商不变规律教学课件

商不变规律教学课件第一章激发兴趣，导入新课在数学的海洋中，规律是我们的指南针今天，我们将一起发现一个简单而美丽的数学规律——商不变规律学习目标课前准备•理解商不变规律的基本概念•回顾除法的基本概念•掌握商不变规律的应用方法•准备好发现数学规律的敏锐观察力•能够运用该规律解决实际问题•带着探索者的好奇心参与课堂生活中的除法问题情境一平均分配情境二大批量分配假设我们有24个苹果，需要平均分如果有480个苹果，同样分给12个给12个人，每人能得到多少个苹人，结果会怎样？果？480÷12=40（个苹果/人）24÷12=2（个苹果/人）计算后得知，每人可以得到40个苹这是一个简单的除法问题，我们很果这个数字明显增大了，这是因容易得出答案每人2个苹果为总数增加，而人数不变观察三个算式请仔细观察以下算式24÷12=2480÷12=40960÷12=80仔细观察这三个算式，思考一下你发现了什么？思考方向•第一个算式与第二个算式相比，被除数变成了原来的20倍（24→480）•被除数、除数和商三者之间有什么关系？•第二个算式与第三个算式相比，被除数变成了原来的2倍（480→960）•当被除数发生变化，而除数不变时，商会如何变化？•除数始终保持不变（都是12）•如果被除数和除数同时变化，商会怎样？•商的变化是否有规律？学生小组讨论小组讨论指导讨论要点•每组4-6人，选出一名记录员•被除数和除数之间的关系变化•分析黑板上的算式，寻找规律•商的变化规律•尝试用自己的语言描述发现•能否预测更多算式的结果•准备向全班分享你们的想法•这个规律在生活中有什么应用数学不仅是计算，更是发现规律的过程通过观察和分析，我们能够揭示数字背后的奥秘讨论时间5分钟请各小组记录自己的发现，我们将在之后进行分享和总结通过这种合作探究的方式，我们将共同揭示商不变规律的奥秘第二章探索发现商不变规律在第一章中，我们通过观察和讨论，开始接触商不变规律现在，让我们进一步深入探索这个规律的本质和应用观察现象分析关系通过多组算式，发现规律的初步迹象研究被除数、除数和商三者之间的数量关系总结规律验证应用归纳出商不变规律的完整表述通过实例验证规律的正确性和适用性在这一章中，我们将系统地探索商不变规律，理解其数学原理，并学习如何在计算中应用这一规律提高效率让我们一起踏上这段数学探索之旅！被除数、除数、商的定义被除数除数被除数是除法运算中被另一个数除的数，位于除号的左侧除数是除法运算中用来除另一个数的数，位于除号的右侧例如在24÷12=2中，24是被除数例如在24÷12=2中，12是除数被除数表示总量或总数，如总共有多少个苹果除数表示分成多少份或每份的单位，如分给多少人商商是除法运算的结果，表示被除数中包含除数的次数或每份的数量例如在24÷12=2中，2是商，表示每人得到的苹果数理解这三个概念的关系是掌握商不变规律的基础记住被除数÷除数=商，也可以表示为被除数=除数×商变化与不变观察算式变化新的观察视角让我们重新审视之前的算式现在，让我们换一个角度观察•24÷12=2•24÷12=2•480÷12=40•24×20÷12×1=40•960÷12=80•480×2÷12×1=80在第二个算式中，被除数变成了原来的20倍（24×20=480），我们发现，当被除数乘以某个数，而除数保持不变时，商也会乘除数不变（仍为12），商变成了原来的20倍（2×20=40）以同样的数在第三个算式中，被除数是第二个算式的2倍（480×2=960），那么，如果被除数和除数同时乘以或除以相同的数，会发生什除数不变（仍为12），商也是第二个算式的2倍（40×2=80）么？这就是我们即将揭示的商不变规律思考为什么被除数变化20倍，商也变化20倍？这背后的数学原理是什么？小组合作探讨探讨问题一探讨问题二被除数和除数是怎样变化的？商为什么保持不变？请观察以下算式从数学角度分析•24÷12=2设原算式为a÷b=c•24×2÷12×2=48÷24=2当被除数和除数同时乘以k时•24×5÷12×5=120÷60=2a×k÷b×k=a×k÷b×k=a÷b×k÷k=你发现了什么？被除数和除数同时乘以相同的数a÷b=c（

