x当时，没有实数与之对应；当时，每个对应两个值，所以不是函数x0y x≥0x y函数的表示方法解析式图像列表法用代数式表示自变量与因变量之间的对应关在坐标系中用曲线表示函数的几何意义用表格列出自变量和因变量的对应值系函数图像上的点表示与的对应关系适用于离散数据或有限定义域的函数x,y x y例如，，y=2x+3y=sin x y=x²例题画出函数的图像y=|x|-2解析先画出的图像（形）

1.y=|x|V将整个图像向下平移个单位得到的图像

2.2y=|x|-2函数图像能直观地展示函数的性质和变化规律，是研究函数的重要工具函数的基本性质单调性周期性如果在区间上，当时，总有，则称函数如果存在一个正数，使得对于函数的定义域内的任意，都有I x1x2fx1fx2fx Tfx x在区间上是单调递增的，则称为周期函数，其中最小的正数称为函数I fx+T=fx fxT的最小正周期如果在区间上，当时，总有，则称函数I x1x2fx1fx2fx在区间上是单调递减的有界性I奇偶性如果存在实数，使得对于定义域内的任意，都有，M x|fx|≤M则称函数在其定义域上有界fx如果对于定义域内的任意，都有，则称为奇函x f-x=-fx fx数如果对于定义域内的任意，都有，则称为偶函数x f-x=fx fx例题判断函数的性质fx=2x³-x12单调性奇偶性，当或时，，fx=6x²-1x-1/√6x1/√6fx0f-x=2-x³--x=-2x³+x=-2x³-x=-fx函数递增；当时，，函数递减-1/√6x1/√6fx0所以是奇函数fx3周期性不存在使得，所以不是周期函数T0fx+T=fx fx复合函数与反函数复合函数反函数设函数的定义域为，函数的定义域为，且⊆，则由下式确定的函数设函数的定义域为，值域为如果存在函数，使得对于任意的∈，都有，且y=fu Iu=gx D gD Iy=fx DR x=gy x Dg[fx]=x对于任意的∈，都有，则称函数是函数的反函数，记作y Rf[gy]=y gf f-1，∈y=f[gx]xD反函数存在的条件函数必须是单射（即严格单调函数）称为由与构成的复合函数，记作∘gx fuf g例题求函数的反函数fx=3x-2解设反函数为y=f-1x将原函数写成

1.y=3x-2交换和的位置

2.xyx=3y-2解出

3.y y=x+2/3所以，f-1x=x+2/3注函数与其反函数的图像关于直线对称y=fx y=f-1xy=x第三章代数式与恒等变形代数式是由数字、字母、运算符号和括号按照一定规则组成的式子，是数学语言的基本表达方式恒等变形是代数式处理的重要技巧，对解题有重要作用多项式由若干个单项式的和组成的代数式例3x²-2x+5分式分子或分母中至少有一个是多项式的式子例x²-1/x+2根式含有根号的代数式例√x²+1代数式的概念多项式分式根式形如的代数式，形如的代数式，其中和是多项式，形如或的代数式，其中为大于的整数anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0Px/Qx PxQx√na a1/n n1其中是常数，是非负整数且an,an-1,...,a1,a0n Qx≠0当为偶数时，要求；当为奇数时，可以是任何n a≥0n a多项式的次数是指其中最高次项的次数分式的化简需要注意分母不为零的条件实数例题代数式的化简例化简例化简1a²-b²/a-b2√8-√18+√50解解a²-b²/a-b=[a-ba+b]/a-b=a+b a≠b√8-√18+√50=2√2-3√2+5√2=4√2恒等变形技巧因式分解配方法将多项式表示为几个因式的乘积将二次式转化为完全平方式的形式提取公因式例•2x²+6x=2xx+3x²+6x+8公式法•=x²+6x+9-9+8•a²-b²=a+ba-b=x+3²-1•a²+2ab+b²=a+b²十字相乘法•a²-2ab+b²=a-b²±±∓•a³b³=a ba²ab+b²用于因式分解形如的多项式ax²+bx+c分组因式分解•寻找两个数和，使得且p qp+q=b pq=ac例6x²+5x-6需要，p+q=5pq=-36取，p=9q=-4=6x²+9x-4x-6=3x2x+3-22x+3=2x+33x-2恒等变形应用举例例题利用恒等变形解方程例解方程1x⁴-5x²+4=0解令，则方程变为u=x²u²-5u+4=0因式分解u-4u-1=0得或u=4u=1即或x²=4x²=1所以±或±x=2x=1例化简2√x+h-√x/h h≠0解√x+h-√x/h=[√x+h-√x/h]·[√x+h+√x/√x+h+√x]=[x+h-x]/[h√x+h+√x]=1/√x+h+√x恒等变形是高中数学的基本技能，在函数、方程、不等式、几何等领域都有广泛应用典型应用题问题某工厂生产一种产品，每天固定成本为元，单位产品的可变成本为元市场售价为每件元10002050求总成本与产量的函数关系

1.Cx x求利润与产量的函数关系

2.Px x计算盈亏平衡点（即利润为时的产量）

3.0成本函数收入函数利润函数总成本固定成本可变成本总收入单价×产量利润总收入总成本Cx=+Rx==-Cx=1000+20x Rx=50x Px=Rx-Cx=50x-1000+20x=30x-1000盈亏平衡点计算Px=030x-1000=0件x=

33.

