大学数学教学课件

大学数学教学课件目录基础概念篇进阶理论篇应用实践篇函数与极限级数与无穷常微分方程简介•••导数与微分多元函数微积分典型例题解析•••积分学基础线性代数基础总结与展望•••第一章函数的定义与分类函数的数学定义函数的基本性质函数是描述两个变量之间依赖关系的数学表达，通常表示为$y=fx$，其中变量$x$的每一个值对应唯一的$y$值奇偶性函数概念是现代数学的核心，也是描述客观世界中各种变化关系的基本工具奇函数$f-x=-fx$，图像关于原点对称常见函数类型偶函数$f-x=fx$，图像关于$y$轴对称周期性•多项式函数$fx=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$•指数函数$fx=a^x$，其中$a0$且$a\neq1$若存在$T0$使得对任意$x$，有$fx+T=fx$，则称$fx$为周期函数，最小的$T$值称为基本周期•对数函数$fx=\log_a x$，其中$a0$且$a\neq1$单调性•三角函数$\sin x$,$\cos x$,$\tan x$等在区间内，如果$x_1x_2$时总有$fx_1fx_2$，则函数在该区间单调递增；反之则单调递减有界性极限的概念与计算极限的直观理解极限的四则运算法则典型极限计算技巧当自变量$x$无限接近某一值$a$时，函数值若$\lim fx=A$，$\lim gx=B$，则处理常见的不定式$fx$无限接近一个确定的常数$L$，则称•和差法则$\lim[fx\pm gx]=A\pm$\frac{0}{0}$型因式分解、约分、洛必达$L$为函数$fx$当$x\to a$时的极限，记法则B$作•乘积法则$\lim[fx\cdot gx]=A$\frac{\infty}{\infty}$型通分、同除最高$\lim\limits_{x\to a}fx=L$次幂\cdot B$极限概念是微积分的基础，用于精确描述无限•商法则$\lim\frac{fx}{gx}=$0\cdot\infty$型转化为$\frac{0}{0}$接近的过程\frac{A}{B}$（$B\neq0$）或$\frac{\infty}{\infty}$型•复合函数$\lim f[gx]=f[\lim gx]$$\infty-\infty$型通分、有理化等（当$f$在$\lim gx$处连续）重要极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，$\lim\limits_{x\to\infty}1+\frac{1}{x}^x=e$极限的应用连续性函数连续的定义闭区间连续函数性质如果函数$fx$在点$x_0$处满足以下三个条件，则称$fx$在点$x_0$处连续在闭区间$[a,b]$上连续的函数具有以下重要性质