2、5），商保持不变（都是2）因为k÷k=1，所以乘以k后再除以k，结果不变小组活动深入思考尝试创建自己的算式，验证商不变规律选择不这个规律对于分数和小数的除法是否同样适用？同的起始算式和倍数，记录结果并分享试着用分数或小数创建算式进行验证生活应用思考在日常生活中，哪些情境可以应用商不变规律？例如购物、烹饪或工程计算等规律初步总结被除数和除数同时乘以相同的数，商不变数学表达实例验证如果a÷b=c，那么•8÷4=2•8×3÷4×3=24÷12=2a×k÷b×k=c•8×10÷4×10=80÷40=2其中k是任意非零数无论我们将原来的被除数和除数放大多少这就是商不变规律的基本形式倍，只要倍数相同，商保持不变商不变规律体现了除法运算的一个重要特性当分子和分母同时放大或缩小相同的倍数时，分数的值保持不变这与分数的基本性质是一致的继续观察24÷12=2原始算式24÷12=24×10÷12×10被除数和除数同时乘以10240÷120=2计算结果，商保持不变放大实验缩小实验我们可以尝试其他倍数同样，我们也可以缩小•24×5÷12×5=120÷60=2•24÷2÷12÷2=12÷6=2•24×100÷12×100=2400÷1200=2•24÷6÷12÷6=4÷2=2无论放大多少倍，商始终保持为2无论缩小多少倍，只要除数不为零，商仍然保持为2这个规律在数学中称为商不变规律，它是除法运算的一个重要特性掌握这个规律可以帮助我们简化计算，解决更复杂的问题猴王分桃子从前，猴王得到了一堆桃子，想要平均分给猴子们如果每只猴子分4个，正好分完；如果每只猴子分7个，也正好分完请问最少有多少只猴子？最少有多少个桃子？解题思路利用商不变规律设猴子有x只，桃子有y个根据题意根据商不变规律的逆用法y÷x=4如果a×k÷b×k=a÷by÷x=7那么a÷b=c意味着a=b×c两个商不同，似乎矛盾？所以y=4x且y=7x其实，这是因为题目描述的是两种不同的要同时满足这两个等式，y必须是4和7的分配方案最小公倍数的倍数，即y=28k因此，最少有7只猴子，最少有28个桃子这个有趣的故事展示了商不变规律在实际问题解决中的应用通过数学规律，我们能够解开看似矛盾的问题第三章规律归纳与深化在前两章中，我们通过观察和探索，初步认识了商不变规律现在，我们将系统地归纳这一规律，并深入理解其数学本质和适用范围回顾发现被除数和除数同时乘以相同的数，商保持不变完整表述被除数和除数同时乘以或除以相同的非零数，商不变适用条件分析规律的适用范围和限制条件实例验证通过多样化的例子验证规律的普适性本章将帮助我们全面理解商不变规律，为后续应用打下坚实基础这一规律不仅是计算的工具，也反映了除法运算的本质特性商不变规律完整表述被除数和除数同时乘或除以相同的非零数，商不变数学表达理论解释对于任何除法a÷b=c（b≠0）从代数角度解释以下等式成立a×k÷b×k=a×k÷b×k=a÷b×k÷k=a÷b×1=a÷b=c•a×k÷b×k=c（k≠0）a÷k÷b÷k=a÷k÷b÷k=a÷b÷k÷k=a÷b×k÷k=a÷b=c•a÷k÷b÷k=c（k≠0）其中，k是任意非零数乘法形式除法形式被除数和除数同时乘以相同的非零数，商不变被除数和除数同时除以相同的非零数，商不变例18÷6=3，18×2÷6×2=36÷12=3例36÷12=3，36÷4÷12÷4=9÷3=3商不变规律的完整表述包含了乘法和除法两个方面，这使它在实际计算中更加灵活和实用理解这一规律的数学本质，有助于我们灵活应用重点提醒不能乘或除以零只适用于除法运算商不变规律中，k不能为0，原因是商不变规律是除法运算的特殊性质，不能用于其他运算•任何数乘以0都等于0•加法没有类似规律a+k÷b+k≠a÷b•0不能作为除数（除法运算中除数不能为0）•减法没有类似规律a-k÷b-k≠a÷b•如果k=0，则a×k÷b×k变成0÷0，这是无意义的•乘方没有类似规律a^k÷b^k≠a÷b其他注意事项

1.商不变规律可以帮助简化计算，但不能违反基本运算规则

2.在应用时，要注意检查条件是否满足，避免错误使用

3.规律的本质是保持分子分母之比不变，这与分数的基本性质相同在数学中，规律通常有其适用条件和范围正确理解这些限制，是准确应用规律的前提反例分析错误示例乘以零错误示例加减运算考虑以下算式考虑以下情况90÷30=38÷4=2如果我们尝试应用商不变规律，同如果我们对被除数和除数同时加2时乘以08+2÷4+2=10÷6=

1.

