高等代数教学课件

高等代数教学课件目录第一章第二章线性方程组与矩阵基础线性空间与线性映射•线性方程组的解法与判别•线性空间的定义与公理•数域的定义与例子•线性相关性与线性无关组•行列式的定义、性质与计算•基与维数的概念•线性映射的性质与表示第三章第四章多项式与环论基础群论与域论概述•多项式环的定义与性质•群的定义与基本性质•多项式的不可约性•群的同态与同构•环的基本概念•域的定义与扩张•欧几里得整环与唯一分解环•Galois理论简介第一章线性方程组与矩阵基础线性方程组的解法线性方程组是高等代数研究的基本对象，解决线性方程组是理解更高级抽象代数概念的基础对于一般形式的线性方程组主要解法包括矩阵消元法与初等行变换通过对增广矩阵进行行变换，将其化为阶梯形或简化阶梯形解的情况分析根据阶梯形矩阵判断方程组有无解、唯一解或无穷多解增广矩阵阶梯形与解的判别结合系数矩阵的秩与增广矩阵的秩进行判断线性方程组解的判别条件秩与解的关系阶梯形判别法解空间维数对于线性方程组AX=b，设系数矩阵A的秩将增广矩阵化为阶梯形后当线性方程组有解时，其解空间的维数等于为r，增广矩阵A|b的秩为r，未知数个数n-r，其中n为未知数个数，r为系数矩阵的若出现形如0,0,...,0|k（其中k≠0）的为n则秩行，说明方程组无解当rr时，方程组无解例如，对于三元线性方程组，若系数矩阵的若不出现上述情况，且主元个数r=n，则方秩为2，则解空间维数为3-2=1，表示解可以当r=r时，方程组有解，且程组有唯一解用一个参数表示若r=n，则方程组有唯一解若不出现上述情况，且主元个数rn，则方程组有无穷多解若rn，则方程组有无穷多解，且通解中含有n-r个任意常数矩阵初等行变换示意图矩阵的初等行变换是求解线性方程组的基础工具，它们保持方程组解集不变，同时能将复杂的矩阵转化为更简单的形式行交换将矩阵的第i行与第j行互换位置这相当于交换方程组中的两个方程的位置，不改变方程组的解行倍乘用非零常数k乘矩阵的第i行这相当于将方程组中的某个方程两边同乘以一个非零常数，不改变方程的解行加法将矩阵第j行的k倍加到第i行上这相当于将方程组中某个方程加上另一个方程的倍数，不改变方程组的解数域的定义与例子数域是高等代数中最基本的代数结构之一，它为我们研究线性空间、多常见数域示例项式等提供了基础有理数域Q所有可以表示为p/q（其中p,q是整数且q≠0）的数构成的数域的定义K集合数域K是一个集合，满足实数域R包含所有有理数和无理数的集合•对于任意a,b∈K，有a+b∈K和a×b∈K（加法和乘法的封闭性）复数域C形如a+bi的数的集合，其中a,b∈R，i²=-1•加法和乘法满足交换律、结合律、分配律复数域的运算封闭性证明简述•存在加法单位元0和乘法单位元1，且0≠1对于复数z₁=a+bi和z₂=c+di•对每个a∈K，存在-a∈K使得a+-a=0•对每个非零元素a∈K，存在a⁻¹∈K使得a×a⁻¹=1加法z₁+z₂=a+c+b+di∈C乘法z₁×z₂=ac-bd+ad+bci∈C复数域中的其他公理也可类似