1.$fx_0$有定义（函数在该点存在）有界性定理函数在闭区间上必有上界和下界

2.$\lim\limits_{x\to x_0}fx$存在（极限存在）最值定理函数在闭区间上必能取得最大值和最小值

3.$\lim\limits_{x\to x_0}fx=fx_0$（函数值等于极限值）介值定理对于区间上任意两点的函数值，函数必能取到它们之间的任何值函数在区间上连续，指函数在区间内每一点都连续一致连续性对任意给定的$\varepsilon0$，存在$\delta0$，使得对区间上任意两点$x_1,x_2$，只要$|x_1-x_2|\delta$，就有$|fx_1-fx_2|\varepsilon$不连续点的分类与处理函数的不连续点可分为三类第一类间断点左右极限存在但不相等，或者与函数值不等第二类间断点至少有一侧极限不存在可去间断点极限存在但与函数值不等或函数值不存在极限过程示意图函数曲线趋近某点左极限与右极限极限过程的直观理解当$x$从左侧无限接近$a$时，$fx$的极限函数极限可以通过数值表或图形来直观理解称为左极限，记作•通过构造数值表，观察当$x$逐渐接近$\lim\limits_{x\to a^-}fx$或$fa^-$$a$时，$fx$的变化趋势•从图形上看，随着点$x,fx$沿着函数曲当$x$从右侧无限接近$a$时，$fx$的极限线移动，当$x\to a$时，函数值$fx$无称为右极限，记作限接近某个确定值$L$$\lim\limits_{x\to a^+}fx$或$fa^+$极限过程是一种动态变化，它描述的是变量在无函数在点$a$处极限存在的充要条件是左右极限限接近过程中的行为，而非某个特定点的函数都存在且相等值这种思想为解决瞬时变化率、曲线切线等问题提供了数学基础$\lim\limits_{x\to a}fx=L\Leftrightarrow\lim\limits_{x\to a^-}fx=\lim\limits_{x\toa^+}fx=L$注意函数在某点处有极限，并不要求函数在该点有定义极限只关注自变量无限接近该点时函数的行为第二章导数与微分导数的定义与几何意义导数的定义导数的物理意义函数$fx$在点$x_0$处的导数定义为导数在物理学中具有重要应用$fx_0=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{fx_0+\Delta x-fx_0}{\Delta x}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{fx-•位移函数$st$的导数表示速度$vt=st$fx_0}{x-x_0}$•速度函数$vt$的导数表示加速度$at=vt=st$导数描述了函数在某点处的变化率，是微积分的核心概念之一•电流是电荷对时间的导数$It=\frac{dQt}{dt}$导数的几何意义导数存在与函数光滑性函数$fx$在点$x_0$处的导数$fx_0$表示曲线$y=fx$在点$x_0,fx_0$处的切线斜率函数在点$x_0$处可导的充要条件是左导数等于右导数切线方程$y-fx_0=fx_0x-x_0$$f_-x_0=f_+x_0$法线方程（垂直于切线）$y-fx_0=-\frac{1}{fx_0}x-x_0$（当$fx_0\neq0$时）函数可导必连续，但连续不一定可导典型的不可导点包括•尖点（如$|x|$在$x=0$处）•角点（左右导数存在但不相等）•垂直切线点（导数为无穷大）基本求导法则12基本初等函数求导公式复合函数求导法则掌握以下基本求导公式是求导的基础当函数形式为$y=fgx$时，应用链式法则•$C=0$（常数的导数为零）$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$（其中$u=gx$）•$x^n=nx^{n-1}$（幂函数求导）具体应用•$e^x=e^x$（自然指数函数）•$[fgx]=fgx\cdot gx$•$a^x=a^x\ln a$（一般指数函数）•例如$[\sinx^2]=\cosx^2\cdot x^2=2x\cosx^2$•$\ln x=\frac{1}{x}$（自然对数函数）链式法则可以扩展到多重复合函数•$\log_a x=\frac{1}{x\ln a}$（一般对数函数）$[fghx]=fghx\cdot ghx\cdot hx$•$\sin x=\cos x$，$\cos x=-\sin x$（三角函数）•$\tan x=\sec^2x$，$\cot x=-\csc^2x$（三角函数）34运算法则高阶导数函数的四则运算求导法则函数的高阶导数是指对函数多次求导的结果和差法则$[fx\pm gx]=fx\pm gx$•二阶导数$fx=fx$乘积法则$[fx\cdot gx]=fx\cdot gx+fx\cdot gx$•三阶导数$fx=fx$商法则$[\frac{fx}{gx}]=\frac{fx\cdot gx-fx\cdot gx}{[gx]^2}$，其中$gx\neq0$•$n$阶导数$f^{n}x=f^{n-1}x$反函数求导法则如果$y=fx$在点$x_0$处可导且$fx_0\neq0$，则其反函数$x=f^{-1}y$在点$y_0=常见函数的高阶导数fx_0$处也可导，且•$\sin x^{n}=\sinx+n\frac{\pi}{2}$$\frac{dx}{dy}\big|_{y=y_0}=\frac{1}{fx_0}$•$e^{ax}^{n}=a^n e^{ax}$•$x^m^{n}=\frac{m!}{m-n!}x^{m-n}$，当$m\geq n$高阶导数在泰勒展开和微分方程中有重要应用学习建议求导法则需要大量练习才能熟练掌握尝试创建自己的公式速查表，将基本求导公式和各种法则整理归纳，方便复习和应用导数的应用函数单调性与极值判定凹凸性与拐点导数符号与函数单调性的关系函数的凹凸性由二阶导数决定•若在区间内$fx0$，则函数在该区间单调递增•若在区间内$fx0$，则函数在该区间上凹（曲线向上弯曲）•若在区间内$fx0$，则函数在该区间单调递减•若在区间内$fx0$，则函数在该区间下凹（曲线向下弯曲）函数极值的必要条件若函数$fx$在点$x_0$处取得极值，且在该点可导，则$fx_0=0$拐点是函数凹凸性改变的点，即$fx=0$且$fx$在该点两侧符号相反的点满足$fx_0=0$的点称为驻点或临界点曲线描绘与优化问题极值的充分条件利用导数描绘函数曲线的步骤第一充分条件若$fx_0=0$且当$xx_0$时$fx0$，当$xx_0$时$fx0$，则$fx_0$为极大值；反之类