6...≠290×0÷30×0=0÷0可以看出，被除数和除数同时加上结果是0÷0，这是一个无定义的表或减去相同的数，商会发生变化达式，因为任何数除以0都没有意这说明商不变规律只适用于乘除运义算，不适用于加减运算这说明商不变规律中的k不能为0通过分析反例，我们更清晰地理解了商不变规律的适用条件和局限性这种批判性思考是数学学习中的重要环节，有助于我们避免错误应用规律课堂互动判断以下算式是否正确1275÷15=75÷5÷15÷515÷5=15+5÷5+5左边75÷15=5左边15÷5=3右边75÷5÷15÷5=15÷3=5右边15+5÷5+5=20÷10=2判断✓正确！这是商不变规律的应用，被除数和除数同时除以5判断✗错误！这不是商不变规律，因为是加法而非乘除法小组讨论思考问题

1.85÷17=85×2÷17×

21.为什么加减法不适用于商不变规律？

2.64÷8=64-8÷8-

82.在什么情况下，应用商不变规律可以简化计算？

3.120÷30=120÷10÷30÷

103.商不变规律与分数的基本性质有什么联系？

4.50÷25=50×0÷25×0第四章应用练习与巩固在前三章中，我们系统地学习了商不变规律的概念、表述和适用条件现在，让我们通过实际应用和练习，进一步巩固和深化对这一规律的理解基础练习掌握商不变规律的基本应用简化计算学习如何利用规律提高计算效率解决问题应用规律解决实际问题生活应用探索规律在日常生活中的体现通过这些练习和应用，我们将不仅能够熟练运用商不变规律，还能够培养数学思维和问题解决能力这一章是理论与实践的桥梁，帮助我们将抽象概念转化为实际技能练习题示范例题一60÷12利用商不变规律简化计算60÷12=60÷2÷12÷2=30÷6=5通过将被除数和除数同时除以2，我们将原问题简化为更容易计算的形式例题二80÷4验证商不变规律80÷4=2080×3÷4×3=240÷12=20无论我们将被除数和除数放大多少倍，只要倍数相同，商保持不变简化计算策略常见应用场景•将被除数和除数同时约分，使计算更简单•简化含有小数的除法325÷

1.3=325×10÷

1.3×10=3250÷13•选择适当的因数，使除数变为

10、100等易于计算的数•简化含有分数的除法2/3÷1/6=2/3×6÷1/6×6=4÷1=4•对于分数除法，可转化为整数除法•处理单位换算3千克÷150克=3000克÷150克=20小组讨论创造自己的算式简化计算每个小组选择一个基本除法算式，然后应用商不变规律创造至少3个新算式例如利用商不变规律简化以下计算•基本算式24÷6=

41.360÷45•新算式124×2÷6×2=48÷12=

42.1250÷25•新算式224×5÷6×5=120÷30=

43.84÷14•新算式324÷3÷6÷3=8÷2=

44.

7.2÷

0.

