排列和组合的教学课件

排列与组合教学课件第一章排列组合基础概念排列组合是现代数学的重要分支，也是解决许多实际问题的有力工具在本章中，我们将介绍排列组合的基本概念、符号表示以及核心计数原理，为后续深入学习奠定基础什么是排列与组合？排列Permutation组合Combination元素有顺序，顺序不同算不同结果元素无顺序，顺序不同算同一结果关键词顺序、次序、排队关键词选择、团队、分组生活实例对比排列示例座位安排组合示例选队员张

三、李

四、王五三人坐三个座位，坐法不同算不同结果阶乘符号（Factorial）介绍定义阶乘是排列组合计算的基础，用感叹号表示特别地，规定0!=1（这是为了使公式普适）常见阶乘值•1!=1•2!=2×1=2•3!=3×2×1=6•4!=4×3×2×1=24•5!=5×4×3×2×1=120分类计数原理（加法原理）如果完成一件事有n种相互独立的方法，则完成这件事的总方法数为各种方法数之和数学表达若事件A有m种方法，事件B有n种方法，且A、B不能同时发生，则完成A或B的方法数为m+n实例选择球的方式红球篮白球篮从装有5个红球的篮子中选择1个球有5种选法从装有8个白球的篮子中选择1个球有8种选法分步计数原理（乘法原理）如果完成一件事需要n个步骤，第1步有m₁种方法，第2步有m₂种方法，...，第n步有m种方法，则完成这件事的总方法数为m₁×m₂×...×mₙₙ数学表达若事件分为两个步骤，第一步有m种完成方法，第二步有n种完成方法，则完成整个事件的方法数为m×n实例穿衣搭配如果你有3件上衣，4条裤子，那么搭配的总方式数为:3×4=12种不同搭配乘法与加法原理示意图加法原理（选择关系）乘法原理（组合关系）若要完成任务有n种互斥的方式，任务完若要完成任务需依次完成多个步骤，任成的总方法数为各方式数之和务完成的总方法数为各步骤方法数之积形象表示或关系—多条平行路径形象表示且关系—树状分支结构这两种原理是解决所有排列组合问题的基础复杂的计数问题往往需要将两种原理灵活结合使用第二章排列（）Permutations排列是研究按照一定顺序进行排列的计数问题在本章中，我们将详细介绍排列的定义、基本公式及各种特殊排列问题的解法排列的定义与公式从n个不同元素中取出r个元素进行排序，得到的有序排列称为排列，记作Pn,r或Anr排列基本公式从n个中选第1个从剩余n-1个中选第2个n种选择n-1种选择从剩余n-2个中选第3个依此类推...n-2种选择直到选完r个例题8人中选3人排队从8人中选择3人排队的不同方式数为全排列与部分排列全排列Full Permutation部分排列PartialPermutation定义n个不同元素全部参与排列定义n个不同元素中取r个r公式Pn,n=n!公式Pn,r=n!/n-r!例题5个人全部入座的排列数例题10人中选3人担任正副主席P5,5=5!=5×4×3×2×1=120种P10,3=10!/10-3!=10!/7!=10×9×8=720种记忆技巧重复元素的排列如果n个元素中有一些是重复的，则全排列数需要除以重复元素的阶乘重复元素排列公式其中n为总元素个数，n₁,n₂,...,n分别为k种元素各自的重复次数ₖ例题单词IDENTITY的排列数单词IDENTITY共有8个字母，其中根据重复元素排列公式•字母I出现2次•字母T出现2次•字母D、E、N、Y各出现1次环形排列将n个元素排成一个圆环，由于环形没有起点和终点，因此只要相对位置不变，就算同一种排列环形排列公式推导环形排列可看作是线性排列去掉首位置的差异先将任一元素固定，其余n-1个元素线性排列，有n-1!种排法例题8人围桌而坐的排列数8人围成一圈的不同排法数为8-1!=7!=5040种特殊排列问题策略相邻元素捆绑法不相邻元素插空法将必须相邻的元素视为一个整体，先计算整体的排列，再考虑整体内部当某些元素不能相邻时，可以先排列其他元素，再考虑这些元素的插入排列位置例题甲乙相邻，丙丁相邻的排列例题某些元素不相邻的排列6人排列，其中甲乙必须相邻，丙丁必须相邻5人排列，其中甲乙不能相邻•将甲乙看作一个整体X，丙丁看作一个整体Y•全部人排列5!