1.确定函数的定义域似

2.研究函数的对称性、周期性第二充分条件若$fx_0=0$且$fx_00$，则$fx_0$为极大值；若$fx_00$，则为极小值

3.求函数的渐近线

4.确定函数的单调区间和极值点

5.确定函数的凹凸性和拐点

6.绘制函数图像典型例题求函数极值与绘制图像例题函数极值问题例题函数图像描绘12求函数$fx=x^3-3x^2+2$的极值描绘函数$fx=\frac{x^2}{x^2+1}$的图像解答解答第一步求导数1定义域全体实数$fx=3x^2-6x=3xx-2$2对称性$f-x=\frac{-x^2}{-x^2+1}=\frac{x^2}{x^2+1}=fx$，为偶函数第二步求驻点（$fx=0$）3渐近线当$|x|\to\infty$时，$fx\to1$，所以$y=1$是水平渐近线$3xx-2=0$得$x=0$或$x=2$4求导数$fx=\frac{2xx^2+1-x^2\cdot2x}{x^2+1^2}=\frac{2x}{x^2+1^2}$第三步求二阶导数5单调性当$x0$时，$fx0$，函数单调递增；当$x0$时，$fx0$，函数单调递减$fx=6x-6=6x-1$6极值当$x=0$时，$fx=0$，且导数符号在此处由负变正，所以$f0=0$是极小值第四步判断极值7凹凸性略（通过二阶导数判断）•当$x=0$时，$f0=-60$，所以$f0=2$是极大值•当$x=2$时，$f2=60$，所以$f2=-2$是极小值注意判断极值时，也可以使用导数符号的变化来判断在临界点附近取值，观察一阶导数符号的变化情况第三章积分学基础不定积分与基本积分公式不定积分的定义基本积分公式函数$Fx$称为$fx$的原函数，如果对任意$x\in I$，都有$Fx=fx$•$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$（$n\neq-1$）•$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$函数$fx$在区间$I$上的所有原函数称为$fx$的不定积分，记作•$\int e^x dx=e^x+C$$\int fxdx=Fx+C$•$\int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$（$a0,a\neq1$）其中$C$是任意常数，称为积分常数不定积分表示一族函数，它们的导数都等于被积函数•$\int\sin x dx=-\cos x+C$不定积分的基本性质•$\int\cos xdx=\sin x+C$•$\int\tan xdx=-\ln|\cos x|+C$•$\int[fx\pm gx]dx=\int fxdx\pm\int gxdx$•$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$•$\int kfxdx=k\int fxdx$（$k$为常数）•$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$•$\frac{d}{dx}\int fxdx=fx$换元积分法•$\int Fxdx=Fx+C$第一类换元法（凑微分法）如果$\int fudu=Fu+C$，则$\int fgxgxdx=Fgx+C$第二类换元法（设置新的变量）令$x=\varphit$，则$dx=\varphitdt$，原积分化为$\int fxdx=\int f\varphit\varphitdt$分部积分法公式$\int uxvxdx=uxvx-\int uxvxdx$适用情况被积函数是两类不同函数的乘积，如•多项式与指数函数$\int x^n e^xdx$•多项式与三角函数$\int x^n\sin xdx$，$\int x^n\cos xdx$•多项式与对数函数$\int x^n\ln xdx$分部积分法常用记忆口诀反对幂指三，即反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数，前面的函数求导后次数降低，后面的函数积分后不会使计算复杂化定积分的定义与性质定积分的定义定积分的性质设函数$fx$在闭区间$[a,b]$上有界，将区间$[a,b]$任意分成$n$个小区间线性性质$\int_a^b[kfx\pm mgx]dx=k\int_a^b fxdx\pm m\int_a^b gxdx$区间可加性$\int_a^b fxdx=\int_a^c fxdx+\int_c^b fxdx$（$acb$）$a=x_0x_1x_

2...x_n=b$不等式性质在每个小区间$[x_{i-1},x_i]$上任取一点$\xi_i$，构造黎曼和•若$fx\leq gx$，则$\int_a^b fxdx\leq\int_a^b gxdx$$S_n=\sum_{i=1}^{n}f\xi_i\Delta x_i$，其中$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$•$|\int_a^b fxdx|\leq\int_a^b|fx|dx$如果当所有小区间的最大长度$\lambda\to0$时，黎曼和的极限存在且唯一，则称此极限为函数$fx$在区间$[a,b]$上的定积分，记作奇偶性•若$fx$是偶函数，则$\int_{-a}^a fxdx=2\int_0^a fxdx$$\int_a^b fxdx=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f\xi_i\Delta x_i$•若$fx$是奇函数，则$\int_{-a}^a fxdx=0$定积分的几何意义定积分中值定理若$fx$在$[a,b]$上连续，则存在$\xi\in[a,b]$，使得$\int_a^b fxdx=f\xib-a$当$fx\geq0$时，$\int_a^b fxdx$表示曲线$y=fx$、直线$x=a$、$x=b$以及$x$轴所围成的区域的面积积分的应用面积计算体积计算平面区域面积的计算旋转体体积的计算$S=\int_a^b fxdx$（当$fx\geq0$时）$V=\pi\int_a^b[fx]^2dx$$S=\int_a^b|fx-gx|dx$$V=2\pi\int_a^b x\cdot fxdx$$S=\int_{\alpha}^{\beta}ytxtdt$$V=\int_a^b Sxdx$，其中$Sx$是垂直于$x$轴的截面面积

