大学线性代数教学课件

大学线性代数教学课件系统掌握线性代数核心理论与应用目录总览0102行列式及线性代数发展历史矩阵与线性方程组探索行列式的定义、性质和计算方法，了解线性代数的历史发展脉络掌握矩阵运算、线性方程组求解和高斯消元法等核心技能0304线性空间与子空间线性映射与矩阵变换理解线性空间的公理化定义、基底概念和维数理论学习线性映射的性质、矩阵表示和核像空间理论0506特征值与特征向量相似矩阵与标准型掌握特征值计算、对角化过程和矩阵幂运算技巧理解矩阵相似性、约当标准型和矩阵分类理论07二次型与内积空间线性代数的实际应用案例学习二次型理论、正交性概念和过程Gram-Schmidt第一章行列式及线性代数历史行列式的定义与性质行列式是方阵的一个标量值，反映了矩阵的重要几何和代数性质它具有多线性、反对称性和乘积性等基本性质•多线性对每行或每列线性•反对称交换行列式符号改变•乘积性detAB=detAdetB计算方法行列式的几何意义体积缩放因子行列式的绝对值表示线性变换对体积的缩放倍数在二维空间中，矩阵的行列2×2式表示平行四边形的有向面积反映线性变换的可逆性当行列式不为零时，矩阵可逆；当行列式为零时，变换会导致降维，矩阵不可逆这是判断矩阵可逆性的重要标准例题二维行列式与面积计算考虑矩阵，其行列式这意味着由向量和A=[[3,1],[2,4]]detA=3×4-1×2=103,2构成的平行四边形面积为通过几何可视化，我们可以更直观地理解行列式的含1,410义第二章矩阵基础矩阵的定义与分类矩阵的基本运算单位矩阵与逆矩阵矩阵是按矩形阵列排列的数表按形状可分为方矩阵加法要求同型矩阵对应元素相加；矩阵乘法单位矩阵是主对角线元素为、其余元素为的方10阵、行矩阵、列矩阵；按性质可分为对称矩阵、遵循行乘列规则，结果矩阵的维数由左矩阵行阵，是矩阵乘法的恒等元逆矩阵是使得AA⁻¹=反对称矩阵、正交矩阵等每种类型都有独特的数和右矩阵列数确定转置运算将矩阵的行列互的矩阵，只有可逆矩阵才存在逆矩阵I性质和应用换线性方程组与矩阵表示线性方程组的矩阵形式将线性方程组写成矩阵形式，其中为系数矩阵，为未知数向量，为常数项向Ax=b Ax b量这种表示方式简化了理论分析和数值计算解的存在性与唯一性条件唯一解当系数矩阵A可逆时（detA≠0）无穷解当增广矩阵与系数矩阵秩相等但小于未知数个数无解当增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩实例应用电路分析中的基尔霍夫定律、经济学中的供需平衡模型都可以转化为线性方程组问题高斯消元法与分解LU高斯消元步骤通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解包括前向消元和回代两个阶段分解LU将矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积，即适用于多次求解A LU A=LU同一系数矩阵的方程组计算优化分解的计算复杂度为，而直接高斯消元为对于大型矩阵，LU On³/3On³LU分解更加高效%MATLAB示例代码A=[211;132;100];b=[4;5;1];[L,U]=luA;%LU分解y=L\b;%前向代入x=U\y;%回代求解第三章线性空间与子空间线性空间的定义与公理线性空间是满足八个公理的集合，配备加法和标量乘法运算V加法交换律