验证行列式的定义与性质阶行列式的排列定义n对于n阶方阵A=aᵢⱼ，其行列式定义为其中，S是{1,2,...,n}的所有排列的集合，σ表示一个排列，sgnσ表示排列σ的符号ₙ逆序数与符号排列σ=σ₁,σ₂,...,σ中，若σᵢσⱼ且ij，则称σᵢ,σⱼ构成一个逆序逆序的总数称为排列的逆序数，记为τσ行列式计算示例ₙ排列的符号定义为sgnσ=-1^τσ，即当逆序数为偶数时取+1，为奇数时取-1行列式的重要性质转置性质线性性质矩阵的转置不改变行列式值|A^T|=|A|行列式对矩阵的行（或列）具有线性性质若将A的第i行的k倍加到第j行，得到矩阵B，则|B|=|A|行列式展开定理乘法性质行列式可以按任意行或列展开|A|=∑aᵢ·Aᵢ，其中Aᵢ是代数余子式矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积|AB|=|A|·|B|ₖₖₖₖ二阶行列式示例二阶行列式是最简单的非平凡行列式，其计算公式为这个公式可以通过排列定义直接导出•考虑所有2阶排列1,2和2,1•排列1,2的逆序数为0，符号为+1•排列2,1的逆序数为1，符号为-1•代入定义得到a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁二阶行列式的几何意义二阶行列式|A|的绝对值表示由矩阵A的两个列向量为邻边构成的平行四边形的面积二阶行列式的几何解释两个列向量构成的平行四边形面积行列式非零与线性方程组唯一解的关系我们可以用克拉默法则来求解二阶线性方程组对于二阶线性方程组其中|A₁|是将A的第一列替换为b后的行列式，|A₂|是将A的第二列替换为b后的行列式当且仅当行列式|A|≠0时，方程组有唯一解在计算机图形学中，二阶行列式常用于计算三角形面积、判断点是否在三角形内部等问题行列式的计算技巧按行（列）展开法行列式可以按任意行或列展开计算其中Mᵢⱼ是余子式，Aᵢⱼ=-1ʲMᵢⱼ是代数余子式ⁱ⁺技巧选择含零元素最多的行或列进行展开，可以减少计算量利用初等变换简化计算通过行（列）变换将行列式化简后再计算•交换两行（列）行列式变号•用数k乘某一行（列）行列式变为原来的k倍•某行（列）的k倍加到另一行（列）行列式值不变技巧利用初等变换将行列式化为上（下）三角形，然后计算主对角线元素的乘积特殊行列式的计算某些特殊形式的行列式有简便计算公式•三角形行列式主对角线元素的乘积•范德蒙德行列式Πxᵢ-xⱼ，其中1≤j•分块行列式当分块矩阵中有零块时可简化计算克莱姆法则应用对于n个方程n个未知数的线性方程组AX=b，若|A|≠0，则其中Aⱼ是用b替换A的第j列得到的矩阵克莱姆法则在理论推导中很有用，但对于高阶方程组，高斯消元法通常更高效第二章线性空间与线性映射本章将介绍线性空间的基本概念、线性相关性、基与维数等核心内容，以及线性映射的理论与应用线性空间的定义线性空间（又称向量空间）是高等代数中最基本的代数结构之一，它抽象出了向量加法和数乘的基本性质线性空间的典型例子线性空间的形式定义

