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年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）2006数学本试卷分选择题和非选择题两部分.•共4页，满分150分,考试时间120分钟.注意事项
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用2B铅笔将答题卡试卷类型（B）涂黑
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.第一部分选择题（共50分）
一、选择题本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一
105501、函数/（x）=——-+Ig（3x+1）的定义域是D.A.（—,+8）B.（—』）C,（—,一
33332、若复数z满足方程Z2+2=0,则Z3=±2/2D.A ZA.±2/2-2/2A B.A C.-
23、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是项是符合题目要求的.A.y=-x3,xe7B.y=sinx C.y=x,x^R D.
4、如图1所示，是AABC的边AB上的中点，则向量CO=A.-BC+-BA B.-BC--BA22C.BC--BAD.BC+-BA
225、给出以下四个命题
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.其中真命题的个数是A.4B.3C.2D.
16、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为A.5B.4C.3D.2左=—』，所以又PQ的中点在y=2x—4上,所以江=22x-m22消去加，〃得x—82++22=
919、本小题满分14分已知公比为qOq1的无穷等比数列｛*｝各项的和为9,无穷等比数列｛/〃｝各项的和为肛51求数列｛册｝的首项《和公比9；II对给定的kk=1,2,3,・・・,〃，设产是首项为纵,公差为2a卜-1的等差数列.求数列7⑸的前10项之和;III设々为数列T⑴的第i项,S=b+b+--+b,求S〃,并求正整数机m1,使n｛2nslim」存在且不等于零.moo注无穷等比数列各项的和即当〃―8时该无穷数列前n项和的极限Q]—3i-q a2i_8119解:1依题意可知X2q=一2丫-111由1知,%=3x，所以数列7⑵的的首项为乙=2=2,公差d=2%—1=3,3l—q2Si=10x2+xl0x9x3=155,即数列7⑵的前10项之和为
155.i-\III3=a+z-1X2^,.-1=2z-
1.-z-1=3⑵—t
一、〃丫一曲至-皿n{n-12J,8=hm22S〃=45-18+2711mnm nm2暧3JS1S-=0,所以m=2当m=2时，lim——,当m2时，lim一m00n
20、本小题满分12分A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数以幻组成的集合
①对任意XE[1,2],都有02X£1,2；
②存在常数,使得对任意的为/2£口，2]，都有|p2x-p2x\L\X-X Ix2X2I设°x=加+£[2,4],证明p{x}e AII设夕%£A,如果存在X£1,2,使得%o=02%0,那么这样的X是唯一的;III设0x£A,任取々£1,2,令巧用二夕2%,九=12・・・,证明给定正整数k,对任意的j k+T正整数p,成立不等式|X-X|——|它一为|k+l k\—L解对任意工£[1,2],e2x=加+2x,xe[l,2],V3cpQ4二狗,1正粥2,所以2x e1,2对任意的e[1,2],
2、-I QQX p2x|=|-x|i.~“，22x/一,i+2玉+yi+
2.1Xi+%+yi+.23^1+2X123+V1+2-¥lX1+^2+V1+X2，所以20~~/-//211+2否2+#1+2石]1+工2+]1+1222-,令I—,=L,0£1,——/2311+2%]+#1+2工]1+々+11+/|p2x-p2x\L\X-X I{2{2所以°x eA反证法设存在两个项，乂£1，2,%O二乂使得通二夕2%o,芯=2乂则由|02〜—02项/区乙|工一项/|,得Ixo-Xo,区乙|入0-//所以矛盾，故结论成立x-x\=\p2x-p2x^L X-X,所以氏+]-xj，~昆一王21322{〈昆——“k+p—Z+p-l+Xk^-p-\~Xk+p-2+…H+l LP-2+Z/+P-3w27]
7、函数y=/x的反函数y=/Tx的图像与y轴交于点尸0,2如图2所示，则方程/力=0在［1,4］上的根是工=A.4B.3C.2D.