1.u+v=v+u加法结合律

2.u+v+w=u+v+w存在零向量存在使得

3.0v+0=v存在负向量对每个存在使得

4.v-v v+-v=0标量乘法结合律

5.abv=abv分配律

6.au+v=au+av子空间的判定分配律

7.a+bv=av+bv

8.单位元1v=v集合S是线性空间V的子空间，当且仅当非空（包含零向量）•S对加法封闭•对标量乘法封闭•线性无关性与基底线性相关性定义1向量组线性相关，当且仅当存在不全为零的常数{v₁,v₂,...,vₙ}c₁,c₂,...,，使得cₙc₁v₁+c₂v₂+...+cₙvₙ=0线性无关的判定2可通过将向量作为列构成矩阵，计算其秩如果矩阵的秩等于向量个数，则向量组线性无关基底与维数3线性空间的基底是线性无关且生成整个空间的向量组基底中向量的个数称为空间的维数例题解析判断向量组的线性相关性构造矩阵，计算{1,2,1,2,1,3,1,-1,2}A，因为向量个数为，所以该向量组线性无关rankA=33维数定理与秩矩阵的秩维数定理秩的计算方法矩阵的秩等于其线性无关行（列）的最大个数，也等于非零行的个数秩反映了矩阵对于m×n矩阵A rankA+nullityA=n，其中nullityA是零空间的维数这是通过行变换将矩阵化为行阶梯形，非零行的个数即为矩阵的秩也可以通过奇异值分的有效信息量线性代数的基本定理之一解计算第四章线性映射与矩阵变换线性映射的定义与性质线性映射T:V→W满足两个基本性质可加性Tu+v=Tu+Tv齐次性Tcv=cTv这两个性质可以合并为，体现了线性映射保持线性Tau+bv=aTu+bTv组合的特性线性映射与矩阵的对应关系每个线性映射都可以用矩阵唯一表示如果T:ℝⁿ→ℝᵐ是线性映射，则存在m×n线性映射是连接抽象线性空间理论与具体矩阵计算的桥梁矩阵使得A Tx=Ax线性映射的核与像像空间Image∈ImT={Tv|v V}像空间是所有可能输出向量的集合，反映了线核空间性映射的覆盖范围Kernel∈KerT={v V|Tv=0}核空间包含所有被映射到零向量的输入向量，反映了线性映射的信息丢失维数关系dimV=dimKerT+dimImT这是线性映射基本定理，建立了输入空间与核、像空间维数的关系复合映射与逆映射复合映射的矩阵表示逆映射存在条件如果T₁:V→U，T₂:U→W都是线性映射，其矩阵表示分别为A₁和线性映射T可逆当且仅当T是双射（一一对应）等价条件包括，则复合映射∘的矩阵表示为A₂T₂T₁A₂A₁（单射条件）•KerT={0}注意矩阵乘法的顺序与函数复合的顺序相反！（满射条件）•ImT=W对应矩阵可逆•映射类型矩阵条件几何意义单射列满秩不同输入产生不同输出满射行满秩覆盖整个目标空间双射方阵且可逆一一对应，信息完全保持第五章特征值与特征向量特征值、特征向量定义对于方阵，如果存在非零向量和标量使得，则称为的特征值，为A vλAv=λvλA v对应的特征向量特征值反映了矩阵在特征向量方向上的缩放程度，是理解线性变换本质特性的关键010203求解特征多项式求解特征值求解特征向量计算detA-λI=0，得到关于λ的多项式方程方程解特征多项式方程，得到所有特征值每个特征值的代对每个特征值λᵢ，求解齐次方程组A-λᵢIx=0，得到的次数等于矩阵的阶数数重数是它作为多项式根的重数对应的特征向量空间对角化与幂运算可对角化条件对角化过程阶方阵可对角化当且仅当有个线如果可对角化，则存在可逆矩阵和对n AA nA P性无关的特征向量等价地，每个特征角矩阵，使得，其中的列D A=PDP⁻¹P值的几何重数等于代数重数是特征向量，的对角元素是对应的特D征值几何重数特征向量空间的维数•代数重数特征值在特征多项式中•的重数矩阵幂运算利用对角化计算矩阵幂由于易于计算（对角元素的次幂），这大Aⁿ=PDⁿP⁻¹Dⁿn大简化了高次幂的计算应用实例在动态系统分析中，系统的长期行为由主导特征值决定如果最大特征值的绝对值小于，系统趋于稳定1第六章相似矩阵与标准型相似矩阵定义1如果存在可逆矩阵使得P B=，则称矩阵与相似，记P⁻¹AP