1.欧氏空间R^n设V是一个非空集合，K是一个数域若在V上定义了加法运算+和数乘运算·，满足以下条件所有n维实数向量构成的集合，其中加法和数乘定义为对加法运算

1.封闭性∀α,β∈V，有α+β∈V

2.交换律∀α,β∈V，有α+β=β+α

3.结合律∀α,β,γ∈V，有α+β+γ=α+β+γ

2.矩阵空间M_{m,n}K

4.零元素∃0∈V，使得∀α∈V，有α+0=α所有m×n矩阵构成的集合，加法和数乘按矩阵运算规则进行

5.负元素∀α∈V，∃-α∈V，使得α+-α=

03.多项式空间P_nK对数乘运算次数不超过n的多项式集合，加法和数乘按多项式运算规则进行

1.封闭性∀k∈K，α∈V，有k·α∈V

4.函数空间C[a,b]

2.单位元∀α∈V，有1·α=α

3.结合律∀k,l∈K，α∈V，有k·l·α=k·l·α区间[a,b]上所有连续函数构成的集合，加法和数乘按函数运算规则进行

4.分配律1∀k∈K，α,β∈V，有k·α+β=k·α+k·β

5.分配律2∀k,l∈K，α∈V，有k+l·α=k·α+l·α则称V是数域K上的线性空间，记为V,K，简称V是K-线性空间V中的元素称为向量线性相关与线性无关向量组的线性组合线性相关的定义线性无关的定义设α₁,α₂,...,α是线性空间V中的n个向量，k₁,k₂,...,k是数如果存在不全为零的系数k₁,k₂,...,k∈K，使得如果仅有当系数k₁=k₂=...=k=0时，等式ₙₙₙₙ域K中的n个数，则则称向量组α₁,α₂,...,α线性相关才成立，则称向量组α₁,α₂,...,α线性无关ₙₙ称为向量组α₁,α₂,...,α的一个线性组合系数k₁,k₂,...,k称ₙₙ通俗理解某些向量可以用其他向量的线性组合表示通俗理解任何一个向量都不能用其余向量的线性组合表示为这个线性组合的系数线性相关性的判别方法方法一定义法构造方程组k₁α₁+k₂α₂+...+kα=0，求解系数k₁,k₂,...,k若有非零解，则线性相关；若只有零解，则线性无关ₙₙₙ方法二矩阵秩法将向量组α₁,α₂,...,α排列成矩阵A的列向量，判断矩阵的秩rA若rA=n，则线性无关；若rAn，则线性相关ₙ极大线性无关组与秩的概念从向量组中选出的线性无关的向量的最大个数称为该向量组的秩这样的线性无关向量组称为原向量组的一个极大线性无关组极大线性无关组具有以下性质

1.它是线性无关的

2.向量组中的任何向量都可以用它的线性组合表示

3.它的向量个数等于向量组的秩线性无关向量（左）和线性相关向量（右）的直观表示当向量线性相关时，某些向量可以表示为其他向量的线性组合线性映射基础线性映射的定义设V和W是数域K上的两个线性空间，如果映射f:V→W满足

1.对于任意α,β∈V，有fα+β=fα+fβ（加法保持性）

2.对于任意α∈V，k∈K，有fkα=kfα（数乘保持性）则称f为从V到W的线性映射（又称线性变换）线性映射的性质

1.保持零向量f0=

02.保持线性组合fk₁α₁+k₂α₂+...+kα=k₁fα₁+k₂fα₂+...+k fαₙₙₙₙ

3.保持线性相关性若向量组{α₁,α₂,...,α}线性相关，则{fα₁,fα₂,...,fα}也线性相关ₙₙ核与像的概念线性映射可以将一个空间中的向量映射到另一个空间中，保持向量的线性组合关系核（Kernel）线性映射f:V→W的核是V中映射到W的零向量的所有向量的集合线性映射的矩阵表示设V是n维线性空间，W是m维线性空间，f:V→W是线性映射，E={e₁,e₂,...,e}ₙ像（Image）线性映射f:V→W的像是V中所有向量通过f映射后得到的向量的集合是V的一组基，F={f₁,f₂,...,fₘ}是W的一组基若feⱼ在基F下的坐标为a₁ⱼ,a₂ⱼ,...,aⱼ，则矩阵ₘ称为线性映射f在基E和F下的矩阵表示线性映射的核和像都是线性子空间，且满足维数定理dim V=dim Kerf+dim Imf这一关系揭示了线性映射的核与像之间的深刻联系线性映射的可逆性可逆映射的定义可逆映射的判别条件线性映射f:V→W称为可逆（或同构），如果存在线性映射g:W→V，使得线性映射f:V→W可逆的充要条件是

1.f是单射（Kerf={0}）

2.f是满射（Imf=W）其中，I_V和I_W分别是V和W上的恒等映射映射g称为f的逆映射，记为当V和W的维数相同时，上述两个条件等价，即f^{-1}矩阵表示下的可逆性线性空间同构的意义设A是线性映射f在基下的矩阵表示，则两个线性空间同构意味着它们在代数结构上是相同的具体来说

