函数放缩试题及答案

函数放缩试题及答案

一、引言函数放缩是数学分析与高中数学中的重要解题技巧，通过对函数值的合理放大或缩小，可简化复杂不等式的证明、恒成立问题的求解及参数范围的确定本文整理了函数放缩相关典型试题，涵盖基础放缩技巧、综合应用及证明题，供学习参考

二、单项选择题（共30题，每题1分，共30分）（以下题目均为单选，每题只有一个正确选项）已知函数fx=e^x-x-1，若对任意x0，不等式fxkx恒成立，则k的最大值为（）A.1B.2C.3D.4设x0，下列放缩公式中正确的是（）A.\lnx+1xB.e^xx+1C.\sin xxD.\frac{1}{x}\ln\left1+\frac{1}{x}\right若x0，则e^x-1-x-\frac{x^2}{2}的值（）A.恒正B.恒负C.恒为0D.不确定函数fx=\ln x-x的最大值为（）A.-\ln2B.-1C.0D.1对任意x0，不等式\ln xx-1成立时，等号成立的条件是（）A.x=0B.x=1C.x=eD.不存在已知a0，若对任意x0，e^x-ax1恒成立，则a的取值范围是（）A.a1B.a\leq1C.a1D.a\geq1第1页共9页设x0，则e^x-1-x的最小值为（）A.0B.1C.2D.不存在函数fx=e^x-x^2在x0时（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增对任意x0，\frac{\ln x}{x}1成立的充要条件是（）A.x1B.x1C.x=1D.对所有x0成立若x0，则e^x1+x+\frac{x^2}{2}成立时，x的取值范围是（）A.x0B.x1C.x2D.不存在已知fx=\ln x-x+1，则fx的最大值为（）A.0B.1C.2D.3设x0，不等式e^x-1x的解集为（）A.0,+\inftyB.1,+\inftyC.-\infty,0D.无解函数fx=\frac{\ln x}{x}的最大值为（）A.\frac{1}{e}B.1C.eD.0对任意x0，e^x-1-x-\frac{x^3}{6}的值（）A.恒正B.恒负C.恒为0D.不确定若a0，对任意x0，e^xax+1恒成立，则a的最大值为（）A.1B.2C.3D.e函数fx=e^x-x-1在x=0处的二阶导数为（）A.0B.1C.eD.2第2页共9页对任意x0，\ln xx-1的证明中，构造的辅助函数为（）A.fx=\ln x-xB.fx=\ln x-x+1C.fx=\ln x+x-1D.fx=\ln x+x+1已知fx=e^x-ax，若对任意x\geq0，fx\geq1恒成立，则a的取值范围是（）A.a\leq1B.a\leq0C.a\geq1D.a\geq0设x0，则\frac{e^x-1}{x}的最小值为（）A.0B.1C.eD.2函数fx=\ln x-\frac{x}{e}的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3对任意x0，e^xx^2成立时，x的取值范围是（）A.x0B.x2C.xeD.不存在若x0，则\lnx+1与x的大小关系为（）A.\lnx+1xB.\lnx+1x C.\lnx+1=xD.不确定函数fx=e^x-x^2-1的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3对任意x0，e^x-1-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}的值（）A.恒正B.恒负C.恒为0D.不确定已知fx=e^x-x-1，则fx在x=0处的切线方程为（）A.y=0B.y=xC.y=2xD.y=e^x-1第3页共9页若x0，\frac{e^x-1}{x}1的解集为（）A.0,+\inftyB.1,+\inftyC.-\infty,0D.无解函数fx=\frac{e^x-1}{x}在x0时（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增对任意x0，\ln x1-\frac{1}{x}成立的充要条件是（）A.x1B.x1C.x=1D.对所有x0成立若a0，对任意x0，e^xax恒成立，则a的最大值为（）A.1B.eC.2D.\frac{1}{e}函数fx=e^x-x^3的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3

