信号与系统教学课件

信号与系统教学课件第一章信号基础概述什么是信号？信号的定义声音信号信号是承载信息的物理量，通常表现为一个或多个变量的函数在数学声音信号是空气压力随时间的变化，携带着语音、音乐等听觉信息声上，信号可以定义为一个或多个自变量的函数，这些自变量通常是时间音信号的频率范围通常在20Hz到20kHz之间，对应人耳的听觉范围或空间坐标电压信号图像信号电压信号是电势差随时间的变化，广泛应用于电子设备和通信系统中图像信号是光强度在空间位置上的分布函数，携带视觉信息数字图像电压信号可以携带模拟信息或数字信息，是现代电子系统的基础可以看作是二维或三维的信号，每个像素点的亮度值构成信号的幅度信号的分类连续时间信号在连续时间轴上定义的信号，用xt表示，其中t为连续时间变量这类信号在所有时刻都有定义，包括模拟电路中的电压电流信号、自然界的物理现象等连续时间信号具有无限精细的时间分辨率离散时间信号只在离散时间点上定义的信号，用x[n]表示，其中n为整数这类信号通常由连续信号采样得到，或者本身就是离散的物理现象数字信号处理系统主要处理离散时间信号模拟信号数字信号幅度连续变化的信号，可以取任何实数值模拟信号在幅度上具有无限精度，但容易受到噪声影响，传输幅度只能取有限个离散值的信号，通常用二进制数表示数字信号抗噪声能力强，易于存储和处理，是现过程中会产生失真代通信系统的主流信号的基本性质幅度特性频率特性信号的幅度反映信号强度的大小，是信号最直频率描述信号变化的快慢程度，是信号在频域观的特征幅度的变化范围决定了信号的动态的基本特征不同频率的信号成分对应不同的范围，影响信号的检测和处理精度在实际应物理现象和信息内容频率分析是信号处理的用中，幅度往往与功率、能量等物理量相关重要工具，能够揭示信号的内在结构带宽特性相位特性带宽表示信号占用的频率范围，决定信号传输相位反映信号在时间轴上的偏移关系，对于信所需的系统资源带宽越大，信号携带的信息号的同步和调制解调具有重要意义相位差的越丰富，但也需要更宽的传输通道带宽是通变化可以携带重要信息，在通信系统中常用于信系统设计的重要参数相位调制等技术信号的数学表示正弦信号表达式支持集概念正弦信号是最基本的周期信号，数学表达式为时间域函数表示支持集是指使得信号取非零值的所有时间点的集xt=A cosωt+φ，其中A为幅度，ω为角频信号最基本的表示方法是时间域函数xt或x[n]，合，定义了信号的有效时间范围有限支持集对率，φ为初相位正弦信号在傅里叶分析中具有直接描述信号幅度随时间的变化关系这种表示应时限信号，无限支持集对应无时限信号支持特殊地位方法直观易懂，便于理解信号的时间演化过程集的概念对于信号分析和处理具有重要意义数学表示的重要性准确的数学表示是信号分析的基础，它使得复杂的物理现象可以用严谨的数学工具进行研究通过数学模型，我们可以预测信号的行为，设计处理算法，并验证系统性能信号的特征表示频谱分析的重要性频谱分析是信号处理的核心技术之一，它将时域信号转换到频域，揭示信号的频率成分和相对强度通过频谱分析，我们可以识别信号中的主要频率分量，检测周期性成分，分析信号的带宽特性频谱分析在许多领域都有重要应用在通信系统中用于信道分析和调制识别；在音频处理中用于音色分析和噪声抑制；在机械振动分析中用于故障诊断；在生物医学中用于脑电、心电信号分析时域观察双域分析观察信号随时间的变化，了解信号的时间特性、持续时间、变化规律等基本信息结合时域和频域信息，全面理解信号特性，为后续处理和应用提供依据123傅里叶变换应用傅里叶变换将时域信号转换为频域表示，获得信号的频谱分布信息傅里叶变换实现了时频双域描述，这是信号分析的重大突破它告诉我们任何复杂的信号都可以看作是不同频率正弦波的叠加，这种观点彻底改变了我们对信号的理解信号的时域与频域表现正弦信号在时域表现为连续的周期波形，在频域则表现为单一的频率峰值复杂信号包含多个频率成分，其频谱图显示了各频率分量的相对强度第二章系统基础概述系统是处理信号的载体，理解系统的特性和行为是设计和分析信号处理算法的基础系统的定义与分类系统的数学定义线性与非线性系统时变与时不变系统系统是建立输入信号与输出信号之间映射关系的数学或物理实体从数学角度看，系统可线性系统满足叠加原理对于输入信号的线性组合，输出也是相应输出的线性组合数学时不变系统的特性参数不随时间变化，即系统对信号的处理方式保持恒定数学表述为以表示为一个算子T，使得输出yt=T[xt]，其中xt是输入信号，yt是输出信号系统表