1.曲线$y=fx$、$x$轴以及直线$x=a$、$x=b$所围成的区域面积

1.绕$x$轴旋转的体积

2.曲线$y=fx$、$y=gx$以及直线$x=a$、$x=b$所围成的区域面积

2.绕$y$轴旋转的体积

3.参数方程表示的曲线与坐标轴围成的区域面积

3.平行截面面积已知的体积在某些情况下，可以考虑对$y$进行积分$S=\int_c^d xydy$通过积分计算体积时，关键是确定适当的积分变量和积分区间弧长与曲面积物理应用平面曲线的弧长积分在物理学中有广泛应用$L=\int_a^b\sqrt{1+[fx]^2}dx$$W=\int_a^b Fxdx$$L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[xt]^2+[yt]^2}dt$$P=\rho g\int_a^b yx\cdot lxdx$$L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2+\frac{dr}{d\theta}^2}d\theta$其中$\rho$是液体密度，$g$是重力加速度，$yx$是深度函数，$lx$是宽度函数

1.显函数$y=fx$，$x\in[a,b]$$\bar{x}=\frac{\int_a^b x\cdot\rhox dx}{\int_a^b\rhox dx}$

2.参数方程$x=xt$，$y=yt$，$t\in[\alpha,\beta]$其中$\rhox$是线密度函数

3.极坐标方程$r=r\theta$，$\theta\in[\alpha,\beta]$功变力$Fx$沿直线从$a$到$b$所做的功旋转曲面的面积曲线$y=fx$，$x\in[a,b]$绕$x$轴旋转形成的曲面面积流体压力垂直于液面的平面板所受的液体压力$S=2\pi\int_a^b fx\sqrt{1+[fx]^2}dx$质心一维物体的质心坐标定积分几何示意图曲线下方面积定积分几何理解定积分的扩展理解定积分的几何意义是计算曲线与坐标轴围成的区定积分不仅表示面积，还可以表示更广泛的累积域面积这一概念可以通过以下步骤理解变化

1.将区间$[a,b]$分成$n$个小区间位移与路程速度函数$vt$的定积分表示位

2.在每个小区间上构造矩形，矩形的高为该区移，而$|vt|$的定积分表示路程间内某点的函数值电荷与电流电流函数$It$的定积分表示时间段内通过导体的总电荷量

3.所有矩形的面积之和近似于曲线下的面积

4.当分割无限细化时，矩形面积和的极限即为概率密度概率密度函数$fx$在区间上的定积分表示随机变量落在该区间的概率定积分值不同的矩形构造方法计算提示实际应用中，定积分的计算左矩形法使用每个小区间左端点的函数值作为可以利用牛顿-莱布尼茨公式转化为不矩形高定积分问题对于复杂的被积函数，可右矩形法使用每个小区间右端点的函数值作为以考虑数值积分方法，如梯形法、辛普矩形高森法等中点矩形法使用每个小区间中点的函数值作为矩形高定积分的几何意义为理解微积分的本质提供了直梯形法使用梯形代替矩形，通常有更好的近似观视角，帮助我们将抽象的数学概念与现实世界效果联系起来第四章级数与无穷数项级数基础级数的定义与收敛性收敛判别法简介给定数列$\{a_n\}$，形式为$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+a_3+\cdots$的表达式称为无穷级数判断级数收敛性的常用方法定义部分和序列$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$，若$\lim_{n\to\infty}S_n=S$存在，则称级数收敛，$S$为级数和；若极限不存在，则称级数发散比较判别法若$0\leq a_n\leq b_n$，且$\sum b_n$收敛，则$\sum a_n$收敛若$a_n\geq b_n\geq0$，且$\sum b_n$发散，则$\sum a_n$发散级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛的必要条件是$\lim_{n\to\infty}a_n=0$注意，这只是必要条件而非充分条件比值判别法若$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho$，则•当$\rho1$时，级数$\sum a_n$绝对收敛几何级数与调和级数•当$\rho1$时，级数$\sum a_n$发散几何级数$\sum_{n=0}^{\infty}ar^n=a+ar+ar^2+\cdots$•当$\rho=1$时，需要用其他方法判断根值判别法若$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho$，则•当$|r|1$时收敛，其和为$S=\frac{a}{1-r}$•当$\rho1$时，级数$\sum a_n$绝对收敛•当$|r|\geq1$时发散•当$\rho1$时，级数$\sum a_n$发散调和级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$•当$\rho=1$时，需要用其他方法判断调和级数是发散的，尽管其通项$a_n=\frac{1}{n}\to0$积分判别法若$fx$在$[1,+\infty$上为连续非负减函数，且$a_n=fn$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$与反常积分$\int_1^{+\infty}fxdx$有相同的敛散性p-级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$•当$p1$时收敛•当$p\leq1$时发散幂级数与函数展开幂级数的定义泰勒级数与麦克劳林级数形如$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx-x_0^n=a_0+a_1x-x_0+a_2x-x_0^2+\cdots$的级数称为幂级数，其中$a_n$是常系数，$x_0$是展开中心若函数$fx$在点$x_0$的某个邻域内具有任意阶导数，则函数可以表示为泰勒级数幂级数的收敛性对于每个幂级数，存在一个非负数$R$（收敛半径），使得$fx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{n}x_0}{n!}x-x_0^n=fx_0+fx_0x-x_0+\frac{fx_0}{2!}x-x_0^2+\cdots$•当$|x-x_0|R$时，级数绝对收敛当$x_0=0$时，称为麦克劳林级数•当$|x-x_0|R$时，级数发散$fx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{n}0}{n!}x^n=f0+f0x+\frac{f0}{2!}x^2+\cdots$•当$|x-x_0|=R$时，需要单独讨论泰勒级数的余项$R_nx=fx-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{k}x_0}{k!}x-x_0^k$收敛半径可以通过公式计算$R=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$或$R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$泰勒定理如果$fx$在$x_0$处有$n+1$阶导数，则幂级数的性质$fx=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{k}x_0}{k!}x-x_0^k+\frac{f^{n+1}\xi}{n+1!}x-x_0^{n+1}$在收敛区间内，幂级数具有良好的性质其中$\xi$在$x_0$和$x$之间•幂级数表示的函数在收敛区间内连续•幂级数可以逐项求导和逐项积分，导数和积分的收敛半径与原级数相同•幂级数的和函数在收敛区间内可以任意阶导数常见函数的麦克劳林展开级数的实际应用函数近似解微分方程数值计算基础泰勒级数可以用来近似计算复杂函数的值幂级数法是解微分方程的重要方法之一级数为复杂函数的数值计算提供了理论基础•使用有限项来近似无限级数