35.5/6÷2/3提示思考如何通过同时除以或乘以适当的数，使计算变得更简单讨论要点一讨论要点二讨论要点三什么情况下应用商不变规律最有效？何时应该选择其他商不变规律在解决实际问题中有哪些潜在应用？请给出如何向不理解这一规律的同学解释商不变规律？设计一计算策略？具体例子个简单直观的例子生活中的应用分配工资分组比赛分配物资公司有12000元奖金要平均分给30名员工，每人获得90名学生要平均分成6个小组进行比赛，每组15人如社区有500公斤大米要分给25个家庭，每家获得20公400元如果奖金减半同时员工人数也减半，每人获得果学生和小组数量同时增加一倍，每组人数保持不变斤无论是增加家庭数量和大米总量，还是减少两者，的奖金不变只要比例相同，每家获得的大米量不变单价计算速度问题商店中，5个苹果售价25元，单价为5元/个如果购买10个苹果，总价为50元，单价一辆车在2小时内行驶120公里，速度为60公里/小时如果时间和距离同时缩短一不变这体现了商不变规律总价÷数量=单价，当总价和数量同时变化相同倍数时，半，速度仍为60公里/小时这说明距离÷时间=速度，当距离和时间同时变化相同单价保持不变倍数时，速度不变商不变规律在生活中有着广泛的应用通过学习这一规律，我们不仅提高了计算能力，还培养了对数学在实际生活中应用的认识学生学习场景个人实践合作学习每位学生独立完成一组练习题，应用商学生们两两合作，互相出题、解答和检不变规律简化计算教师巡视指导，帮查通过相互讲解和讨论，加深对商不助解决疑问学生们通过实践，加深对变规律的理解这种合作学习模式促进规律的理解和应用能力了知识的内化和巩固•基础题应用商不变规律验证已知算合作流程式

1.每人设计2-3道应用商不变规律的题•进阶题利用规律简化复杂计算目•挑战题解决实际问题，灵活运用规

2.交换题目并独立解答律

3.互相检查、讨论解题思路

4.共同总结规律应用的关键点学习数学规律不仅是掌握计算方法，更是培养逻辑思维和问题解决能力通过动手实践和合作交流，学生们将更深入地理解和应用商不变规律第五章拓展思考与总结在前四章中，我们系统学习了商不变规律的概念、表述、应用和实践现在，让我们进一步拓展思考，探索这一规律的更深层次含义和更广泛的联系规律总结拓展思考系统回顾商不变规律的核心内容和应用方法探索规律的延伸应用和相关数学概念教学反思生活联系分析教学策略和学习方法的有效性反思数学规律与生活实践的紧密联系本章将帮助我们从更高的视角理解商不变规律，认识其在数学体系中的位置，以及与其他数学概念的联系通过反思和总结，我们将形成对这一规律更加深入和系统的认识课堂总结商不变规律的意义如何利用规律提高计算效率计算工具简化复杂除法，提高计算效率

1.分数化整将分数除法转化为整数除法例3/4÷1/2=3/4×2÷1/2×2=思维训练培养数学思维，发现数量关系3/2÷1=3/

22.小数化整将小数除法转化为整数除法问题解决为解决实际问题提供有力工具例

5.6÷

0.7=

5.6×10÷

0.7×10=规律探索体现数学之美，激发学习兴趣56÷7=

83.约简计算通过同时约分简化计算商不变规律不仅是一个计算技巧，更是认例350÷175=350÷25÷175÷25识数学本质的窗口它帮助我们理解除法=14÷7=2运算的内在规律，体会数学的严谨性和一致性通过学习商不变规律，我们不仅掌握了一种计算方法，更培养了观察、分析和归纳的能力这些能力将帮助我们在数学学习和生活实践中更加游刃有余思考题如果被除数和除数同时乘以不同你还能发现哪些类似的数学规的数，商会怎样？律？考虑算式12÷4=3分数的基本性质分子分母同时乘以或除以相同的非零数，分数的值不变如果被除数乘以2，除数乘以3例2/3=2×5/3×5=10/1512×2÷4×3=24÷12=2比例的性质比例式中，两个比相等若比的前后原商是3，现在变成2，商变小了项同时乘以或除以相同的非零数，比值不变如果被除数乘以5，除数乘以2例a:b=c:d，则a×k:b×k=c×k:d×k12×5÷4×2=60÷8=