=120种•整体数量X、Y、戊、己共4个整体•甲乙相邻的排列2!×4!=48种•整体排列4!=24种•甲乙不相邻的排列120-48=72种•整体内部甲乙内部2!=2种，丙丁内部2!=2种或使用插空法先安排甲，再找乙可插入的位置•总排列数24×2×2=96种相邻元素捆绑示意图捆绑法思路流程识别约束确定哪些元素必须相邻捆绑处理将相邻元素视为一个新元素整体排列计算新元素集合的排列数内部排列计算每个捆绑内部的排列数乘法原理整体排列数×各内部排列数延伸思考多组相邻第三章组合（）Combinations组合研究的是从一组元素中选取特定数量元素的不同方式，而不考虑这些元素的排列顺序在本章中，我们将介绍组合的定义、基本公式以及与排列的区别和联系组合的定义与公式从n个不同元素中取出r个元素的不同选法（不考虑顺序）称为组合，记作Cn,r或Cnr组合基本公式组合公式推导例题选择游泳队员每种r元素组合可产生r!种排列教练从5名游泳选手中选3人组成队伍的不同方式数为因此Cn,r×r!=Pn,r所以Cn,r=Pn,r÷r!代入排列公式得即有10种不同的队伍组合组合与排列的区别核心区别是否考虑顺序排列Permutation关键词顺序、次序、排序、排队数学意义选取元素并考虑它们的顺序实例表述选3人担任班长、副班长、书记组合Combination关键词选择、选取、挑选、组成数学意义选取元素但不考虑它们的顺序实例表述选3人参加比赛例题对比班委会选举排列问题组合问题从30名学生中选出3人分别担任班长、副班长和学从30名学生中选出3人组成班委会（不指定职务）习委员解P30,3=30×29×28=24360种组合的实际应用生活中的组合问题牌组选择从52张牌中抽取5张团队组建从20名员工中选5人组成项目组菜单搭配从8道主菜中选3道组成套餐彩票选号从33个数字中选择6个数字样本抽取从1000个产品中抽取10个检测组合的扩展带限制条件的组合常见的限制条件类型解题策略必须包含某些特定元素必须被选择直接计算法根据限制条件直接列出所有情况不能包含某些特定元素不能被选择间接计算法用总数减去不符合条件的情况至少包含某类元素至少选择几个分步计算法将选择过程分为几个步骤至多包含某类元素最多选择几个补集思想考虑问题的补集，再用总情况减去恰好包含某类元素恰好选择几个例题至少选一个红球袋中有5个红球，3个白球，要取出4个球，其中至少包含1个红球的取法有多少种？方法一直接计算方法二分步计算计算所有可能情况C8,4=70至少1个红球=1个红球+2个红球+3个红球+4个红球计算不含红球情况C3,4=0=C5,1×C3,3+C5,2×C3,2+C5,3×C3,1+C5,4×C3,0至少一个红球70-0=70组合选择示意图组合计数的直观理解组合计数实质上是计算集合中所有可能的子集数量（当子集大小固定为r时）组合公式的几何解释组合恒等式从n个点中选择r个点，可以形成多少种不同的r元集合Cn,r=Cn,n-rCn,r也可看作是n个元素的集合中，所有r元素子集的数量这表明选r个元素与选n-r个元素是等价的，因为选择了r个元素，自然也就确定了不选哪n-r个元素Pascal三角形第四章排列与组合的混合应用在实际问题中，我们经常需要同时应用排列与组合的知识，或者将复杂问题分解为排列和组合的组合本章将介绍排列与组合的混合应用策略和典型问题解法先选后排策略先选后排是解决混合问题的常用策略先用组合选出元素，再用排列安排这些元素的顺序策略应用步骤应用乘法原理安排选中元素的顺序总方法数=选择方式数×排列方式数确定选择的元素集合使用排列公式Pr,r计算可能的排列方式使用组合公式Cn,r计算可能的选择方式例题从6人中选4人完成不同任务从6人中选出4人分别担任主席、副主席、秘书和财务，且张三必须担任某一职务，求不同的安排方式总数解法由于张三必须担任某一职务，我们需要从其他5人中再选3人选择方式C5,3=10种职务安排P4,4=24种多排问题与分段排列多排问题转化策略多排座位问题通常可以转化为一排问题处理