1.假设解函数可以表示为幂级数形式$y=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$•数值积分方法•计算误差由余项估计$|R_nx|\leq\frac{M}{n+1!}|x-x_0|^{n+1}$

2.将级数代入微分方程•迭代算法的收敛性分析•应用实例$\sin

0.1\approx

0.1-\frac{

0.1^3}{3!}=

0.1-

0.000167\approx

0.09983$

3.比较各次幂系数，求解$a_n$•特殊函数值的计算（如贝塞尔函数、伽马函数等）计算器和计算机内部就是使用级数展开来计算复杂函数值的

4.得到级数解例如，计算$\pi$的值例如，微分方程$y+y=0$的解可以表示为$\pi=41-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$$y=C1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots=Ce^{-x}$$\pi=\sqrt{6}\cdot\sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}$工程中的应用物理学中的应用级数在工程学科中有广泛应用级数在物理学中的重要应用信号处理傅里叶级数可以将周期信号分解为不同频率的正弦函数之和，是频谱分析的基础量子力学薛定谔方程的级数解控制理论利用级数展开分析系统的稳定性和响应特性电磁学多极展开，电磁场的级数表示热传导使用级数解求解热传导方程，分析温度分布统计物理配分函数的级数展开结构分析使用级数方法求解振动方程，分析结构的振动模态相对论时空度规的级数展开在许多工程问题中，即使无法得到解析解，通过级数方法也能获得高精度的近似解第五章多元函数微积分多元函数的定义与图形多元函数的定义等高线与曲面图示多元函数是指因变量的值依赖于两个或两个以上自变量的函数等高线（等值线）是平面上满足$fx,y=c$（$c$为常数）的点的集合等高线具有以下性质二元函数的一般形式$z=fx,y$，其中$x,y$在定义域$D\subset\mathbb{R}^2$内•等高线是曲面在水平面$z=c$上的截线的投影三元函数的一般形式$w=fx,y,z$，其中$x,y,z$在定义域$D\subset\mathbb{R}^3$内•等高线之间的密度表示函数变化的快慢•等高线不相交向量值函数$\vec{F}x_1,x_2,...,x_n=f_1x_1,x_2,...,x_n,f_2x_1,x_2,...,x_n,...,f_mx_1,x_2,...,x_n$•闭合的等高线表示局部极值二元函数的几何表示等高线图是地形图和气象图的基础，在工程和自然科学中有广泛应用二元函数$z=fx,y$可以用三维空间中的曲面来表示常见多元函数的几何意义•每一点$x,y,z$满足$z=fx,y$构成空间曲面物理学中的多元函数例子•$z$表示点$x,y$在曲面上的高度•温度场$Tx,y,z,t$表示空间点$x,y,z$在时刻$t$的温度常见的二元函数曲面•电场$\vec{E}x,y,z$表示空间点$x,y,z$处的电场强度•平面$z=ax+by+c$•流体速度场$\vec{v}x,y,z,t$表示流体在点$x,y,z$处时刻$t$的速度•球面$x^2+y^2+z^2=r^2$•抛物面$z=x^2+y^2$•双曲抛物面$z=x^2-y^2$•椭球面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$多元函数的极限与连续性偏导数与全微分偏导数的定义与计算全微分与线性近似偏导数表示多元函数在某一变量方向上的变化率，保持其他变量不变二元函数$z=fx,y$的全微分二元函数$z=fx,y$的偏导数$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$对$x$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}=f_xx,y=\lim_{\Delta x\to0}\frac{fx+\Delta x,y-fx,y}{\Delta x}$全微分表示函数值的微小变化，可用于函数的线性近似对$y$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial y}=f_yx,y=\lim_{\Delta y\to0}\frac{fx,y+\Delta y-fx,y}{\Delta y}$$fx_0+\Delta x,y_0+\Delta y\approx fx_0,y_0+f_xx_0,y_0\Delta x+f_yx_0,y_0\Delta y$计算偏导数时，将非求导变量视为常数，然后按照普通导数规则求导对于可微函数，上述近似的误差为高阶无穷小高阶偏导数方向导数与梯度向量二阶偏导数方向导数表示函数在指定方向上的变化率$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}=f_{xx}$设$\vec{l}=\cos\alpha,\cos\beta$是单位向量，则函数$fx,y$在点$x_0,y_0$沿$\vec{l}$方向的方向导数为$\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}=f_{xy}$$\frac{\partial f}{\partial\vec{l}}=f_xx_0,y_0\cos\alpha+f_yx_0,y_0\cos\beta$$\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}=f_{yx}$梯度向量定义$\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial y}=f_{yy}$$\nabla