33...由于产量为整数，需要生产至少件才能盈利34第四章几何基础与图形性质几何是研究空间形式和空间关系的数学分支，它为我们理解和描述现实世界中的形状和结构提供了工具对称性立体几何几何变换研究图形的轴对称、中心对称等性质，研究三维空间中的几何体，如棱柱、棱研究平移、旋转、反射等变换对图形的是几何变换的基础锥、圆柱、圆锥、球等影响，是现代几何的重要内容几何知识在建筑、设计、工程、物理等领域有着广泛的应用，是我们理解世界的基本工具轴对称与中心对称轴对称中心对称如果一个图形沿着某条直线折叠，两部分能够完全重合，则称该图形关于直线轴对如果一个图形上任意一点，关于点的对称点也在该图形上，则称该图形关于点l lP OP O称，直线称为该图形的对称轴中心对称，点称为该图形的对称中心l O特点特点对称点到对称轴的距离相等对称点和对称中心的连线经过对称中心••连接对称点的线段被对称轴垂直平分对称点到对称中心的距离相等••例如等腰三角形、矩形、圆等都具有轴对称性例如平行四边形、圆等都具有中心对称性例题找出对称轴和对称中心几何图形的对称性是判断图形特性的重要依据，在解题中常用于简化问题和寻找性质圆锥的性质与计算圆锥的基本元素圆锥的计算公式圆锥是由一个圆和圆外一点（顶点）连底面积底S=πr²接构成的立体图形侧面积侧S=πrl底面圆形的底面其中是底面半径，是母线长度r l顶点与底面相对的点全面积底侧轴连接顶点和底面圆心的线段S=S+S=πr²+πrl母线从顶点到底面圆周上任意一点的体积V=1/3πr²h线段其中是高h高顶点到底面的垂线段长度母线、高、底面半径的关系l²=h²+r²圆锥展开图圆锥展开图的性质圆锥的侧面展开后是一个扇形•扇形的半径等于圆锥的母线长l•扇形的弧长等于底面圆的周长2πr•扇形的圆心角θ=底面周长/母线长×角度制单位=2πr/l×180°/π=360°r/l圆锥的完整展开图由一个圆形（底面）和一个扇形（侧面）组成例题计算圆锥相关面积已知圆锥的底面半径r=3cm，高h=4cm，求

1.母线长l

2.侧面展开图的扇形半径和圆心角

3.侧面积和全面积典型几何题解析问题一个直圆锥，底面半径为，母线长为现将此3cm5cm圆锥沿着一条母线剖开并展平，求展开后的扇形的圆心角大小分析解答圆锥侧面展开后是一个扇形，扇形半径等扇形圆心角底面周长母线长×角θ=/于母线长，弧长等于底面圆的周长度制单位l2πr已知，×°r=3cm l=5cm=2πr/l180/π××°=2π3/5180/π×°=6π/5180/π×°=6180/5°=216验证我们也可以用公式°直接计算θ=360r/l°×°×°θ=3603/5=

3600.6=216第五章三角函数基础三角函数是数学中描述角度与边长关系的重要函数，广泛应用于物理、工程、天文等领域本章内容三角函数的定义与基本概念•三角函数的图像与性质•三角函数的基本公式与恒等式•三角函数的应用•三角函数是高中数学的重要组成部分，为后续学习提供了重要工具理解三角函数既可以从直角三角形入手，也可以从单位圆的角度来理解，两种视角相辅相成，有助于全面把握三角函数的本质三角函数定义基于直角三角形的定义基于单位圆的定义在直角三角形中，对于角在单位圆（半径为的圆）上，对于任意角度α1θ正弦对边斜边正弦点的坐标•sinα=/•sinθ=y余弦邻边斜边余弦点的坐标•cosα=/•cosθ=x正切对边邻边正切•tanα=/=sinα/cosα•tanθ=sinθ/cosθ=y/x x≠0这种定义仅适用于°°的情况这种定义适用于任意角度0α90通过单位圆定义，三角函数的定义域扩展到了全体实数，使得三角函数成为真正的函数，具有周期性等重要性质三角函数图像与性质正弦函数y=sinx定义域（全体实数）R值域[-1,1]周期2π奇偶性奇函数余弦函数y=cosx定义域（全体实数）R值域[-1,1]周期2π奇偶性偶函数正切函数y=tanx一般三角函数定义域，∈x≠kπ+π/2k Z形如的函数，其中值域（全体实数）y=Asinωx+φR为振幅，表示图像的伸缩周期•Aπ为角频率，与周期有关•ωT=2π/ω奇偶性奇函数为初相位，表示图像的平移•φ例题绘制图像y=2sin3x+π/4分析（振幅），（角频率），（初相位）A=2ω=3φ=π/4振幅为，所以图像轴方向拉伸为原来的倍