1.f可逆A可逆

1.它们的维数相同⟺

2.若f可逆，则f^{-1}的矩阵表示为A^{-1}

2.可以建立一一对应关系，保持线性运算矩阵A可逆的充要条件是|A|≠0或rA=n（n为A的阶数）

3.一个空间中的线性问题可以转化为另一个空间中的对应问题例如，所有n维线性空间都与R^n同构，这使得我们可以将抽象的线性空间问题转化为具体的R^n中的问题理解线性映射的可逆性对于解决实际问题至关重要例如，在解线性方程组Ax=b时，只有当矩阵A可逆时，方程组才有唯一解x=A^{-1}b线性映射示意图向量空间之间的映射关系核与像的几何解释线性映射f:V→W将一个线性空间V中的向量映核（Kernel）的几何意义射到另一个线性空间W中，保持向量的线性组核是原空间V中映射到零向量的所有向量构成的合关系子空间从几何上看，核是线性映射的坍缩方向从几何角度看，线性映射可以理解为空间的伸，核中的向量在映射后都变成零向量，丢失了信缩、旋转、投影等变换的组合例如息•投影映射将高维空间的向量投影到低维子像（Image）的几何意义空间上像是目标空间W中能够通过线性映射f得到的所•旋转映射在同一空间内旋转向量方向，保有向量构成的子空间从几何上看，像是原空间持长度不变V经过线性映射后覆盖的区域•伸缩映射改变向量的长度，保持方向不变维数定理dim V=dim Kerf+dim Imf表明，或相反原空间的维数等于核的维数与像的维数之和这线性映射是高等代数中最基本的工具之一，它使意味着，线性映射在核的方向上坍缩了空间，我们能够研究不同线性空间之间的关系，为更高同时保持了与核互补的子空间的维数级的数学概念如张量和流形奠定基础在量子力学中，线性算子的核与像对应于物理系统的某些重要性质例如，哈密顿算子的核对应于系统的基态，而其像则与系统可能的能量状态有关第三章多项式与环论基础本章将介绍多项式环的基本概念、多项式的不可约性以及环论的基础理论，包括理想、素理想和欧几里得整环等内容多项式环的定义多项式的形式定义多项式环的基本性质设K是一个数域，一个K上的多项式是形如单位元常数多项式1是乘法单位元零因子K[x]中没有零因子，即若fx·gx=0，则fx=0或gx=0交换性对任意fx,gx∈K[x]，有fx·gx=gx·fx的表达式，其中a₀,a₁,...,a∈K称为多项式的系数，n称为多项式的次数（当a≠0时）次数性质degf·g=degf+degg，其中deg表示多项式的次数ₙₙ所有K上的多项式构成的集合记为K[x]，它在多项式的加法和乘法运算下构成一个多项式环多项式环的代数结构多项式的加法与乘法多项式环K[x]是一个加法对于多项式fx=Σaᵢx和gx=Σbᵢx，它们的和定义为整环有单位元且无零因子的交换环ⁱⁱ欧几里得整环存在多项式的带余除法主理想整环每个理想都是由一个元素生成的唯一分解整环每个非零非单位元素都可以唯一地分解为不可约元素的乘积乘法对于多项式fx=Σaᵢx和gx=Σbᵢx，它们的积定义为ⁱⁱ这相当于按照普通代数的乘法法则，将各项相乘后合并同类项多项式的不可约性不可约多项式的定义判别不可约的常用方法设fx∈K[x]是次数大于0的多项式，如果fx不能在K[x]中被分解为两个次数较低的多项式的乘积，则称fx在K上不可约艾森斯坦（Eisenstein）判别法设fx=a₀+a₁x+...+a xⁿ∈Z[x]，若存在素数p满足ₙ形式上，若fx=gx·hx意味着gx或hx必有一个是K中的常数（单位元），则fx不可约则fx在有理数域Q上不可约•p|aᵢi=0,1,...,n-1•p∤aₙ•p²∤a₀辗转相除法对于低次多项式，可以尝试用辗转相除法找到可能的因式代数整数性质若多项式fx∈Z[x]在模p意义下有不可约因式，且次数与fx相同，则fx在Q上不可约各数域上的不可约多项式不可约多项式的重要性复数域C上每个次数大于0的多项式都可以分解为一次因式的乘积，因此在C上只有一次多项式不可约不可约多项式在代数学中扮演着类似素数在整数理论中的角色实数域R上不可约多项式只有一次式和无实根的二次式

1.是构造域扩张的基础有理数域Q上不可约多项式种类繁多，例如

2.是理解多项式环结构的关键•x²-2（无有理根）

3.在代数方程的求解理论中有重要应用•x²-3（无有理根）•x³-2（利用Eisenstein判别法可证不可约）典型例题解析例题1证明多项式fx=x³-3x+1在Q上不可约解析若fx可约，则fx必有一个一次因式，即fx有有理根根据有理根定理，若有理数p/q（最简形式）是fx的根，则p|1且q|1，即可能的有理根只有±1代入检验f1=1-3+1=-1≠0，f-1=-1-3-1=-5≠0故fx无有理根，在Q上不可约例题2利用Eisenstein判别法证明x⁵+10x+5在Q上不可约解析取素数p=5，则•5|10（系数10）•5|5（常数项5）•5∤1（最高次项系数1）•5²=25∤5（常数项5）满足Eisenstein判别法的条件，故x⁵+10x+5在Q上不可约环的基本概念环的定义与例子一个环R,+,·是一个集合R，在R上定义了两个二元运算+和·，满足以下条件

