排列组合--插板法、插空法、捆绑法

解析:我们可以将10个相同得球排成一行，10个球之间出现了9个空隙，现在我们用6个档板”插入这9个空隙中，就“把10个球隔成有序得7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置得几个球（可能就就是1个、2个、3个、4个），这样，借助于虚拟“档板”就可以把10个球分到了7个班中【基本题型得变形

（一）】题型有r个相同得元素，要求分到m组中，问有多少种不同得分法|解题思路:这种问题就就是允许有些组中分到得元素为也就就就是组中可以为空得对于这样得题，我们就首先将每组都填上1个，这样所要元素总数就m个，问题也就就就是转变成将（n+m）个元素分到m组,并且每组至少分到一个得问题，也就可以用插板法来解决【例2】有8个相同得球放到三个不同得盒子里，共有（）种不同方法、A、35B、28C、21D、45解答:题目允许盒子有空，则需要每个组添加1个，则球得总数为8+3X1=11,此题就有0（10,2）=45（种）分法了，选项D为正确答案【基本题型得变形

（二）］题型有n个相同得元素，要求分到m组，要求各组中分到得元素至少某个确定值S（s1,且每组得s值可以不同），问有多少种不同得分法？解题思路这种问题就就是要求组中分到得元素不能少某个确定值s,各组分到得不就就是至少为一个了对于这样得题，我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应得确定值s那么多个，这样就满足了题目中要求得最起码得条件，之后我们再分剩下得球这样这个问题就转变为上面我们提到得变形

（一）得问题了，我们也就可以用插板法来解决【例3】15个相同得球放入编号为

1、

2、3得盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同得放法？解析编号1:至少1个，符合要求编号2:至少2个需预先添加1个球，则总数7编号3至少3个，需预先添加2个，才能满足条件，后面添加一个，则总数-2则球总数15-1-2二12个放进3个盒子里所以C11,2=55种【例题有颗相同的糖，每天至少吃颗，要天吃完，有多少种吃法？1914解析原理同上，只需要用个板插入到领糖影成的个内部空隙，将领糖分成如且39894每如数目不少于即可因而个板互不相邻，其方法数为13CSo【练习］现有个完全相同的篮球全部分给个班级，每班至少个球,问共有多少种不同1071的分法？注释每蛆允许有零个元素时也可以用插板法，其原理不同，注意下题解;掷区别【例题］将个完全相同的球放到个不同的盒子中，T有多少种方法？83解析止痰中没有要求每个盒子中至少放一寸球，因此其解法不同于上面的插板法，但仍旧是插入个板，分成三组但在分组的过程中，允许两块枢之间没有球其考虑思维为插入西块2板后,与原来的个球一共个元素所有方法数实际是这个元素的一个队列，但因为球之间81010无差别，板之间无差别，所以方法数实际为从个元素所占的个位量中挑个位置殖上个101022板，其余位建全部放球即可因此方法数为党注释特别注意插板法与捆绑法、插空；却返别之处在于其元素是相解【例题一条马路上有编号为、、…

一、的九盎路灯，现为了节约用电，要将耳中的1129三茬关撞，但不能同时关掉相邻的两茬或三盖,则所有不他关灯方法有多少种？解析要关拧盏灯中的但要求相邻的灯不能关闭，因此可以先将要关捽的盏灯拿出来，93,3这样还剩盏灯，现在只需把灌备关闭的盏灯插入到亮着的盏灯所形成的空隙之间即可6366盏灯的内部及两端共有个空，电方法数为7【例题】一条马路的两边各立着茎电灯，现在为了节省用电，决定每边关拽茎，但为103了安全，道路起点和终点两边的灯必须是亮的，而且任意一边不肓舱续关掉两盏问总共可以有多少总方案？、、、A120B320C10R420解析考虑一侧的关灯方法，口盏灯关掉盏，还剩盏，因为阚瑞的灯不能关，表示1373盏关掉的灯只能插在盏灯形成的个内部空隙中，而不能放在两端，地方法数为CT,76【例】10个学生中，男女生各有5人，选4人参加数学竞赛1至少有一名女生得选法种数为O

（2）A、B两人中最多只有一人参加得选法种数为解法1:10名中选4名代表得选法得种类:C1O4，排除4名参赛全就就是男生:（排除法）c104--------C54=205解法2选1女生时，选2个女生时，选

3、4个女生时得选法，分别相加（2010年国考真题）某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料问一共有多少种不同得发放方法？（）A、7B、9C、10D、12解析每个部门先放8个，后面就至少放一个，三个部门则要先放8X3=24份，还剩下30-24=6份来放入这三个部门，且每个部门至少发放1份,则C（5,2）=10插空法就就就是对于解决某几个元素要求不相邻得问题时，先将其她元素排好，再将所指定得不相邻得元素插入她们得间隙或两端位置首要特点就就就是不相邻下面举例说明

