函数的概念教学课件

函数的概念教学课件第一章函数的基本概念函数是数学中最基本也是最重要的概念之一，它描述了变量之间的依存关系在本章中，我们将详细探讨函数的定义、本质特征以及基本性质，为后续的数学学习奠定坚实基础目标重点应用理解函数的基本定义函数的定义与符号日常生活中的函数关系•••掌握函数的本质特征函数的单值性科学研究中的函数模型•••识别函数与非函数的区别定义域与值域的概念工程技术中的函数应用•••什么是函数？函数是两个非空集合之间的一种特殊对应关系这种关系有一个关键特征函数是一种确定的对应关系，其中第一个集合中的每个元素，都唯一对应第二个集合中的一个元素更具体地说，如果我们用A表示第一个集合（定义域），用B表示第二个集合（值域），那么函数f是一个规则，它将A中的每个元素x都对应到B中的唯一元素y=fx函数最重要的特征是确定性和唯一性给定一个输入值，函数必须给出一个确定的、唯一的输出值函数的本质输入自变量关系规则输出因变量函数的起点是输入值，也称为自变量这是我函数的核心是一个确定的规则或对应关系，它函数的终点是输出值，也称为因变量这是函们给函数的问题告诉我们如何处理输入值数给我们的答案例如例如例如x=3fx=2x f3=6函数可以看作是一个变换机器，它接收输入值，根据一定的规则进行处理，然后给出输出值这个处理过程是确定的，相同的输入总是产生相同的输出实例分析fx=2x实例分析gx=x²+1在这个函数中在这个函数中规则是将输入值乘以规则是将输入值平方后加•2•1当时，输出为当时，输出为•x=3f3=2×3=6•x=2g2=2²+1=5当时，输出为•x=5f5=2×5=10函数符号介绍在数学中，我们使用特定的符号系统来表示函数最常见的函数例1fx=3x+2表示法是函数名称ffx自变量x这个表达式中当时x=5是函数的名称（也可以用其他字母如等）f g,hf5=3×5+2=17是自变量（输入值）x表示函数作用于的结果（输出值）fx f x例2gt=t²-4读作或函数在处的值f ofxfx函数名称g自变量t函数也可以有其他表示法，例如当时t=-3•y=fx•x→fx（直接用表达式表示）•y=2x+3函数输入决定唯一输出函数可以形象地理解为一个机器，这个机器接收输入值，然后通过内部的处理机制（函数规则），产生唯一确定的输出值函数机器的工作原理将输入值放入机器

1.x机器内部按照特定规则进行处理

2.机器给出唯一的输出值

3.fx关键特性同一个输入值，无论何时放入机器，都会得到同样的输出值这体现了函数的确定性和唯一性函数的两个关键性质对应关系函数规则确定了输入值与输出值之间的映射关系这个关系必须满足确定性和唯一性定义域所有可能的输入值构成的集合，通常记为Domf定义域表明函数可以接受哪些值作为输入值域所有可能的输出值构成的集合，通常记为Ranf值域表明函数能够产生哪些值作为输出定义域的确定值域的确定定义域是函数能够接受的所有输入值的集合确定定义域时，需要考虑值域是函数所有可能输出值的集合确定值域的常用方法