AB作相似是一种等价关A~B相似矩阵性质2系相似矩阵具有相同的特征值、行列式、迹、秩、特征多项式约当标准型简介这些都是相似不变量3每个复方阵都相似于唯一的约当标准型，这是对角化的推广，用判断相似性于处理不可对角化的矩阵4两矩阵相似的必要条件是具有相同的特征值（包括重数）对于可对角化矩阵，这也是充分条件第七章二次型二次型的定义与矩阵表示n元二次型是形如fx₁,x₂,...,xₙ=Σᵢⱼaᵢⱼxᵢxⱼ的多项式，可以表示为矩阵形式fx=xᵀAx，其中A是对称矩阵矩阵的正定性判定对称矩阵A的正定性可通过以下方法判定特征值判定所有特征值为正顺序主子式所有顺序主子式为正Cholesky分解A=LLᵀ存在几何意义二次型的等值面在几何上对应椭球面、双曲面等二次曲面100%0%50%正定矩阵负定矩阵不定矩阵第八章内积空间内积的定义与性质正交性与正交基正交化Gram-Schmidt内积是向量空间上的二元运算两向量正交当且仅当其内积为零正将线性无关向量组转化为正交向量组，满足正定性、线性性和共轭交基是由两两正交的单位向量组成的的系统方法通过逐步消除各向量间u,v⟨⟩对称性欧几里得空间中的标准内积基，具有优良的计算性质的相关性，构造正交基为u,v=uᵀv⟨⟩正交矩阵的列向量构成正交基，且Qᵀ广泛应用于数值计算、信号处理和统内积引入了长度和角度的概念，使几，保持向量的长度和角度计学中Q=I何直觉在抽象空间中得以应用正交投影与最小二乘法正交投影的定义向量b在子空间W上的正交投影proj_Wb是W中距离b最近的向量投影具有线性性和幂等性P²=P投影矩阵如果W的列空间由矩阵A的列张成，则投影矩阵为P=AAᵀA⁻¹Aᵀ投影矩阵是对称的且幂等的最小二乘问题几何解释数据拟合应用当线性方程组Ax=b无解时，寻找使||Ax-b||²最小的x这等最小二乘解对应于将b正交投影到A的列空间，投影向量为Ax̂，残在实验数据拟合中，通过最小二乘法确定最佳拟合参数，使观测价于求解正规方程AᵀAx=Aᵀb差向量b-Ax̂与列空间正交值与模型预测值的平方误差和最小第九章线性代数的应用案例计算机图形学中的矩阵变换网络分析中的线性系统经济学中的投入产出模型图形渲染依赖于矩阵变换平移、旋转、缩社交网络分析、交通流量优化和电路分析都涉及列昂惕夫投入产出模型用矩阵描述各产业部门间3D放和透视投影齐次坐标系统使得所有变换都能大规模线性方程组算法本质上是求的相互依赖关系，通过求解线性方程组预测经济PageRank用矩阵乘法统一表示解特征向量问题产出计算机图形学中的线性变换123基础变换变换矩阵透视投影2D3D平移扩展到齐次坐标矩阵，支持所有仿射变换的组合复合将场景投影到屏幕的变换，涉及视锥体、近裁剪面和T=[[1,0,tx],[0,1,ty],[0,0,1]]4×43D2D变换通过矩阵乘法实现，变换顺序影响最终结果远裁剪面等概念投影矩阵实现深度感和视觉效果旋转R=[[cosθ,-sinθ,0],[sinθ,cosθ,0],[0,0,1]]缩放S=[[sx,0,0],[0,sy,0],[0,0,1]]网络流与线性方程组网络节点流量平衡模型在网络流问题中，每个节点都满足流量守恒定律流入量等于流出量这可以表示为线性约束方程组设xᵢⱼ表示从节点i到节点j的流量，则节点i的流量平衡方程为Σⱼxᵢⱼ-Σₖxₖᵢ=bᵢ其中bᵢ是节点i的净流量（正值表示源，负值表示汇）010203建立关联矩阵构造流量方程求解与优化构造网络的关联矩阵，行对应节点，列对应流量平衡条件可写成，其中是边流量向结合容量约束和成本函数，可转化为线性规划问A Ax=b x边Aᵢⱼ=1（流出），-1（流入），0（不相量，b是节点需求向量题大规模网络常用专门算法如网络单纯形法关）经济学中的线性模型投入产出表结构投入产出表描述了各产业部门间的中间投入关系系数矩阵A的元素aᵢⱼ表示部门j生产单位产品需要从部门i投入的数量列昂惕夫模型基本方程x=Ax+d，其中x是总产出向量，d是最终需求向量解得x=I-A⁻¹d矩阵I-A⁻¹称为列昂惕夫逆矩阵，反映部门间的完全关联效应经济系统稳定性系统稳定要求I-A可逆，等价于A的最大特征值小于1这保证了经济系统的可持续性和均衡解的存在性数值线性代数简介数值计算中的误差与稳定性分解算法QR计算机浮点运算产生舍入误差，累积将矩阵分解为正交矩阵和上三角A Q可能导致结果失真条件数矩阵的乘积常用于最小κA=R A=QR衡量问题的数值稳二乘问题的数值求解，比正规方程方||A||·||A⁻¹||定性法更稳定•κA≈1问题良态问题病态，需要特殊•κA1处理奇异值分解SVD任意矩阵A可分解为A=UΣVᵀ，其中、是正交矩阵，是对角矩阵U VΣ是最重要的矩阵分解，应用于降SVD维、去噪和数据压缩线性代数学习建议多做典型例题理论与计算并重通过大量练习巩固基本概念和计算方法重点关注综合性题目，培养问题分析和解决能力既要掌握严格的数学理论，也要熟练掌握矩阵计算技巧理论指导实践，实践深化理解注重实际应用结合专业背景，了解线性代数在各领域的应用，增强学习动机和实用性建立知识网络使用计算工具梳理概念间的逻辑关系，构建完整的知识体系制作概念图，加深理解熟练使用、等工具进行矩阵计MATLAB Python算和可视化，提高学习效率典型例题解析