1.将多排看作多个段落

2.确定每个段落内的排列方式

3.确定段落之间的安排方式

4.使用乘法原理计算总方法数插空法与倍缩法插空法倍缩法适用于解决不相邻问题，基本思路适用于固定相对位置的排列问题，基本思路

1.先安排某些特定元素

1.将固定顺序的元素看作一个整体

2.计算其他元素可以插入的空位数

2.计算整体与其他元素的排列数

3.计算插入方式数

3.乘以整体内部可能的排列数例3人不相邻排列例相对顺序固定的排列7人一排，甲乙丙三人不能相邻，求排列数8人排列，其中甲乙丙必须保持甲在乙前，乙在丙前先排除甲乙丙，剩余4人排列4!甲乙丙看作一个整体与其他5人排列6!这4人形成5个空位（含两端）甲乙丙保持相对顺序的排列数1将甲乙丙插入这5个空位P5,3总数4!×P5,3=24×60=1440重复元素与环排综合问题综合问题分析方法解决复杂的排列组合问题，通常需要将多种方法结合使用，核心是找出问题的关键特征，选择合适的解题策略常见的复合条件•有重复元素的环形排列•含相邻限制的重复元素排列•环形排列中的间隔要求•分组限制下的排列组合例题钻石圈排列数将4颗红宝石和5颗蓝宝石排成一圈，要求相同颜色的宝石不能相邻，求不同的排列方法数分析计算结果9颗宝石围成一圈，相同颜色不相邻，意味着红蓝必须交替排列

1.环形排列将9颗宝石固定一颗，剩余8颗排列，得8!结合环形特性，最终答案为4!×5!/2=1440复杂排列组合问题流程图解题思路流程问题分析识别排列/组合特征，确定关键限制条件策略选择选择合适的解题策略（捆绑/插空/分步/补集等）问题分解将复杂问题分解为多个简单问题分步计算依次计算每个子问题的结果结果合并使用加法/乘法原理合并子问题结果解题要点第五章典型例题与解题策略本章将通过分析典型例题，展示排列组合问题的解题策略和思路这些例题涵盖了不同类型和难度的排列组合问题，通过详细分析解题过程，帮助学生掌握灵活运用排列组合知识解决实际问题的能力典型例题1无重复数字五位奇数的排列数用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的五位奇数，求不同的奇数个数特殊元素优先安排策略当问题包含特殊条件（如奇数、偶数、大小关系等）时，通常先确定特殊位置的元素，再安排其他位置解题步骤12分析特殊条件确定个位数字五位奇数个位必须是奇数（1,3,5）个位只能是1,3,5三个奇数中的一个无重复数字每个数字只能使用一次个位安排方式3种五位数最高位不能为034确定首位数字安排中间三位首位不能为0，可选数字为剩余的5个数字中除0外的4个剩余4个数字中选3个排列在中间三位首位安排方式4种中间位安排方式P4,3=24种典型例题2节目顺序安排，舞蹈节目不连续一台文艺演出共有10个节目，其中包括3个舞蹈节目，要求这3个舞蹈节目不能连续安排，求不同的节目顺序安排方式总数插空法应用解法二插空法当问题涉及不相邻条件时，插空法是常用的解题策略

1.先排列7个非舞蹈节目7!=5,

0402.这7个节目之间（含两端）共有8个空位解法一直接计算

3.在这8个空位中插入3个舞蹈节目，要求不相邻

1.总的节目安排方式10!=3,628,800•从8个空位中选择3个C8,3=

562.3个舞蹈节目相邻的情况•3个舞蹈节目的排列3!=6•将3个舞蹈节目视为一个整体

4.总方法数7!×C8,3×3!=5,040×56×6=1,693,440•这个整体与其他7个节目一起排列8!•舞蹈节目内部排列3!•相邻情况总数8!×3!=40,320×6=241,

9203.舞蹈节目不相邻的情况3,628,800-241,920=3,386,880课程总结与学习建议核心知识点回顾•基本计数原理加法原理与乘法原理•排列考虑顺序的选择，Pn,r=n!/n-r!•组合不考虑顺序的选择，Cn,r=n!/[r!n-r!]•特殊排列重复元素排列、环形排列•解题策略捆绑法、插空法、分步法等学习方法建议

1.理解基本概念和公式的推导过程

2.多做典型题目，培养解题思路

3.灵活运用多种策略解决复杂问题

4.建立排列组合与实际生活的联系进阶学习方向•排列组合在概率论中的应用•二项式定理与多项式系数•组合恒等式与Pascal三角形•排列组合在算法设计中的应用排列组合不仅是数学的重要分支，也是培养逻辑思维和问题解决能力的有效工具通过系统学习和实践，你将能够应对各种计数问题，提升数学素养和解决实际问题的能力。