1.数学运算的合法性（如不能除以零）

1.代入法尝试不同的输入值，观察输出

2.函数表达式的有效性（如不能对负数开偶次方根）

2.图像法通过函数图像判断输出值的范围

3.问题背景的实际限制（如人的年龄不能为负）

3.数学分析通过函数的性质分析输出范围如果未特别指定，函数的定义域通常是使函数表达式有意义的所有实数集合确定值域通常比确定定义域更复杂，需要进一步的数学分析函数的单值性函数最重要的特性之一是单值性，这意味着对于定义域中的每一个元素x，函数f只会对应值域中的唯一一个元素fx单值性是区分函数与一般对应关系的关键标准如果一个对应关系不满足单值性，即存在一个输入值对应多个输出值，那么这个关系就不是函数理解单值性的要点每个输入值x只能对应一个输出值fx不同的输入值可以对应相同的输出值•定义域中的每个元素都必须有对应的输出值注意单值性只要求一个输入对应一个输出，并不禁止多个不同输入对应同一个输出合法的函数映射关系每个输入只对应一个输出例子分析函数fx=x²中•x=2时，f2=4•x=-2时，f-2=4不同的输入值对应相同的输出值是允许的，这仍然是函数不是函数的关系举例并非所有的对应关系都是函数当一个关系不满足单值性时，它就不是函数让我们看一些不是函数的例子例1输入对应多个输出关系R={1,2,2,3,3,7,3,9,4,5}在这个关系中，输入值3对应了两个不同的输出值7和9，违反了函数的单值性，因此R不是函数例2圆的方程x²+y²=9（半径为3的圆）如果我们将x视为输入，y视为输出，那么对于大多数x值（如x=2），都有两个对应的y值（y=±√9-x²）因此，这个关系不能表示为y关于x的函数这种一个输入对应多个输出的关系不是函数例3多值对应平方根关系对于x是y的平方这个关系•当y=4时，x可以是2或-2•当y=9时，x可以是3或-3如果将y视为输入，x视为输出，这不是函数关系解决方案垂直线测试法应用实例判断一个图像是否表示函数关系的简便方法是垂直线测试法如果图像上任意垂直线最多只与图像相交于一点，则该图像表示的关系是函圆形x²+y²=9数；如果存在某条垂直线与图像相交于多点，则该关系不是函数垂直线在大多数位置与圆相交两次垂直线测试的原理结论不是函数关系垂直线代表固定的值（输入值）如果一条垂直线与图像相交于多点，意味着x同一个值对应多个值（输出值），这违反了函数的单值性x y抛物线y=x²应用步骤任意垂直线最多与抛物线相交一次想象在图像上从左到右移动一条垂直线

1.结论是函数关系观察这条线是否会在某处与图像相交多次

2.如果存在多次相交的情况，则关系不是函数

3.垂直线测试法提供了一种直观的方式来判断关系是否是函数，特别适用于图像分析这种测试基于函数的单值性，即一个输入值只能对应一个输出值垂直线测试示意图非函数图像函数图像在这个图像中，任意垂直线与曲线最多相交于一个点，表明对于每个x值，最多只有一个对应的y值根据垂直线测试，这个关系是函数典型的函数图像包括多项式函数（如直线、抛物线）、指数函数、对数函数等第二章函数的表示方法函数可以通过多种方式表示，每种表示方法都有其特点和适用场景在本章中，我们将详细介绍函数的四种主要表示方法，并通过具体实例展示如何灵活运用这些表示方法本章目标掌握函数的四种表示方法及其特点•学会在不同表示方法之间进行转换•理解每种表示方法的优缺点和适用场景•重点内容文字描述、表格列举、图像绘制、公式表达•分段函数的表示方法•定义域与值域的确定方法•理解函数的多种表示方法，不仅有助于我们从不同角度理解函数的性质，还能帮助我们在实际应用中选择最合适的表示方式来解决问题函数的四种表示文字描述表格列举用自然语言描述函数关系，直观易懂但不够精确通过表格列出输入值和对应的输出值，直观且具体，但只能表示有限的数据点例一个数的平方加上这个数的函数例通过表格列出x和fx的对应值图像绘制公式表达在坐标系中绘制函数图像，形象直观，便于观察函数整体性质用数学公式精确表达函数关系，简洁精确，便于计算和推导例在坐标平面上绘制y=x²的抛物线例fx=x²+x各表示方法的特点比较表示方法优点缺点适用场景文字描述直观易懂，接近自然语言不够精确，可能产生歧义初步概念解释，日常交流表格列举具体直观，数值准确只能表示有限数据点离散数据分析，实验数据记录图像绘制形象直观，展示整体趋势精确度有限，绘制复杂函数性质分析，趋势展示公式表达精确简洁，便于计算和推导抽象，不够直观数学分析，程序编写在实际应用中，我们常常需要综合使用多种表示方法，相互补充，全面理解函数例函数fx=x²的多种表示