一、数字问题【例】把1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1,2不相邻得五位数，则所有不同排法有多少种？解析本题直接解答较为麻烦，因为可先将3,4,5三个元素排定，共有43,种排法，然后再将1,2插入四个空位共有种排法，故由乘法原理得，所有不同得五位数有=72种

二、节目单问题【例】在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目得相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同得添加方法共有多少种？解析:---O-O-O-O-六个节目算上前后共有七个空位，那么加上得第一个节目则有41种方法；此时有七个节目，再用第二个节目去插八个空位有种方法；此时有八个节目，用最后一个节目去插九个空位有种方法由乘法原理得，所有不同得添加方法为4】・闻.⑷=7X8x9=504种

三、关灯问题【例】一条马路上有编号1,2,3,4,5,6,7,8,9得九盏路灯，为了节约用电，可以把其中得三盏灯关掉,但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同得关灯方法有多少种？解析:如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着得灯看作六个元素，然后用不亮得三盏灯去插七个空位（用不亮得3盏灯去插剩下亮得6盏灯空位，就有7个空位）共有种方法，因此所有不同得关灯方法为=35种

四、停车问题【例】停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同得停车方法有多少种？解析先排好8辆车有48种方法，要求空位置连在一起（剩下4个空位在一起，来插入8辆车，有9个空位可以插），将空位置插入其中有种方法所以共有种方法

五、座位问题【例】3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法得种类有多少种？解法先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，再让3个人每人带一把椅子去插空，于就就是有4=24种【例题】若有A、B、C、Ds E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？解析:题中要求两人不^在一起,所以可以先相•除和之外的个人排成一排，方法AB A B3数为空，然后再将和分别插入到其余个人排队所形成的个空中，也领是从个空中A B34i4挑出两个并排上两个人，其方法数为大，因此总方法数次发【例题个人排成一队，要求甲乙必须相邻且与丙不木掰，有多少种方法？18解析甲相邻，可以捆绑看作一个元素，但这个整体元素又和丙不相邻，所以先不排这d个甲乙丙，而是排剩下的个人，方法数为力,然后再将甲乙构成的整体元素及丙这阚个元素5插入至此前人所形成的个空里，方法数为工:，另外甲己两个人内部还存在排序要求为A；I56技总方法数为发□o4【练习个男生个女生排成一排，要求女生不能相邻，有多少种方法？153注释将要求不相邻元素插入排好元素时，要蹄是否自髓插入两端位置【例题1若有A、B、C、D,E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，且A和不能站在两端，则有多少排队方法？B解析原理同前，也是先排好、三个人，然后招、查到、、所形成的两C DsE AB CD E个空中，因为、不站两端，所以只有两个空可选，方法总数为月:□AB注释对于捆绑法和插空法的区别，可简单记为“相率闲雷■不都同的畸精要所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相等的问题时，先整体考虑，例目邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序提醒其首要特点是梯其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中°【例题I有10本不同的书其中数学书4本，外语书3本，语文书3本若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起外语书也恰好排在一起的排法共有（）种0解析:这是一个排序间毯，书本之间是不同的，其中要求数学书和外语书都各自在一起°为快速解决这个问题，先将4本数学书看做一个元素，将3本外语书看做一个元素，然后和剩不的3本语文书共5个元素进行统一排序，方法数为A,然后排在一起的4本数学书之间顺序不同也好应最后整科非序不同，所以在4本书内部也需要排序，方法数为用，同理，外语书排序方法数为封而三者之间是分步诩I,故而用乘法摩理得44空口［例题］5个人站成TF,要求甲乙两人站在一起，有多少种方法？解析先将甲乙阚人看成1个人，与剩下的3个人一起排列，方法数为用,嫁后甲乙两个人也有顺序要求，方法数为年,因此站队方法数为年,【练习】一台晚会上有6个演唱节目和4个陲节目-4个舞蹈节目要排在一起,有多少不同的节目的顺序？注释运用捆绑法时，一定豁意捆绑起来的整体内部是否存在顺序的要求有的题目有顺序的要求，有的则没有如下面的例题【例题16个不同的球随5个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球,一共有多少种方法？解析按照题意，显然是2个球放到其中一个盒子，另外4个球分别放到4个盒子中，因此方法是先从6个球中挑出2个球作为一个整体放到一个盒子中,然后这个整体和剩下的4个球分3时列放到5个盒子中，战方法数是解答:根据题目要求，则其中一个盒子必须得放2个,其她每个盒子放1个球，所以从6个球中挑出2个球看成一个整体，则有C；,这个整体和剩下4个球放入5个盒子里，则有耳方法就就是6I。