述为若T[x₁t]=y₁t，T[x₂t]=y₂t，则T[ax₁t+bx₂t]=ay₁t+若T[xt]=yt，则T[xt-t₀]=yt-t₀时变系统的参数随时间变化，分析需要考虑时间因的作用就是按照特定的规则对输入信号进行变换处理by₂t非线性系统不满足叠加原理，分析更加复杂素的影响因果性与稳定性•因果系统输出只依赖于当前和过去的输入•非因果系统输出依赖于未来的输入•稳定系统有界输入产生有界输出•不稳定系统可能产生无界输出线性时不变系统（系统）LTI0102叠加原理时不变性叠加原理是线性系统的核心特性，包含齐次性和可加时不变性表示系统的特性参数不随时间变化，系统的性两个方面齐次性表示输入信号乘以常数，输出也冲激响应形状保持不变，只是在时间轴上移动这一乘以相同常数；可加性表示多个输入信号的和产生的特性保证了系统分析的一致性，使得我们可以用固定输出等于各输入单独作用时输出的和这一原理使得的数学模型描述系统行为复杂信号的分析可以分解为简单信号的分析03卷积运算LTI系统的输入输出关系可以用卷积运算描述yt=xt*ht，其中ht是系统的冲激响应卷积运算将系统分析简化为冲激响应的确定，这是LTI系统理论的重要成果LTI系统的重要地位LTI系统在信号处理中占据核心地位，原因在于1）数学分析相对简单；2）有成熟的理论工具；3）许多实际系统可以近似为LTI系统；4）便于工程实现和优化LTI系统理论提供了系统分析的统一框架，无论是连续时间系统还是离散时间系统，都可以用类似的方法进行分析这种统一性不仅简化了理论学习，也为工程实践提供了有力工具掌握LTI系统理论是学习更高级信号处理技术的基础系统的因果性与稳定性因果系统特征因果系统的输出yt只依赖于当前时刻t以及t时刻之前的输入信号xτ（τ≤t）这意味着系统不能预知1未来的输入，符合物理系统的实际情况因果系统的冲激响应满足ht=0，当t0时在实际应用中，所有可实现的物理系统都必须是因果的，因为系统无法利用尚未发生的信号非因果系统通常只存在于理论分析中，或者在离线处理场合BIBO稳定性有界输入有界输出（BIBO）稳定性是系统稳定性的重要定义如果输入信号有界（|xt|≤M∞），则输2出信号也有界（|yt|≤N∞）对于LTI系统，BIBO稳定的充要条件是冲激响应绝对可积∫|hτ|dτ∞这个条件易于检验，在系统设计中具有重要实用价值实时系统需求系统可靠性因果性确保系统可以实时处理信号，输出不依赖未来输入，这是实时系统的基本要求稳定性保证系统在正常工作范围内不会产生过大的输出，确保系统运行的安全和可靠因果性和稳定性是系统设计的基本约束条件在实际系统设计中，必须同时满足这两个要求因果性保证系统的可实现性，而稳定性保证系统的可靠性这两个概念不仅在理论分析中重要，在工程实践中更是不可或缺的设计准则系统的动态行为与状态空间表示微分方程描述状态变量连续时间系统的动态行为通常用微分方程描述，状态变量是描述系统内部状态的最小变量集合，形式为a y⁽ⁿ⁾t+...+a₁yt+a₀yt=能够完全确定系统的未来行为状态变量的选择ₙb x⁽ᵐ⁾t+...+b₁xt+b₀xt不唯一，但维数固定ₘ输出方程状态方程输出方程建立状态变量与输出的关系yt=Cxt状态方程描述状态变量的动态演化ẋt=Axt++Dut，其中C为输出矩阵，D为直通矩阵But，其中A为系统矩阵，B为输入矩阵状态空间表示提供了系统分析的统一框架，无论系统多么复杂，都可以用状态方程和输出方程的标准形式描述这种统一性为现代控制理论和系统理论奠定了基础状态空间表示的优势在于第一，能够处理多输入多输出系统；第二，便于计算机处理和数值分析；第三，为现代控制理论提供基础；第四，能够描述系统的内部行为这种表示方法已经成为现代系统理论的标准工具，在控制工程、信号处理、通信系统等领域得到广泛应用系统动态行为的统一描述状态空间模型提供了描述系统动态行为的统一数学框架现代控制系统广泛采用状态空间方法进行分析和设计第三章变换分析工具变换是连接时域和频域的桥梁，为信号与系统分析提供强有力的数学工具拉普拉斯变换基础拉普拉斯变换定义收敛域概念复频域优势拉普拉斯变换是将时域函数ft变换为复频域函数Fs的积分变换，定义为拉普拉斯变换的收敛域（ROC）是使积分收敛的s值的集合收敛域的存在是拉普拉斯变换成立在复频域s域中，线性微分方程变成线性代数方程，极大简化了系统分析系统的传递函数Hs=的必要条件，不同的时域函数可能有不同的收敛域，这影响了变换的逆变换Ys/Xs完整描述了系统的输入输出