1.文字描述

3.图像绘制函数f将每个输入的实数x映射为其平方值也可以描述为输入一个数，输出这个数的平方

2.表格列举x fx=x²-39-24-1100112439表格提供了函数在特定点的具体值，便于我们了解函数在这些点的具体行为图像是一条开口向上的抛物线，通过原点，关于y轴对称图像直观地展示了函数的整体形状和变化趋势

4.公式表达fx=x²公式简洁精确地表达了函数关系，便于进行数学运算和分析函数的主要特征•定义域全体实数，即-∞,+∞•值域非负实数，即[0,+∞•当|x|1时，|fx||x|•当|x|1时，|fx||x|•函数在x=0处取最小值0函数的定义域与陪域在深入理解函数时，我们需要明确三个重要概念定义域、陪域和值域值域Range定义域Domain定义值域是函数实际输出值的集合，是定义域中所有元素通过函数映射后得到的集合值域总是陪域的子集在某些情况下，值域可能等于陪域定义函数的定义域是函数的输入值（自变量）的集合，即函数可以接受的所有可能输入值确定定义域时，需要考虑

1.函数表达式中的运算必须合法（如不能除以零）

2.函数必须有实数值（如不能对负数取偶次方根）

3.问题背景可能有额外限制（如人的年龄不能为负）陪域Codomain定义陪域是包含所有可能输出值的集合，是函数输出的目标集合陪域是函数定义时指定的，表示函数输出可能落入的范围三者关系例fx=√x函数定义函数图像函数fx=√x表示对输入值x取平方根定义域分析由于我们不能对负数取平方根（在实数范围内），因此函数fx=√x的定义域为定义域x≥0，即[0,+∞验证•当x=0时，f0=√0=0（合法）•当x=4时，f4=√4=2（合法）•当x=-1时，f-1=√-1（在实数范围内不合法）值域分析对于所有x≥0，√x的结果也是非负的，且可以取到任意非负实数因此函数的主要特征值域y≥0，即[0,+∞•函数在定义域内单调递增•函数图像通过原点0,0•随着x的增大，函数增长速度逐渐减缓•当x=0时，函数在原点的切线是垂直的表格表示（部分值）x fx=√x00114293164函数fx=√x是一个重要的基本函数，它在数学和物理学中有广泛的应用理解其定义域和值域对于正确应用这个函数至关重要分段函数介绍实例绝对值函数分段函数是指在不同的定义域区间上有不同表达式的函数它允许我们在不同条件下定义不同的函数行为绝对值函数是最常见的分段函数之一分段函数的一般形式另一个例子其中D₁,D₂,...,D是互不相交的集合，且它们的并集构成整个定义域ₙ在这个函数中分段函数的特点•当x0时，函数值恒为5•在不同区间有不同的函数表达式•当x≥0时，函数值为x的平方•各区间的边界点需要特别注意定义域全体实数•图像在区间交界处可能出现断点或折点•定义域是所有区间的并集值域[5,+∞分段函数在实际应用中非常