1.R,+是一个交换群，即加法满足交换律、结合律，存在加法单位元0和每个元素的加法逆元

2.乘法满足结合律∀a,b,c∈R，a·b·c=a·b·c

3.乘法对加法满足分配律∀a,b,c∈R，a·b+c=a·b+a·c和a+b·c=a·c+b·c若乘法满足交换律，则称R为交换环若存在乘法单位元1，则称R为有单位元的环环的例子•整数环Z•n×n矩阵环M_nK•多项式环K[x]•函数环CX（X上的连续函数集合）理想、素理想与极大理想理想环R的子集I称为理想，如果

1.I,+是R,+的子群

2.∀a∈I,r∈R，有r·a∈I和a·r∈I（对乘法封闭）素理想交换环R的理想P称为素理想，如果

1.P≠R环论是研究代数结构的重要分支，它将整数、多项式等结构的共同特性抽象出来，形成统一的理论框架

2.若a·b∈P，则a∈P或b∈P商环的构造与性质极大理想环R的理想M称为极大理想，如果设R是环，I是R的理想，定义关系～

1.M≠R

2.不存在真包含M的真理想，即若M⊆I⊊R，则I=M这是一个等价关系，将R划分为不相交的等价类所有等价类构成的集合记为R/I，称为R模I的商环商环的重要性质

1.若I是素理想，则R/I是整环

2.若I是极大理想，则R/I是域

3.自然映射π:R→R/I是环同态，且Kerπ=I商环在代数结构的研究中有重要应用，例如构造有限域、研究多项式的因式分解等环论是现代代数学的重要分支，它不仅在纯数学中有深刻应用，也在密码学、编码理论等领域发挥重要作用例如，RSA加密算法的基础就是基于整数环中的素数理论欧几里得整环与唯一分解环欧几里得整环的定义整环的定义一个整环R称为欧几里得整环，如果存在一个函数δ:R\{0}→N（称为次数函数），满足一个整环是指没有零因子的交换环，即若ab=0，则a=0或b=0整环中的元素之间的乘法运算类似于整数的乘法，没有信息的丢失

1.对于任意非零元素a,b∈R，有δab≥δa整环的例子包括整数环Z、多项式环K[x]、高斯整数环Z[i]等

2.对于任意非零元素a,b∈R，存在q,r∈R，使得a=bq+r，且r=0或δrδb第二个条件称为带余除法，它是欧几里得算法的基础欧几里得算法唯一因子分解定理在欧几里得整环中，可以通过辗转相除法计算两个元素的最大公因子（gcd）一个唯一分解整环（也称为唯一因子分解整环）是指满足以下条件的整环

1.设要计算gcda,b，不妨设δa≥δb

1.每个非零非单位元素都可以写成有限个不可约元素的乘积

2.若b=0，则gcda,b=a

2.这种分解在忽略单位元和因子顺序的意义下是唯一的

3.否则，使用带余除法a=bq+r欧几里得整环都是唯一分解整环，但反之不一定成立

4.则gcda,b=gcdb,r

5.重复步骤2-4，直到余数为0这种算法在计算整数或多项式的最大公因子时非常有用典型例子

1.整数环Z整数环是最基本的欧几里得整环，其次数函数可以定义为δn=|n|带余除法就是普通的整数除法取余在Z中，不可约元素就是素数根据算术基本定理，每个大于1的整数都可以唯一地分解为素数的乘积

2.多项式环F[x]域F上的多项式环F[x]是欧几里得整环，其次数函数就是多项式的次数带余除法就是多项式的长除法在F[x]中，不可约多项式扮演着类似素数的角色每个非零多项式都可以唯一地分解为不可约多项式的乘积