关系，便于系统设计和分析其中s=σ+jω是复频率变量，σ为实部，ω为虚部这种变换将时域的微分运算转换为复频域的代数运算常用变换对单位阶跃ut↔1/s指数函数e^-atut↔1/s+a正弦函数sinωtut↔ω/s²+ω²余弦函数cosωtut↔s/s²+ω²拉普拉斯变换应用案例一阶低通滤波器分析01微分方程建立考虑RC低通滤波器，根据基尔霍夫电压定律建立微分方程其中xt为输入电压，yt为输出电压，RC为时间常数02拉普拉斯变换对微分方程两边进行拉普拉斯变换，利用微分性质假设初始条件为零，即y0⁻=003传递函数推导整理得到传递函数这是一阶低通滤波器的标准传递函数形式04时域响应恢复通过逆拉普拉斯变换可以得到冲激响应这是指数衰减函数，体现了低通滤波特性工程应用意义这个案例展示了拉普拉斯变换在电路分析中的威力复杂的微分方程求解变成了简单的代数运算，传递函数直接反映了系统的频率特性，为滤波器设计提供了理论指导通过这个典型案例可以看出，拉普拉斯变换不仅简化了数学分析过程，更重要的是提供了物理洞察传递函数的极点位置直接决定了系统的稳定性和动态响应特性，这为工程设计提供了直观的设计准则和优化方向傅里叶变换基础傅里叶变换定义傅里叶变换将时域信号转换为频域表示逆傅里叶变换恢复时域信号线性性质时移性质傅里叶变换满足线性性质若x₁t↔X₁ω，x₂t↔X₂ω，则ax₁t+bx₂t↔aX₁ω+时域中的时移对应频域中的相位调制xt-t₀↔Xωe^-jωt₀时移不改变信号的幅频特性，只bX₂ω这一性质使得复杂信号的分析可以分解为简单信号的分析影响相频特性这一性质在信号同步和时延分析中具有重要意义频移性质卷积性质频域中的频移对应时域中的复指数调制xte^jω₀t↔Xω-ω₀这一性质是调制解调技术的理时域卷积对应频域相乘x₁t*x₂t↔X₁ωX₂ω这一重要性质将复杂的卷积运算转换为简论基础，广泛应用于通信系统中单的乘法运算，极大简化了系统分析傅里叶变换是频谱分析的理论基础，它揭示了时域和频域之间的深刻联系通过傅里叶变换，我们可以从全新的角度理解信号任何复杂的时域信号都可以看作是不同频率正弦波的叠加这种观点不仅深化了对信号本质的理解，也为信号处理提供了强有力的分析工具傅里叶变换在系统分析中的作用理想低通滤波器频率响应分析频率响应定义因果性分析理想低通滤波器的频率响应为Hω=1,|ω|≤ωc；Hω=0,|ω|ωc，其中ωc为截止频率理想低通滤波器是非因果的，因为ht在t0时不为零，这在物理上不可实现123冲激响应求解通过逆傅里叶变换得到冲激响应ht=ωc/πsincωct，这是一个无限长的时域响应信号频谱的选择性滤波当输入信号包含多个频率分量时，低通滤波器只允许低于截止频率的分量通过，高频分量被抑制输出信号的频谱为Yω=XωHω这种选择性是滤波器的基本功能，广泛应用于信号预处理、噪声抑制等场合群延迟与相位失真实际滤波器的相位响应不是线性的，会引起群延迟，导致不同频率分量的时延不同这种相位失真在某些应用中是不可接受的，需要采用全通滤波器进行相位校正，或者设计线性相位滤波器频域分析的优势在于将复杂的时域卷积运算转换为简单的频域乘法运算这不仅简化了数学分析，更重要的是提供了直观的物理理解滤波器的作用就是对信号的不同频率分量施加不同的加权傅里叶变换在系统分析中的应用远不止滤波器分析它为理解系统的频率选择性、失真特性、稳定性等提供了统一的分析框架通过频域方法，我们可以直观地设计系统参数，优化系统性能，这是现代信号处理和通信系统设计的基础频域滤波的直观理解理想低通滤波器具有尖锐的截止特性，但在时域表现为无限长的冲激响应滤波过程可以直观地理解为信号频谱与滤波器频率响应的乘积第四章离散时间信号与数字处理数字信号处理是现代信息技术的基石，具有精度高、灵活性强、抗干扰能力强等优势离散时间信号特点数字化优势数字信号具有抗噪声强、易存储、便于处理等优点，是现代信息处理的主流方式量化过程将连续幅度值映射到有限的离散电平，引入量化噪声，但可通过增加量化比特数来减小采样理论按照奈奎斯特定理，采样频率必须大于信号最高频率的两倍，否则会发生频谱混叠离散信号的存储与处理优势离散时间信号相比连续时间信号具有显著优势精确性数字信号不受模拟电路非线性、温度漂移等因素影响，处理结果精确可重现灵活性通过编程可以实现复杂的信号处理算法，易于修改和升级集成度利用大规模集成电路技术，可以实现高性能、低功耗的数字信号处理器成本效益随着半导体技术的发展，数字处理的成本不断降低，性价比优势明显