7.5方程的同解变形方程两边同时乘以或除以相同的非零数，解不变原商是3，现在变成

7.5，商变大了结论当被除数和除数乘以不同的数时，商会发生例若x+3=5，则2x+3=2×5，解仍为x=2变化具体来说•被除数的倍数大于除数的倍数，商变大•被除数的倍数小于除数的倍数，商变小拓展思考商不变规律能否延伸到向量、矩阵等高级数学概念中？它与数学中其他不变量有什么联系？数学与生活数学规律源于生活实践培养观察和思考能力的重要性商不变规律并非凭空而来，它源于人们长期的生活实践和观察在古代中国，人们在土学习数学规律不仅是为了掌握计算技巧，更地分配、物资分配等活动中，逐渐认识到了重要的是培养观察和思考能力这些能力对这一规律于我们认识世界、解决问题至关重要例如，古代农民发现无论是10亩地分给5观察能力发现事物的变化和不变人耕种，还是100亩地分给50人耕种，每人分析能力理解变化背后的原因获得的土地面积都是2亩这本质上就是商归纳能力从具体现象中提炼一般规律不变规律的应用应用能力灵活运用规律解决实际问题数学规律的发现过程，体现了人类认识世界这些能力不仅适用于数学学习，也适用于生的基本方法实践、观察、归纳、验证活中的各种挑战数学是揭示自然界和人类社会规律的重要工具，它不仅帮助我们理解世界，也帮助我们改造世界教学反思通过故事和互动激发兴趣结合实例促进理解本课引入了猴王分桃等生动故事，通过具体本课通过丰富的例题和练习，帮助学生理解和应情境引入抽象概念，有效激发了学生的学习兴用商不变规律从简单的整数除法到小数、分数趣课堂互动环节如小组讨论、判断题等，促进除法，再到实际问题解决，循序渐进，层层深了学生的积极参与和思考入情感体验是数学学习的重要组成部分，当学生对实例的选择注重生活联系，如分配苹果、工资分数学产生积极情感时，学习效果往往事半功倍配等，使抽象概念具体化，便于学生理解和记忆注重学生自主探究和合作交流本课采用发现教学法，引导学生通过观察和思考，自主发现商不变规律，而非直接告知结论小组合作环节促进了学生之间的交流与互助，培养了团队协作精神自主探究和合作交流不仅有助于知识建构，还培养了学生的批判性思维和沟通能力教学是一门艺术，需要不断反思和改进通过本课的实践，我们认识到数学教学不仅是传授知识，更是培养思维方式；不仅关注结果，更重视过程；不仅教会学生是什么，还要教会为什么和怎么用课后作业作业一验证商不变规律作业二规律总结设计3组算式，验证商不变规律要求用自己的话写出商不变规律的总结，要包含以下内容

1.第一组选择一个基本除法算式，然后应用商不变规律创造两个新算式•规律的表述（用数学语言和自己的话）

2.第二组选择一个含小数的除法算式，利用•规律的适用条件和局限性商不变规律将其转化为整数除法•规律的应用方法（至少列举3种情况）

3.第三组选择一个含分数的除法算式，利用•规律与生活的联系（至少举出2个生活中的商不变规律将其转化为整数除法应用例子）每组算式都要写出详细的计算过程和解释字数要求200-300字拓展思考题（选做）探索商不变规律与分数基本性质的联系如果用分数表示除法（a÷b=a/b），商不变规律可以如何表述？试着从分数的角度解释这一规律作业提交方式下节课开始前交到讲台上优秀作业将在班级展示并获得奖励如有疑问，可通过班级群联系老师或同学讨论预告下一课内容小数除法中的商不变规律探索商不变规律在小数除法中的特殊应用，学习如何利用规律简化小数除法计算分数的基本性质深入研究分数的基本性质，理解分子分母同时乘以或除以相同的非零数，分数的值不变规律的联系揭示商不变规律与分数基本性质之间的内在联系，构建数学知识的系统网络预习建议准备工作•复习商不变规律的基本概念和应用•准备笔记本和计算器•预习教材中关于小数除法的内容•列出学习过程中的疑问•回顾分数的基本性质•尝试自己解决一些小数除法和分数除法的问题•思考商不变规律与分数性质的可能联系•与同学讨论预习中遇到的困难下一课将是我们知识体系构建的重要环节，通过联系不同的数学概念，我们将形成更加系统和深入的理解请做好充分准备！谢谢聆听！期待你们的精彩表现学习永无止境，探索无限可能本课要点回顾学习收获•商不变规律被除数和除数同时乘以或除以相同通过本课学习，我们不仅掌握了一个重要的数学规的非零数，商不变律，还培养了•适用条件不能乘以或除以零，只适用于除法运•观察和发现规律的能力算•逻辑推理和批判性思维•应用方法简化计算，解决实际问题•灵活应用知识解决问题的能力•生活联系分配问题、单价计算、速度问题等•数学与生活联系的意识数学的魅力不仅在于它的严谨和精确，更在于它揭示了世界的内在规律和美希望每一位同学都能感受到这种魅力，爱上数学，用数学的眼光看世界祝贺大家完成了商不变规律的学习！相信在今后的数学学习和生活中，这一规律将成为你们的得力工具期待在下一课中看到你们更加精彩的表现！。