广泛，例如税率计算、分段计费、物理模型等它允许我们根据不同条件定义不同的函数行为，增强了函数建模的灵活性分段函数的连续性需要特别关注在区间交界处，如果左右极限相等且等于函数值，则函数在该点连续分段函数图像示意例1绝对值函数例2阶跃函数阶跃函数在分界点处函数值发生跳跃，表现为图像的不连续分段定义这种函数在x=0处是不连续的，因为左右极限不相等第三章函数的实际应用与练习函数不仅是数学中的抽象概念，更是描述现实世界中各种关系的有力工具在本章中，我们将探讨函数在日常生活和各学科中的实际应用，并通过练习题巩固所学知识1生活中的函数探索日常生活中的函数关系，如温度转换、商品定价等2函数的表示方法应用学习如何选择合适的方法表示不同类型的函数关系3函数的性质分析通过实例分析函数的单调性、奇偶性、周期性等性质4综合练习与应用通过练习题巩固所学知识，培养应用函数解决实际问题的能力在这一章中，我们将看到函数如何帮助我们理解和描述现实世界中的各种关系，从而培养将数学知识应用于实际问题的能力通过丰富的例子和练习，帮助学生真正掌握函数的概念和应用方法生活中的函数例子温度转换函数物体运动函数商品定价函数摄氏度与华氏度之间的转换可以表示为函数匀速运动中，距离与时间的关系可表示为函数折扣后的商品价格可表示为函数FC=9/5×C+32st=v×t Px=x×1-d其中C代表摄氏温度，FC代表对应的华氏温度其中t代表时间，v代表速度，st代表时间t时的位其中x代表原价，d代表折扣率，Px代表折后价移格例如当C=0℃时，F0=32℉例如速度为5m/s的物体，3秒后移动了s3=15例如原价100元的商品打8折，P100=80元米函数在自然科学中的应用函数在社会科学中的应用物理学速度-时间函数、功率-电压函数经济学供需函数、成本-产量函数化学反应速率-温度函数、浓度-时间函数心理学学习曲线函数、刺激-反应函数生物学种群增长函数、药物代谢函数社会学人口增长函数、信息传播函数地质学地震强度-距离函数、气压-高度函数教育学学习效果-时间函数、记忆保持函数理解函数在实际生活中的应用，有助于我们认识到数学不仅仅是抽象的符号和公式，更是描述现实世界的有力工具每当我们需要描述输入如何影响输出的关系时，函数就能派上用场例树的高度与年龄函数在园林研究中，科学家经常建立树木生长模型假设某种树在生长初期，其高度与年龄近似成线性关系函数模型设ht表示树龄为t年的树的高度（单位厘米），通过观测数据建立模型这个函数表明树每年大约长高20厘米函数分析自变量t树的年龄（单位年）因变量ht树的高度（单位厘米）定义域t≥0（年龄不能为负）值域ht≥0（高度不能为负）应用实例利用此模型，我们可以•预测树龄10年时的高度h10=20×10=200厘米=2米•估计一棵150厘米高的树的年龄解方程ht=150，得t=