3.高斯整数环Z[i]高斯整数是形如a+bi的复数，其中a,b∈Z高斯整数环是欧几里得整环，其次数函数可以定义为δa+bi=a²+b²（即模的平方）第四章群论与域论概述本章将介绍群的基本概念与性质、群同态与同构理论，以及域的定义、扩张和Galois理论简介等内容群的定义与基本性质群的形式定义一个群G,·是一个非空集合G与一个二元运算·，满足以下公理封闭性∀a,b∈G，有a·b∈G结合律∀a,b,c∈G，有a·b·c=a·b·c单位元∃e∈G，使得∀a∈G，有e·a=a·e=a逆元∀a∈G，∃a⁻¹∈G，使得a·a⁻¹=a⁻¹·a=e若对群G中的任意元素a,b还满足a·b=b·a，则称G为交换群（或阿贝尔群）交换群与非交换群交换群的例子•整数加群Z,+•有理数乘群Q\{0},וn阶循环群Z_n,+非交换群的例子•一般线性群GLn,R（n×n可逆矩阵构成的群）•对称群S_n（n个元素的所有排列构成的群，n2）•二面体群D_n（正n边形的对称变换群）群的同态与同构群同态定义设G和H是两个群，映射φ:G→H称为从G到H的群同态，如果也就是说，φ保持群的运算结构如果φ同时是单射和满射，则称φ为群同构，记为G≅H同构的群在代数结构上是相同的群同态的其他特殊情况单同态φ是单射的群同态满同态φ是满射的群同态自同态从群到自身的同态，即φ:G→G自同构从群到自身的同构，即φ:G→G是双射核与像的关系群同态φ:G→H的核（kernel）定义为其中e_H是H的单位元群同态φ:G→H的像（image）定义为核与像具有以下重要性质

1.Kerφ是G的正规子群群同态将一个群的结构映射到另一个群中，保持群运算的特性同构的群在代数结构上是等价的

2.Imφ是H的子群第一同构定理简述

3.若φ是满同态，则G/Kerφ≅H设φ:G→H是群同态，则这意味着原群G除以同态的核得到的商群，与同态的像是同构的这个定理揭示了群同态、核、像和商群之间的深刻联系，是群论中最重要的基本定理之一同构的意义两个群同构意味着它们具有相同的代数结构，只是元素的名称不同同构群具有完全相同的性质•阶相同•子群结构相同•元素的阶相同•交换性质相同例如，循环群Z_n与n次单位根构成的乘法群同构域的定义与扩张域的基本性质域扩张的概念一个域F,+,·是一个集合F与两个二元运算+和·，满足如果域K是域F的子集，且K中的加法和乘法与F中的运算一致，则称K是F的子域，F是K的扩域，记为K⊆F

1.F,+是一个交换群，单位元记为0常见的域扩张例子有Q⊆R⊆C

2.F\{0},·是一个交换群，单位元记为1给定域K和元素α∉K，可以构造包含K和α的最小的域，记为Kα，称为由α对K的简单扩张

3.乘法对加法满足分配律∀a,b,c∈F，a·b+c=a·b+a·c域是最完备的数系结构，在其中可以进行四则运算（除以0外）常见的域包括有理数域Q、实数域R、复数域C和有限域GFq代数扩张与超越扩张扩张的次数设F是域K的扩域，α∈F如果存在K上的非零多项式fx，使得fα=0，则称α是K上的代数元；否则称α是K上的超越元设F是域K的扩域，则F可以视为K上的线性空间如果这个线性空间的维数是有限的，则称F是K的有限扩张，其维数称为扩张的次数，记为[F:K]如果F中的每个元素都是K上的代数元，则称F是K的代数扩张；否则称为超越扩张扩张次数满足乘法公式若K⊆L⊆F，则[F:K]=[F:L]·[L:K]例如，√2是Q上的代数元，而π是Q上的超越元例如，[Q√2:Q]=2，[Q√2,√3:Q]=4域扩张的构造方法