（一）12线性方程组求解特征值计算题目求解方程组题目求矩阵的特征值A=[[3,1],[1,3]]和特征向量2x₁+x₂+x₃=4解法计算detA-λI=λ²-6λ+8=x₁+3x₂+2x₃=5，得特征值相应特征0λ₁=4,λ₂=2x₁+x₃=1向量为v₁=[1,1]ᵀ,v₂=[1,-1]ᵀ解法使用高斯消元法，将增广矩阵化为行阶梯形，得到解x₁=0,x₂=1,x₃=13二次型规范化题目将二次型化为规范形fx₁,x₂=x₁²+4x₁x₂+x₂²解法矩阵，特征值为规范形为A=[[1,2],[2,1]]3,-1f=3y₁²-y₂²典型例题解析

（二）线性映射矩阵求解题目设线性映射T:ℝ²→ℝ³定义为T[x₁,x₂]=[x₁+x₂,2x₁,x₁-x₂]，求T的矩阵表示解答步骤

1.计算基向量的像Te₁=[1,2,1]ᵀ,Te₂=[1,0,-1]ᵀ

2.矩阵表示A=[[1,1],[2,0],[1,-1]]

3.验证Ax=Tx正交化过程给定向量组{[1,1,0],[1,0,1],[0,1,1]}，使用Gram-Schmidt过程构造正交基第一步u₁=v₁=[1,1,0]12最小二乘拟合复习与总结线性空间理论抽象代数结构1线性映射与矩阵函数论与代数表示的统一2特征值理论矩阵的内在性质和对角化3矩阵运算与线性方程组计算方法与数值技巧4向量、矩阵、行列式基础概念线性代数的基本语言和工具5重要定理汇总定理名称内容概要应用领域维数定理线性方程组解的结构rankA+nullityA=n谱定理实对称矩阵可正交对角化二次型理论矩阵满足自己的特征方程矩阵函数计算Cayley-Hamilton课后练习与拓展阅读经典教材推荐《线性代数及其应用》应用导向，配有丰富实例-David C.Lay《线性代数》同济大学数学系国内经典教材，理论扎实-《》无行列式方法，注重概念Linear AlgebraDone Right-Sheldon Axler理解在线资源与工具免费在线课程，可视化教学Khan Academy《线性代数的本质》视频系列3Blue1Brown、编程实践工具MATLAB PythonNumPy习题练习建议每章完成题基础练习•20-30重点攻克综合应用题•定期总结错题和难点•参与线上讨论和同伴学习•致谢与交流感谢各位同学的认真学习线性代数的学习之路充满挑战，但也蕴含着数学之美感谢大家的坚持和努力，正是你们的求知热情让这门课程变得生动有趣在数学的世界里，线性代数是通向更高层次抽象思维的桥梁掌握它，就是掌握了现代科学技术的数学语言欢迎课后提问与讨论•办公时间周三下午2:00-4:00•邮箱linear_algebra@university.edu•在线讨论区课程网站论坛•学习小组每周四晚7:00-9:00继续学习的方向建议进一步学习数值分析、泛函分析、抽象代数、微分几何等相关课程期待大家掌握线性代数开启数学新视野！。