fx,y=f_xx,y,f_yx,y$若混合偏导数连续，则它们的求导顺序可以交换，即$f_{xy}=f_{yx}$梯度向量的性质•梯度向量垂直于等值线•梯度向量指向函数值增加最快的方向•梯度向量的模等于最大方向导数值多元函数极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值极值的充分条件拉格朗日乘数法设函数$fx,y$在点$x_0,y_0$的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任意点$x,y\neq x_0,设函数$fx,y$在点$x_0,y_0$的二阶偏导数连续，且$x_0,y_0$是驻点，令求解约束极值问题在约束条件$gx,y=0$下，求函数$fx,y$的极值y_0$，都有$A=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}x_0,y_0$，$B=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial拉格朗日函数$Lx,y,\lambda=fx,y-\lambda gx,y$$fx,yfx_0,y_0$，则称$fx_0,y_0$为极大值y}x_0,y_0$，$C=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}x_0,y_0$求解方程组$fx,yfx_0,y_0$，则称$fx_0,y_0$为极小值判别式$\Delta=AC-B^2$，则$\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}-\lambda\frac{\partial g}{\partial x}极值点的必要条件若函数$fx,y$在点$x_0,y_0$取得极值，且在该点可微，则•若$\Delta0$且$A0$，则$x_0,y_0$是极大值点=0$$\frac{\partial f}{\partial x}x_0,y_0=0$，$\frac{\partial f}{\partial y}x_0,y_0=0$•若$\Delta0$且$A0$，则$x_0,y_0$是极小值点$\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y}-\lambda\frac{\partial g}{\partial y}满足上述条件的点称为驻点或临界点•若$\Delta0$，则$x_0,y_0$是鞍点（非极值点）=0$•若$\Delta=0$，则需要更高阶导数或其他方法判断$\frac{\partial L}{\partial\lambda}=-gx,y=0$几何解释在约束曲线上寻找函数值最大或最小的点，此时函数的等值线与约束曲线相切典型例题解析例题带约束的极值问题2例题1求自由极值求在约束条件$x^2+y^2=1$下，函数$fx,y=x^2-y^2$的极值解答求函数$fx,y=x^2+xy+y^2-3x-3y$的极值解答使用拉格朗日乘数法第一步求偏导数并令其为零构造拉格朗日函数$Lx,y,\lambda=x^2-y^2-\lambdax^2+y^2-1$偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y-3=0$$\frac{\partial f}{\partial y}=x+2y-3=0$$\frac{\partial L}{\partial x}=2x-2\lambda x=0$第二步求驻点$\frac{\partial L}{\partial y}=-2y-2\lambda y=0$解方程组得$x=1$，$y=1$$\frac{\partial L}{\partial\lambda}=-x^2+y^2-1=0$第三步判别极值解方程组$A=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=2$，$B=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=1$，$C=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=2$从前两个方程得$x1-\lambda=0$，$y-1-\lambda=0$可能的情况$\Delta=AC-B^2=2\times2-1^2=30$，且$A=20$因此，点$1,1$是极小值点，极小值为$f1,1=1^2+1\times1+1^2-3\times1-3\times1=-3$•当$\lambda=1$时，$y=0$，从约束条件得$x^2=1$，即$x=\pm1$•当$\lambda=-1$时，$x=0$，从约束条件得$y^2=1$，即$y=\pm1$极值点及对应函数值•$1,0$$f1,0=1$（极大值）•$-1,0$$f-1,0=1$（极大值）•$0,1$$f0,1=-1$（极小值）•$0,-1$$f0,-1=-1$（极小值）第六章线性代数基础矩阵与行列式矩阵的定义与基本运算行列式的定义与性质矩阵是由$m\times n$个数按照矩形方阵排列而成的数表，记作$n$阶方阵$A$的行列式记作$|A|$或$\det A$，它是矩阵元素的一个函数，定义为$A=\begin{pmatrix}a_{11}a_{12}\cdotsa_{1n}\\a_{21}a_{22}\cdotsa_{2n}\\\vdots\vdots\ddots\vdots\\a_{m1}a_{m2}$|A|=\sum_{\sigma}-1^{\tau\sigma}a_{1\sigma1}a_{2\sigma2}\cdots a_{n\sigman}$\cdotsa_{mn}\end{pmatrix}$其中求和遍历所有$n$个元素的排列$\sigma$，$\tau\sigma$是排列的逆序数矩阵的基本运算行列式的性质•加法$A+B=a_{ij}+b_{ij}$，要求两矩阵同型