18、已知双曲线3/—y2=9,则双曲线右支上的点Q到右焦点的距离与点Q到右准线的距离272A.72B.T之比等于V
09、在约束条件,一下，当3x«5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是y+xsy+2x4A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]
10、对于任意的两个实数对q,Z和c/,规定a,b=c,d,当且仅当〃=力=；运算“
③”为a,b®Cd=ac-bd,bc+ad；运算“㊉”为a,bAGd=〃+c,%+d，设p,qeR,若1,28PM=5,0,则1,2㊉pM=A.4,0B.2,0C.0,2D.0,T第二部分非选择题共100分
二、填空题本大题共小题，每题分，共分.
45204111、lim——----------=________.…4-/2+x
12、棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
13、在X—*”的展开式中，/的系数为.
14、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层第一层分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第〃堆第〃层就放一个乒乓球，以/〃表示第几堆的乒乓球总数，则/3=；/〃=答案用〃表示.三解答题本大题共小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.680I求/x的最小正周期；II求/x的的最大值和最小值;3III右/⑷=_,求sin2a的值.
416、本题12分某运动员射击一次所得环数X的分布如下X0678910P
00.
20.
30.
30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为之I求该运动员两次都命中7环的概率II求J的分布列III求J的数学期望石久
17、本题14分如图5所示，AF.DE分别世
0、Q的直径，AO与两圆所在的平面均垂直，=
8.5是的直径，AB=AC=6,OE//AD.I求二面角3—AD—分的大小；II求直线与防所成的角.
18、本题14分设函数/0=-/+3%+2分别在％、%处取得极小值、极大值平面上点A、B的坐标分别为％,/%、X2JQ2，该平面上动点满足B4・P3=4,点是点关于直线=2x-4的对称点.求I求点A、B的坐标；II求动点的轨迹方程.
19、本题14分已知公比为久041的无穷等比数列｛〃“｝各项的和为9,无穷等比数列｛｝各项的和为犯.⑴求数列｛4｝的首项4和公比“；II对给定的左4=1,2,3,㈤,设T是首项为4,公差为20-1的等差数列,求R2的前10项之和；qIII设为数列Tk的第，项，s〃=2+a++b，求S〃,并求正整数mm1，使得lim^nmn存在且不等于零.注无穷等比数列各项的和即当〃-8时该无穷等比数列前〃项和的极限
20、本题12分4是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数°组成的集合
①对任意的xe[l,2],都有°2X£1,2；
②存在常数L0v L1,使得对任意的不当£口，2],都有\p2x-p2x\L\x-x
1.y2]2I设02x=%+£[2,4]，证明pxe AII设0xwA,如果存在％o£1,2,使得％0=02/,那么这样的/是唯一的;III设0X EA,任取X]£l,2,令Z T=02%〃,U=L2,，证明:给定正整数Z，对任意的正整数夕，成立不等式|玉+广占区吕|々-否12006年高考广东卷B第一部分选择题50分3%
21、函数/工=^=+炮3%+1的定义域是A/1—X/1\A.--,+oo/1八/
11、B.—,1C.------,一333,-1—x°
11、解由4=——xL故选B.3x+l
032、若复数z满足方程z+2=0,则z3=A・±2五B.-2V2C.-2V2iD.±2V2z
2、由z2+2=0nz=±V2z n=±2A/2Z,故选D.
3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.y=-x3,x e7B.y=sinx,X£H C.y=x,xeR D.y-5,%e R
3、B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数，是减函数;故选A.—,,1—-A.-BC+—,■1—*■-BA2B.-BC——BA2—1—C.BC——BA2D.JC+-BA
24、如图1所示，D是AABC的边AB上的中点，则向量
①二—►—►—»—►J—-
4、CD=CB+BD=-BC+-BA,故选A.2—
5、给出以下四个命题
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.其中真命题的个数是A.4B.3C.2D.
15、
①②④正确，故选B.
6、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15,偶数项之和为30,则其公差是5］+201=
156、故选C.5］+25d=30A.5B.4C.3D.
27、函数y=/x的反函数y=/-x的图象与y轴交于点P,2如图2所示，则方程/不=的根是犬=A.4B.3C.2D.l
7、/1=0的根是1=2,故选C
8、已知双曲线31-y2=9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于2V3A.V2B.------C.2D.43警2,故选C.a=V3,c=Ja+〃—J3+9=2V3,e=—a
8、依题意可知y
09、在约束条件1下，当3VsV5时，x+ys y+2x4目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]x+y=s x=4-s、一，
9、由1交点为A0,2,B4—s,2s—4,C0,s,C0,4,[y+2x=4[y=2s-41当3s4时可行域是四边形OABC,此时，7z82当4Ws5时可行域是△OAC此时，Zgx=8故选D.