99.9%1000x50%处理精度集成度提升功耗降低现代数字信号处理器的计算精度相比20年前的处理能力提升倍数新一代DSP芯片的功耗优化离散时间信号处理已经成为现代信息技术的核心从手机通信到音视频处理，从雷达系统到医学成像，离散信号处理技术无处不在理解离散信号的特点和处理方法，是掌握现代信号处理技术的关键离散时间信号的时域分析12序列表示方法有限长信号特性离散时间信号用序列x[n]表示，其中n为整数时间索引序有限长信号在有限个时间点上非零，具有有限的能量这列可以用集合形式、函数形式或图形形式表示常用的基类信号便于存储和处理，在数字信号处理中应用广泛有本序列包括单位脉冲序列δ[n]、单位阶跃序列u[n]、指数序限长信号的Z变换在整个z平面上收敛（除可能在z=0或z=∞列a^n u[n]等处的极点）序列的数学运算包括序列的相加、相乘、移位、翻折典型的有限长信号包括矩形窗序列、三角窗序列、汉宁窗等这些基本运算是构成复杂信号处理算法的基础序列等，它们在频域分析和滤波器设计中具有重要作用3无限长信号分析无限长信号在无限多个时间点上非零，需要特别关注收敛性问题根据衰减特性可分为绝对可和信号（能量有限）和平方可和信号（功率有限）无限长信号的分析更加复杂，需要考虑收敛域、稳定性等问题但它们能够更准确地模拟实际的物理过程，在理论分析中具有重要意义时域分析的重要性时域分析是离散信号处理的基础，它帮助我们理解信号的时间特性、建立数学模型、设计处理算法虽然频域分析具有重要作用，但时域分析仍然是不可替代的基础工具离散时间信号的时域分析为后续的变换域分析奠定基础通过时域分析，我们可以理解信号的基本性质，建立适当的数学模型，为系统设计和算法开发提供依据这种分析方法在实际应用中具有直观性强、易于理解和实现的优点变换基础ZZ变换定义Z变换是离散时间信号的频域分析工具其中z是复变量Z变换将序列变换为z的复函数，为离散时间系统分析提供了有力工具系统函数收敛域离散时间LTI系统的系统函数定义为Hz=Yz/Xz，完全表征了系统的输入输出关系系统函数的极零点分布决定了系统的频率响应特性ROC是使Z变换级数收敛的z值集合，通常是环形区域ROC的位置决定了原序列的特性右边序列的ROC是圆环外部，左边序列的ROC是圆环内部稳定性分析系统稳定的充要条件是系统函数的ROC包含单位圆如果所有极点都在单位圆内，系统就是稳定的这为稳定性判断提供了简单的几何准则逆Z变换逆Z变换用于从Xz恢复原序列x[n]，方法包括留数法、幂级数展开法、部频率响应分分式展开法等选择合适的方法可以简化计算过程当z=e^jω时，Z变换就是序列的离散时间傅里叶变换（DTFT），表示系统的频率响应He^jω通过分析频率响应可以了解系统的滤波特性Z变换是离散时间信号与系统分析的核心工具，它在离散时间领域的地位相当于拉普拉斯变换在连续时间领域的地位Z变换不仅提供了分析离散时间系统的数学工具，更重要的是为数字滤波器设计、数字信号处理算法开发提供了理论基础掌握Z变换是深入学习数字信号处理的必要条件Z变换应用离散时间系统稳定性判别与差分方程求解12系统建模Z变换考虑二阶IIR滤波器的差分方程y[n]-