1.行列式与它的转置相等$|A|=|A^T|$•数乘$kA=ka_{ij}$

2.交换行列式的两行（或两列），行列式变号•乘法$C=AB$，其中$c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$，要求$A$的列数等于$B$的行数

3.行列式的某一行（或列）乘以$k$，等于用$k$乘以原行列式•转置$A^T=a_{ji}$

4.行列式中某一行（或列）的各元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和特殊矩阵

5.行列式中某一行（或列）的$k$倍加到另一行（或列），行列式值不变•单位矩阵$I_n$主对角线元素为1，其余元素为

06.若行列式有两行（或两列）完全相同，则行列式为零•零矩阵所有元素都为

07.若行列式有某一行（或列）的元素全为零，则行列式为零•对称矩阵$A^T=A$

8.三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积•反对称矩阵$A^T=-A$

9.矩阵乘积的行列式等于各矩阵行列式的乘积$|AB|=|A|\cdot|B|$•上三角矩阵主对角线以下元素全为0•下三角矩阵主对角线以上元素全为0逆矩阵与矩阵的秩线性方程组与向量空间线性方程组向量空间基本概念线性方程组的一般形式向量空间是满足加法和数乘运算封闭性的集合$n$维向量空间$\mathbb{R}^n$中的元素是$n$元有序数组$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\\vdots\\a_{m1}x_1+向量的线性组合$c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_kv_k$，其中$c_i$是标量，$v_i$是向量a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}$线性相关与线性无关若存在不全为零的数$c_1,c_2,\ldots,c_k$使得$c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_kv_k=0$，则称向量组$v_1,v_2,\ldots,v_k$线性矩阵形式$AX=b$，其中$A$是$m\times n$的系数矩阵，$X$是$n\times1$的未知量列向量，$b$是$m\times1$的常数列向量相关；否则称为线性无关增广矩阵$A|b$基底与维数高斯消元法向量空间的基底是一组线性无关的向量，它们的线性组合可以表示空间中的任意向量高斯消元法是解线性方程组的基本方法，步骤如下向量空间的维数是基底中向量的个数

1.将增广矩阵$A|b$通过初等行变换化为行阶梯形向量的坐标给定基底$e_1,e_2,\ldots,e_n$，向量$v$可以唯一表示为$v=x_1e_1+x_2e_2+\cdots+x_ne_n$，其中$x_1,x_2,\ldots,x_n$是向量

2.继续变换得到行最简形$v$在该基底下的坐标

3.通过回代求解方程组基变换两组基底之间的坐标变换可以通过变换矩阵实现线性方程组解的情况•无解$\text{rank}A\text{rank}A|b$•唯一解$\text{rank}A=\text{rank}A|b=n$•无穷多解$\text{rank}A=\text{rank}A|bn$，解的个数为$\infty^{n-\text{rank}A}$线性变换线性变换是保持向量加法和数乘运算的映射$T:V\to W$，即满足