7.5年数据表示树龄（年）树高（厘米）120240510071401020015300注意该模型仅适用于树的早期生长阶段实际上，树的生长会随着年龄增长而减缓，更复杂的模型可能需要使用非线性函数函数的序偶表示法函数可以看作是有序对x,fx的集合，其中x取遍定义域中的所有元素这种表示方法称为函数的序偶表示法示例序偶表示的定义例1平方函数设f是定义在集合A上的函数，其值域包含在集合B中，则函数f可以表示为函数fx=x²，定义域为{2,3,4}，其序偶表示为f={2,4,3,9,4,16}例2常数函数这个表达式表示f是所有形如x,fx的有序对的集合，其中x取遍定义域A中的所有元素函数gx=5，定义域为{1,2,3,4}，其序偶表示为序偶表示的特点g={1,5,2,5,3,5,4,5}•每个有序对的第一个元素来自定义域•每个有序对的第二个元素是对应的函数值•定义域中的每个元素恰好出现在一个有序对中•没有两个不同的有序对具有相同的第一个元素序偶表示法特别适合描述定义域有限的函数，或者用于离散数据的函数重要性质从序偶表示法可以清晰地看出函数的基本性质函数的图像与坐标系函数的图像是直观理解函数性质的重要工具在数学中，我们使用直角坐标系将函数关系可视化函数图像的定义函数fx的图像是平面上所有满足y=fx的点x,y的集合，其中x取遍函数的定义域从序偶角度看，函数的图像就是将所有有序对x,fx视为平面上的点的集合坐标系中的函数表示•横轴（x轴）表示自变量•纵轴（y轴）表示因变量•点a,b表示当x=a时，fx=b图像与函数性质的关系•函数的定义域对应图像在x轴上的投影•函数的值域对应图像在y轴上的投影•图像的形状反映了函数的变化规律基本函数图像线性函数fx=ax+b函数的常见误区误区一忽视定义域限制误区二混淆函数与方程误区三将多对一关系误认为函数函数必须在其定义域内有意义例如，fx=1/x的定义域不包括x函数描述两个变量之间的对应关系，而方程描述两个表达式之间的如果一个输入对应多个输出，则这种关系不是函数例如，y²=x=0，因为除以零是没有意义的相等关系例如，y=x²是函数，而x²+y²=1是方程（不是函不是y关于x的函数，因为对于x0，y可以取两个不同的值（正值数）或负值）正确理解始终考虑函数的定义域，特别是在处理分式、根式等特殊函数时正确理解函数必须满足一个输入对应唯一输出的条件正确理解应用垂直线测试法判断关系是否为函数误区四忽视分段函数的连续性误区五混淆函数的表达式与函数本身分段函数在分界点处可能不连续例如，函数函数fx=x²和gx=x·|x|表达式不同，但实际上是同一个函数，因为对于任意x，fx=gx正确理解函数的本质是输入与输出之间的对应关系，而不仅仅是表达式在x=0处是连续的，因为f0⁻=0²=0，f0⁺=0+1=1，所以f0⁻≠f0⁺，函数在x=0处不连续正确理解检查分段函数在分界点处的左右极限是否相等避免这些常见误区，需要深入理解函数的基本定义和性质，养成严谨的数学思维习惯练习题判断下列关系是否为函数1问题答案判断集合R={1,2,2,3,1,4}是否定义了一个函数？如果不是，请解释原因集合R={1,2,2,3,1,4}不是函数分析解释要判断一个关系是否为函数，我们需要检查是否满足函数的基本条件每个输入值最多对应一个输出值因为输入值1对应了两个不同的输出值2和4，违反了函数的单值性原则函数要求每个输入值最多对应一个输出值检查集合R中的有序对•1,2输入为1，输出为2•2,3输入为2，输出为3•1,4输入为1，输出为4我们发现输入值1在集合中出现了两次，且对应不同的输出值2和4这违反了函数的单值性条件延伸思考如果修改集合为R={1,2,2,3,3,4}，这将是一个函数，因为每个输入值只对应一个输出值如果修改集合为R={1,2,2,2,3,2}，这也是一个函数，因为尽管多个输入对应同一个输出，但每个输入只对应一个输出判断关系是否为函数的关键是检查是否存在一个输入对应多个输出的情况可以使用集合表示、图像表示或垂直线测试法来辅助判断练习题2写出函数fx=3x+1的值表问题值表对于函数fx=3x+1，请计算当x取以下值时的函数值，并编制值表x fx=3x+1x=-2,-1,0,1,2,3-2-5解答过程-1-2我们使用函数表达式fx=3x+1计算各个点的函数值01•当x=-2时f-2=3×-2+1=-6+1=-5•当x=-1时f-1=3×-1+1=-3+1=-214•当x=0时f0=3×0+1=0+1=127•当x=1时f1=3×1+1=3+1=4•当x=2时f2=3×2+1=6+1=7310•当x=3时f3=3×3+1=9+1=10图像表示函数分析从值表和图像中，我们可以观察到函数fx=3x+1的一些性质