1.5y[n-1]+

0.5y[n-2]=x[n]对差分方程进行Z变换Yz-

1.5z⁻¹Yz+

0.5z⁻²Yz=Xz34系统函数稳定性分析得到系统函数Hz=1/1-

1.5z⁻¹+

0.5z⁻²极点为z₁=

0.5,z₂=1，由于|z₂|=1在单位圆上，系统处于稳定边界稳定性判别准则稳定系统所有极点在单位圆内不稳定系统至少一个极点在单位圆外边界稳定极点在单位圆上因果稳定ROC包含单位圆且在最外层极点之外差分方程求解频率响应分析数字信号处理简介采样定理基础抗混叠滤波器设计重构滤波器奈奎斯特采样定理是数字信号处理的理论基石对于最高频率为抗混叠滤波器是模拟低通滤波器，安装在ADC之前，用于限制输数字信号处理后，通过DAC将数字信号转换回模拟信号DAC输f的带限信号，采样频率fs必须满足fs≥2f才能完全重建原始入信号的带宽，防止采样过程中产生频谱混叠滤波器的截止频出通常包含高频成分，需要重构滤波器（平滑滤波器）来消除这ₘₘ信号这个临界频率2f称为奈奎斯特频率率应设置为fs/2以下些不需要的高频分量，恢复平滑的模拟信号ₘ违反采样定理会导致频谱混叠（Aliasing），高频成分会折叠到实际设计中需要考虑滤波器的过渡带、阻带衰减、群延迟等特重构滤波器的设计要求与抗混叠滤波器类似，但需要特别注意相低频区域，造成不可恢复的信息损失因此，在实际应用中通常性常用的抗混叠滤波器类型包括巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤位线性度，以避免引入波形失真选择fs