1.$Tu+v=Tu+Tv$

2.$Tcu=cTu$线性变换可以用矩阵表示若$T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$是线性变换，则存在唯一的$m\times n$矩阵$A$，使得对任意$x\in\mathbb{R}^n$，有$Tx=Ax$线性变换的核（kernel）是映射到零向量的所有向量的集合$\text{ker}T=\{v\in V|Tv=0\}$第七章常微分方程简介常微分方程的基本概念一阶微分方程解法常微分方程是包含未知函数及其导数的方程一般形式$Fx,y,y,y,\ldots,y^{n}=0$可分离变量方程$\frac{dy}{dx}=fxgy$方程的阶方程中出现的最高阶导数的阶数解法分离变量后积分，$\int\frac{1}{gy}dy=\int fxdx+C$方程的解满足方程的函数$y=\varphix$齐次方程$\frac{dy}{dx}=f\frac{y}{x}$通解包含$n$个独立任意常数的解（$n$为方程的阶数）解法令$u=\frac{y}{x}$，则$y=ux$，$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$，转化为可分离变量方程特解给定初始条件下的解一阶线性方程$\frac{dy}{dx}+Pxy=Qx$解法乘以积分因子$e^{\int Pxdx}$，然后积分线性微分方程基础应用实例二阶线性齐次方程$y+pxy+qxy=0$人口模型$\frac{dP}{dt}=kP$（指数增长）或$\frac{dP}{dt}=kP1-\frac{P}{N}$（Logistic模型）解的结构若$y_1x$和$y_2x$是方程的两个线性无关解，则通解为$y=C_1y_1x+C_2y_2x$物理振动$m\frac{d^2x}{dt^2}+c\frac{dx}{dt}+kx=Ft$常系数线性齐次方程$ay+by+cy=0$（$a,b,c$为常数）•自由振动$Ft=0$特征方程$ar^2+br+c=0$•阻尼振动$c0$•若特征根为$r_1\neq r_2$，则通解为$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$•强迫振动$Ft\neq0$•若特征根为$r_1=r_2=r$，则通解为$y=C_1+C_2x e^{rx}$电路$L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}q=Et$（其中$L$为电感，$R$为电阻，$C$为电容）•若特征根为复数$r_{1,2}=\alpha\pm\beta i$，则通解为$y=e^{\alpha x}C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x$二阶线性非齐次方程例题二阶常系数线性微分方程形式$y+pxy+qxy=fx$求解微分方程$y-3y+2y=4e^{2x}$解的结构$y=y_h+y_p$，其中$y_h$是对应齐次方程的通解，$y_p$是非齐次方程的一个特解解答求特解的方法1求齐次方程的通解常数变易法假设特解形式为$y_p=u_1xy_1x+u_2xy_2x$，其中$y_1,y_2$是齐次方程的基解，然后确定$u_1,u_2$特征方程$r^2-3r+2=0$待定系数法当$fx$是某些特殊函数（如多项式、指数函数、正弦函数等）时，根据$fx$的形式假设特解的形式，然后代入原方程确定系数解得$r_1=1$，$r_2=2$齐次方程的通解$y_h=C_1e^x+C_2e^{2x}$2求非齐次方程的特解由于$fx=4e^{2x}$，且$e^{2x}$是齐次方程的解，所以特解应设为$y_p=Axe^{2x}$代入原方程$y_p=Ae^{2x}+2Axe^{2x}$$y_p=2Ae^{2x}+2Ae^{2x}+4Axe^{2x}=4Ae^{2x}+4Axe^{2x}$代入原方程$4Ae^{2x}+4Axe^{2x}-3Ae^{2x}+2Axe^{2x}+2Axe^{2x}=4e^{2x}$整理$4Ae^{2x}+4Axe^{2x}-3Ae^{2x}-6Axe^{2x}+2Axe^{2x}=4e^{2x}$$4Ae^{2x}-3Ae^{2x}+4A-6A+2Axe^{2x}=4e^{2x}$$Ae^{2x}+0\cdot xe^{2x}=4e^{2x}$总结与展望大学数学的核心价值未来学习建议与资源推荐大学数学不仅是一系列公式和计算方法，更是一种思维方式和分析工具继续深入学习的方向培养逻辑思维能力数学的严密推理训练学生的逻辑思考和批判性思维高等数学进阶泛函分析、实变函数、复变函数提供解决问题的工具微积分、线性代数等为解决实际问题提供强大工具概率统计深化随机过程、数理统计、贝叶斯分析建立模型化思想学会将复杂现象抽象为数学模型数值计算方法数值分析、科学计算、优化算法奠定专业基础为后续工程、物理、经济等专业课程提供必要基础应用数学领域数学建模、运筹学、控制理论数学思维的培养路径学习资源推荐有效学习数学的方法•经典教材《高等数学》（同济大学）、《线性代数》（Strang）•在线课程中国大学MOOC、Coursera、edX平台上的数学课程概念理解优先先理解概念和原理，再记忆公式和方法•视频资源3Blue1Brown系列视频、可汗学院数学教程多角度思考从代数、几何和应用等多个角度理解同一概念•交互式工具GeoGebra、Mathematica、MATLAB联系与应用将抽象概念与实际问题联系起来归纳与演绎培养归纳总结和演绎推理的能力适量练习通过有针对性的练习巩固知识和技能。