1.这是一个线性函数，其图像是一条直线

2.函数的斜率为3，表示x每增加1，函数值增加

33.函数的y轴截距为1，表示当x=0时，函数值为

14.函数在整个实数域上都有定义，因此定义域为-∞,+∞

5.函数值可以取任意实数，因此值域为-∞,+∞练习题3用垂直线测试判断图像是否为函数图像A图像B图像C分析对图像A应用垂直线测试在图像上从左至右移动垂直线，观察每条垂直线与图像的交点数量我们发现，任意垂直线与图像A最多交于一点结论图像A表示的关系是函数分析对图像B应用垂直线测试当垂直线穿过圆的中心区域时，它与圆相交于两点由于存在垂直线与图像B相交于多点的情况，这违反了函数的单值性结论图像B表示的关系不是函数分析对图像C应用垂直线测试图像C是一个半圆（圆的上半部分）任意垂直线与这个半圆最多相交于一点结论图像C表示的关系是函数垂直线测试法的原理回顾函数的扩展知识点（预告）在掌握了函数的基本概念后，我们可以进一步探索更深层次的函数性质和类型以下是一些将在后续课程

2.反函数的概念中学习的重要扩展知识点当函数f是双射时，我们可以定义其反函数f⁻¹，使得f⁻¹fx=x对所有x都成立

1.单射、满射与双射反函数的图像是原函数图像关于y=x对称的图像单射函数（Injective Function）又称一对一函数，指不同的输入值映射到不同的输出值，即x₁≠x₂则fx₁≠fx₂图像特征任意水平线与图像最多相交一次满射函数（Surjective Function）指函数的值域等于陪域，即对于陪域中的每个元素y，都存在至少一个x，使得fx=y双射函数（Bijective Function）同时是单射和满射的函数，在这种函数中，每个输入都对应唯一的输出，每个输出也对应唯一的输入

3.其他重要函数类型复合函数由两个函数组合而成，形如f∘gx=fgx隐函数函数关系以方程形式给出，如x²+y²=1参数方程用参数表示的函数，如x=cost,y=sint这些进阶概念将帮助我们建立更完整的函数理论体系，为后续学习微积分、线性代数等高等数学课程奠定基础深入理解这些概念，有助于我们用更精确的数学语言描述现实世界中的各种关系课堂小结函数的基本概念函数的表示方法函数的判定与应用•函数是一种特殊的对应关系，每个输入对应唯•文字描述用自然语言表述函数关系•垂直线测试判断关系是否为函数一输出•表格列举列出输入值和对应的输出值•序偶表示将函数视为有序对集合•函数可以用fx表示，x是自变量，fx是因变•图像绘制在坐标系中绘制函数图像•分段函数不同区间有不同表达式的函数量•公式表达用数学公式精确表示函数关系•实际应用理解函数在现实中的广泛应用•函数的定义域是所有可能的输入值集合•函数的值域是所有可能的输出值集合学习成果后续学习建议通过本课程的学习，你应该已经能够为了进一步加深对函数的理解，建议

1.理解并正确应用函数的定义

1.多做练习题，特别是判断函数关系和确定定义域的题目

2.区分函数关系和非函数关系

2.尝试将现实问题转化为函数模型

3.确定函数的定义域和值域

3.学习函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等

4.熟练使用函数的不同表示方法

4.预习下一阶段的函数内容，如反函数、复合函数等

5.解决与函数相关的基础问题函数是数学中最基础也最重要的概念之一，它不仅在数学内部有广泛应用，也是描述现实世界中各种关系的强大工具牢固掌握函数概念，将为后续学习奠定坚实基础谢谢聆听！欢迎提问与讨论感谢大家参与本次函数概念的学习！我们已经系统地了解了函数的定义、表示方法以及应用，希望这些知识对你有所帮助本课程的主要内容

1.函数的基本定义与本质特征

2.函数的单值性与垂直线测试后续学习内容预告

3.函数的多种表示方法

4.定义域、值域与分段函数•函数的性质单调性、奇偶性、周期性

5.函数在实际生活中的应用•特殊函数反函数、复合函数思考与挑战•初等函数指数函数、对数函数、三角函数•函数与微积分极限、导数、积分请思考以下问题，以检验和巩固你的理解

1.请举例一个生活中的函数关系，并用多种方法表示它记住函数是数学中连接不同概念的桥梁，也是我们理解世界

2.如何判断关系y=±√x是否为函数？如果修改它，如何使其成为函数？的强大工具希望你能在未来的学习中发现函数的更多精彩应用！

3.尝试创建一个分段函数，使其在分界点处连续有任何问题或需要进一步的解释，请随时提问！。