1.多项式扩张设fx是K上的不可约多项式，则商环K[x]/fx是一个域，它包含了K和fx的一个根例如，Q[x]/x²-2构造了域Q√

22.代数闭包任何域K都有一个代数闭包K̄，即包含K的最小的代数闭域（所有多项式都有根的域）例如，复数域C是实数域R的代数闭包

3.分裂域给定域K上的多项式fx，存在K的一个扩域F，使得fx在F上完全分裂为一次因式这样的最小扩域称为fx在K上的分裂域域扩张可以视为在原始数系上添加新元素，使得某些方程有解例如，Q√2是在有理数域上添加√2后得到的扩域代数元的极小多项式设α是域K的扩域F中的代数元，则存在唯一的首一不可约多项式px∈K[x]，使得pα=0这个多项式称为α在K上的极小多项式理论简介Galois自同构群与固定域设F是域K的扩域，定义F的自同构群AutF为所有F到自身的域同构的集合F关于K的自同构群AutF/K定义为即保持K中元素不变的F的所有自同构给定F的自同构群的子群G，定义G的固定域F^G为即被G中所有自同构固定的元素构成的子域群的定义Galois设F是域K上多项式fx的分裂域，则F关于K的自同构群AutF/K称为fx在K上的Galois群，记为GalF/K或GalfGalois群的元素会置换fx的根，因此可以将Galf视为fx的根集合的某个置换群的子群群与域扩张示意图Galois域扩张层次结构群作用的几何直观在Galois理论中，域扩张通常表示为一个塔结构，从基础域K开Galois群的元素作为自同构，可以看作是对多项式根的始，逐步扩张到分裂域F例如置换这些置换保持根之间的代数关系不变例如，对于多项式x²-2，其在Q上的分裂域是Q√2,-√2=Q√2，Galois群GalQ√2/Q={id,σ}，其中σ√2其中，α₁,α₂,...是多项式的根=-√2这个群可以看作是对根{√2,-√2}的置换群每一层扩张都对应着Galois群的结构变化例如，对于多项式x⁴-2在Q上的分裂域从几何角度看，Galois群的作用可以理解为对代数结构的对称变换这些变换保持结构的关系不变，类似于几何中的对称变换（如旋转、反射等）保持图形的形状不变其Galois群是8阶二面体群D₄经典例子五次方程对应的应用Galois五次一般方程x⁵+ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0在Q上的Galois对应将域扩张的问题转化为群论问题，这种对应具有广泛的应Galois群通常是对称群S₅由于S₅不是可解群，因此用五次一般方程没有根式解

1.判断代数方程是否有根式解这一结果解释了为什么不存在类似于一元二次方程求根

2.确定作图问题的可行性公式的一元五次方程求根公式

3.研究数域的结构

4.探究代数拓扑中的覆叠空间在现代数学中，Galois理论的思想已经扩展到许多其他领域，如微分方程、拓扑学和数论等例如，微分Galois理论研究微分方程的解的代数性质，而代数数论中的类域论则是Galois理论在数域上的推广课程总结高等代数核心内容回顾本课程系统介绍了高等代数的四个主要部分线性方程组与矩阵基础从最基本的线性方程组出发，介绍了矩阵理论、行列式及其应用线性空间与线性映射抽象出向量加法和数乘的公理化体系，建立了线性空间的理论框架，研究了线性映射及其矩阵表示多项式与环论基础研究了多项式环的结构，引入了环论的基本概念，包括理想、欧几里得整环等重要内容群论与域论概述介绍了群的基本理论、同态与同构，以及域扩张和Galois理论的核心思想这些内容构成了现代代数学的基础，为进一步学习更高级的数学概念打下了坚实基础理论与应用结合的重要性高等代数理论虽然抽象，但有着广泛的应用计算机科学编码理论、密码学、量子计算等领域大量使用代数结构物理学对称群在量子力学和粒子物理中有重要应用工程技术控制理论、信号处理、计算机图形学等依赖线性代数工具数据科学多变量统计分析、机器学习算法广泛应用线性代数方法理解抽象理论的同时，将其与具体应用联系起来，能够更深入地把握代数学的本质和价值进一步学习的方向高等代数学习之后，可以向多个方向深入代数几何研究代数方程定义的几何对象代数数论将代数方法应用于数论问题表示论研究群和代数在线性空间上的表示微分几何将代数工具应用于曲线和曲面的研究代数拓扑用代数方法研究拓扑空间的性质这些领域都是现代数学研究的活跃方向，建立在扎实的代数基础之上本课程旨在培养学生的抽象思维能力和严谨的数学推理能力通过系统学习高等代数，不仅能掌握重要的数学工具，还能提升解决复杂问题的能力，为今后的学习和研究奠定基础鼓励同学们在课后继续深入思考，将所学知识应用到具体问题中，真正理解和掌握高等代数的精髓谢谢聆听！欢迎提问与讨论如有疑问，请随时提出参考教材课后讨论时间每周四14:00-16:00《高等代数》第四版北京大学出版社《抽象代数基础》高等教育出版社。