1.2y2周期，所以图像轴方向压缩为原来的

2.T=2π/ω=2π/3x1/3初相位为，所以图像向左平移÷个单位

3.π/4π/43=π/12三角函数的基本公式基本关系式和差公式±±•sin²α+cos²α=1•sinαβ=sinα·cosβcosα·sinβ±∓•tanα=sinα/cosα•cosαβ=cosα·cosβsinα·sinβ±±∓•sinα+π=-sinα•tanαβ=tanαtanβ/1tanα·tanβ•cosα+π=-cosα•sinα+2π=sinα•cosα+2π=cosα倍角公式•sin2α=2sinα·cosα•cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α•tan2α=2tanα/1-tan²α例题利用公式化简表达式°°sin45+cos45解题思路解答过程利用°的特殊值°°°°45sin45=cos45=1/√2sin45+cos45=1/√2+1/√2=2/√2=√2验证我们也可以用和角公式°°°sin45+cos45=√2·sin45+π/4=√2·sinπ/2=√2·1=√2三角函数应用题问题一座灯塔高米，站在距灯塔底部米处，测得灯塔顶部的仰角为求50300α角的大小

1.α从观测点到灯塔顶的距离

2.解析设观测点为，灯塔底部为，灯塔顶部为ABC已知米，米，∠BC=50AB=300BAC=α求角的大小

1.α在直角三角形中，ABC tanα=BC/AB=50/300=1/6所以°α=arctan1/6≈

9.46求从观测点到灯塔顶的距离

2.AC根据勾股定理AC²=AB²+BC²AC²=300²+50²AC²=90000+2500=92500米AC=√92500≈

304.1三角函数在实际测量、工程设计、物理模型中有广泛应用，是解决现实问题的重要工具第六章统计与概率初步统计与概率是研究数据收集、整理、分析和解释的数学分支，是现代科学研究和决策的重要工具本章内容统计数据的收集与整理•数据的描述与分析•概率的基本概念•随机事件与概率计算•统计与概率思想贯穿于自然科学和社会科学的各个领域，是理解不确定性和做出合理决策的基础统计的基本概念数据的收集数据的描述统计调查是收集数据的主要方法，包括描述数据的集中趋势普查调查总体中的所有个体平均数（算术平均值）••抽样调查只调查总体中的部分个体中位数••众数抽样方法包括•描述数据的离散程度简单随机抽样•分层抽样极差••系统抽样方差••标准差数据的整理•频数分布表与直方图收集到的原始数据需要通过分组、排序等方式进行整理，常用的整理工具有频数分布表是整理大量数据的有效工具，它将数据分组并统计每组的频数频数分布表•茎叶图直方图是频数分布的图形表示，横轴表示数据范围，纵轴表示频数或频率•直方图•折线图•饼图•概率的基本概念随机事件与样本空间概率的定义与性质随机试验在相同条件下可重复进行，且结果不确定的试验古典概型若试验中所有基本事件发生的可能性相同，则事件的概率为A样本空间随机试验所有可能结果的集合，记作包含的基本事件数样本空间中基本事件总数ΩPA=A/随机事件样本空间的子集，常用大写字母、、等表示概率的性质ABC必然事件一定会发生的事件，即样本空间本身对任意事件，•Ω

1.A0≤PA≤1不可能事件一定不会发生的事件，即空集∅必然事件的概率为•

2.1PΩ=1互斥事件不可能同时发生的事件，即∅不可能事件的概率为∅•A∩B=

3.0P=0若、互斥，则∪

4.ABPA B=PA+PB例题简单概率问题从一副扑克牌（张）中随机抽取一张，求抽到红桃的概率52解红桃牌共有张，总共张牌1352红桃P=13/52=1/4=

0.25总结通过本课件的学习，我们系统地掌握了高中数学的核心概念与方法这些知识不仅是应对高考的基础，也是培养逻辑思维和解决问题能力的重要工具希望大家在今后的学习中能够灵活运用这些知识，不断提高数学素养。