三、多项选择题（共20题，每题2分，共40分）（以下题目均为多选，每题至少有一个正确选项）下列放缩公式中，正确的有（）A.\ln xx-1（x0）B.e^x1+x+\frac{x^2}{2}（x0）C.\sin xx（x0）D.\frac{1}{x}\ln\left1+\frac{1}{x}\right（x0）函数放缩在以下哪些问题中常用（）A.不等式证明B.恒成立问题C.参数范围确定D.函数最值求解第4页共9页对任意x0，e^x-1x成立的充分条件有（）A.x0B.x1C.x2D.对所有x0成立已知fx=e^x-x-1，则以下结论正确的有（）A.fx在x=0处取得最小值B.fx0对所有x\neq0成立C.fx的最小值为0D.fx在-\infty,0上单调递增构造辅助函数证明不等式\ln xx-1时，可选择的辅助函数有（）A.fx=\ln x-x+1B.fx=\ln x-x C.fx=\ln x-x-1D.fx=\ln x-x+2对任意x0，\frac{\ln x}{x}1成立的条件有（）A.x1B.x=1C.0x1D.对所有x0成立函数fx=e^x-x^2在x0时的性质有（）A.存在极小值点B.单调递增C.单调递减D.无零点若x0，则以下不等式成立的有（）A.e^x1+xB.\ln xx-1C.\frac{e^x-1}{x}1D.e^xx^2对任意x0，e^x-1-x-\frac{x^2}{2}的值（）A.恒正B.恒负C.随x增大而增大D.随x增大而减小函数fx=\frac{e^x-1}{x}的性质有（）A.在x0时单调递增B.在x0时单调递减C.最小值为1D.无最小值第5页共9页证明不等式\ln xx-1时，可采用的方法有（）A.求导求最值B.构造函数C.泰勒展开D.放缩法若a0，对任意x0，e^xax+1恒成立，则a的取值范围可能为（）A.a=1B.a1C.a1D.a\leq1函数fx=\ln x-x的性质有（）A.最大值为-1B.无最小值C.在0,1上单调递增D.在1,+\infty上单调递减对任意x0，e^xx^2成立的充分条件有（）A.x0B.x2C.xeD.x3以下放缩公式中，等号成立条件为x=0的有（）A.e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdotsB.\lnx+1=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots C.e^x-1=xD.\ln x=x-1已知fx=e^x-ax-1，若对任意x\geq0，fx\geq0恒成立，则a的可能取值有（）A.0B.1C.2D.e函数放缩中常用的基本放缩公式有（）A.\ln x\leq x-1B.e^x\geq1+x C.\sin x\leq xD.\frac{1}{x}\geq\ln\left1+\frac{1}{x}\right对任意x0，\frac{e^x-1}{x}1成立的条件有（）A.x0B.x1C.x2D.对所有x0成立函数fx=e^x-x^3在x0时的零点个数可能为（）第6页共9页A.0B.1C.2D.3以下关于函数放缩的说法正确的有（）A.放缩需保证等价性B.放缩是简化问题的工具C.常用放缩技巧包括泰勒展开、构造函数D.放缩结果需验证

四、判断题（共20题，每题1分，共20分）（对的打“√”，错的打“×”）对任意x0，\ln xx-1恒成立（）e^x1+x+\frac{x^2}{2}对所有x0成立（）函数fx=\frac{\ln x}{x}的最大值为\frac{1}{e}（）对任意x0，\frac{e^x-1}{x}1成立（）放缩法只能用于证明不等式，不能用于求参数范围（）构造辅助函数fx=\ln x-x+1可证明\ln xx-1（）当x0时，e^x-1-x的最小值为0（）函数fx=e^x-x^2在x0时单调递增（）对任意x0，\sin xx成立（）e^xx^2对所有x0成立（）放缩时需保证放大或缩小后的式子仍能解决原问题（）函数fx=\ln x-x在x=1处取得最大值（）对任意x0，\lnx+1x成立（）证明e^x1+x可通过求导证明其最小值为0（）放缩法的核心是找到与原函数“接近”的简单函数（）函数fx=e^x-x-1在x=0处的导数为1（）对任意x0，\frac{\ln x}{x}1成立（）第7页共9页放缩后若得到矛盾，说明原不等式不成立（）函数fx=\frac{e^x-1}{x}在x=0处有定义（）放缩是解决函数不等式的唯一方法（）

五、简答题（共2题，每题5分，共10分）证明对任意x0，不等式\ln xx-1恒成立已知函数fx=e^x-ax-1，若对任意x\geq0，fx\geq0恒成立，求a的取值范围参考答案

一、单项选择题

1.A

2.C

3.A

4.B

5.B

6.A

7.A

8.A

9.D

10.D

11.A

12.A

13.A

14.A

15.A

16.D

17.B

18.A

19.B

20.C

21.D

22.B

23.C

24.A

25.A

26.A

27.A

28.A

29.B

30.B

二、多项选择题

31.ABC

32.ABCD

33.ABC

34.ABC

35.AB

36.ACD

37.AD

38.ABC

39.AC

40.AC

41.ABCD

42.ABD

43.ABCD

44.BCD

45.AC

46.AB

47.ABC

48.ABC

49.ABC

50.BCD

三、判断题

51.√

52.×

53.√

54.×

55.×

56.√

57.√

58.×

59.√

60.×

61.√

62.√

63.×

64.√

65.√

66.√

67.√

68.×

69.×

70.×

四、简答题证明构造fx=\ln x-x+1，求导得fx=\frac{1}{x}-1当x=1时，fx=0；x\in0,1时fx0，x\in1,+\infty时fx0，故fx\leq f1=0，即\ln x\leq x-1，等号仅当x=1时成立第8页共9页解求导fx=e^x-a当a\leq1时，fx\geq0，fx在[0,+\infty递增，fx\geq f0=0；当a1时，x=\ln a处fx=0，f\ln a=a-a\ln a-10，不满足综上，a\leq1说明本文试题覆盖函数放缩基础技巧与综合应用，答案简洁准确，可根据实际需求调整题量或难度第9页共9页。