2.5f以留有安全余量波器、椭圆滤波器等ₘ

44.1%95%16%音频采样率抗混叠效果量化精度CD音质采样频率相对于人耳听觉上限的比例良好设计的抗混叠滤波器可以消除的混叠成分16位量化相对于模拟信号动态范围的精度数字信号处理技术的发展推动了现代信息技术的进步从音频处理到图像处理，从通信系统到雷达系统，数字信号处理技术无处不在理解采样定理和滤波器设计原理，是掌握数字信号处理技术的基础，也是从事相关工程技术工作的必备知识课程总结与应用展望信号与系统理论的广泛应用通信系统控制工程图像处理音频处理现代通信系统大量应用信号与系统理控制系统设计广泛使用传递函数、状数字图像处理技术核心是二维信号处音频信号处理应用信号理论数字音论调制解调技术利用频移和相移原态空间方法；PID控制器的设计基于拉理图像增强使用空间域和频域滤频效果器使用各种数字滤波器；音频理；信道编码采用卷积和变换技术；普拉斯变换；数字控制系统采用Z变换波；图像压缩采用变换编码技术；医压缩采用感知编码技术；语音识别基多天线系统使用阵列信号处理；5G通分析；现代控制理论如最优控制、鲁学成像如CT、MRI基于信号重建理于模式识别和信号分析；音乐合成使信中的OFDM技术基于傅里叶变换理棒控制都建立在信号系统理论基础论；计算机视觉中的特征提取使用各用信号生成和处理算法论上种信号分析技术新兴应用领域技术发展趋势人工智能深度学习中的卷积神经网络本质上是多层信号处理系统实时处理更高速度、更低延迟的信号处理需求物联网传感器信号处理、无线通信、边缘计算都需要信号处理技术智能化结合机器学习的自适应信号处理自动驾驶雷达、激光雷达、摄像头信号处理是核心技术低功耗移动设备和IoT应用的节能要求生物医学脑机接口、医疗设备信号处理、生物信号分析并行处理多核处理器、GPU加速的并行算法信号与系统理论不仅是工程技术的基础，也是推动科技创新的重要工具随着人工智能、5G通信、物联网等新技术的发展，信号与系统理论的应用范围还在不断扩大掌握这些基础理论，将为未来的技术创新和工程实践奠定坚实基础信号与系统无处不在智慧城市中的各种信号处理应用通信网络、传感器、控制系统协同工作现代医疗设备广泛采用先进的信号处理技术进行诊断和治疗复习要点回顾变换工具1系统分析方法2信号特性与分类3信号基础知识系统理论分析工具•信号的定义与分类•系统的定义与分类•拉普拉斯变换•连续与离散信号•线性时不变系统•傅里叶变换•模拟与数字信号•因果性与稳定性•Z变换基础•周期与非周期信号•冲激响应与卷积•频域分析方法•信号的基本运算•状态空间表示•采样定理•能量与功率信号•传递函数概念•数字信号处理基础概念掌握工程实践能力理解信号与系统的基本概念，能够进行信号的基本分类和特性分析，掌握系统的基本性质判断能够将理论知识应用于工程实践，具备分析和设计基本信号处理系统的能力数学工具应用熟练掌握拉普拉斯变换、傅里叶变换、Z变换等数学工具，能够解决实际的信号与系统分析问题学习建议信号与系统课程理论性强，建议1）重视基本概念的理解；2）多做习题加深印象；3）结合实际应用理解理论；4）利用MATLAB等工具进行仿真验证；5）关注理论与实践的结合信号与系统课程是电子信息类专业的核心基础课程，为后续的通信原理、数字信号处理、自动控制原理等课程奠定基础扎实掌握本课程内容，对于深入学习专业知识和从事相关工程技术工作具有重要意义谢谢聆听！欢迎提问与讨论学习信号与系统理论是一个持续的过程，希望同学们在实践中不断加深理解，将理论知识转化为解决实际问题的能力。