10、对于任意的两个实数对岫和c,d,规定Q,b=C,d当且仅当=C,b=d；运算€为Mb®c,d=ac-bd,bc+ad,运算“㊉”为〃/㊉c,d=Q++d,设p,q£R，若1,20p,q=5,0则1,2㊉p,q=A.4,0B.2,0C.0,2D.0-
410、由1,2区3夕=5,0得!，—29==[〃=1\2p+q=0[q=-2所以1,2㊉5q=1,2㊉1-2=2,0，故选B.第二部分非选择题（100分）
二、填空题
11、11lim-------------------=lim---------=—xf-24—x2+x x--22—x
412、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为12d=3A/3n R=3n S=4成=27〃2/\ii
213、在x——的展开式中，炉的系数为
13、丁川——1〜=—2fGjfT=2r-ll=5=r=8x所以％5的系数为_21j；产=—23；］=-
132014、在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第
2、
3、
4、…堆最底层第一层分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以/〃表示第n堆的乒乓球总数，则/3=；/〃=答案用n表示
14、/3=10,fn=+©O
三、解答题
15、本小题满分14分7T已知函数/x=sinx+sinxd——,x eRI求/x的最小正周期；n求/%的最大值和最小值;3cm若/a=—,求sin2的值.415解:f x=sinx+sinx+—=sinx+cosx=42sinx+—,2427r/x的最小正周期为7=丁=2〃；II33III因为/«=—，即sincr+cosa=-----
①=2sinacosa=-4，即164/x的最大值为42和最小值-V2；sm2a=-—
1616、本小题满分12分某运动员射击一次所得环数X的分布列如下:X0-678910Y
00.
20.
30.
30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为二I求该运动员两次都命中7环的概率；II求《分布列；III求J的数学希望.16解I求该运动员两次都命中7环的概率为P7=02x
0.2=
0.04；II J的可能取值为
7、
8、
9、10嘤=7=
0.04=8=2x
0.2x
0.3+
0.32=
0.21=9=2x
0.2x
0.3+2x
0.3x
0.3+
0.32=
0.39PC=10=2x
0.2x
0.2+2x
0.3x
0.2+2x
0.3x
0.2+
0.22=
0.364分布列为478910P
0.
040.
210.
390.36III J的数学希望为=7x
0.04+8x
0.21+9x
0.39+10x
0.36=
9.
07.
17、本小题满分14分如图5所示，AF、DE分别是
0、01的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8,BC是的直径，AB=AC=6,OE//AD.I求二面角B—AD—F的大小；II求直线BD与EF所成的角.
17、解I AD与两圆所在的平面均垂直，・・・AD_LAB,ADJ_AF,故NBAD是二面角B—AD—F的平面角,依题意可知，ABCD是正方形，所以NBAD=45°.即二面角B—AD—F的大小为45°；II以为原点，BC、AF、0E所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系如图所示，则0,0,0,A0,-3V2,0,B3V2,0,0,D0,-372,8,E0,0,8,F0,3V2,0所以，访=―3底,一3后,8,无=0-372,8——0+18+64V§2cosBD,EF=_,一=———=---------------------_，/\BD\\FE\V100xV8210设异面直线BD与EF所成角为a,KiJ coscr=|cos BD,EF\=/on直线BD与EF所成的角为arccos--------
1018、本小题满分14分设函数/x=—Y+3x+2分别在修、冷处取得极小值、极大值平面上点A、B的坐标分别为司，/
七、%，/々，该平面上动点P满足西•丽=4,点Q是点P关于直线y=2x—4的对称点.求I点A、B的坐标；II动点Q的轨迹方程18解:I令/%=-x3+3x+2f=-3x2+3=0解得%=1或x=—1当x—1时,/x0,当一1X1时，-x0，当xl时，尸x v0所以，函数在x=-l处取得极小值，在x=l取得极大值，故占=-1,%2=1,/-D=0,/l=4所以，点A、B的坐标为A-l,0,31,
4.II设Qx,y,=根,4一〃=w2—1+〃24〃=4。
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