线性代数期末考试题及答案

线性代数期末考试题及答案

一、单项选择题（共30题，每题1分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑错选、多选或未选均无分设行列式\begin{vmatrix}ab\cd\end{vmatrix}=2，则行列式\begin{vmatrix}2a2b\2c2d\end{vmatrix}=（）A.2B.4C.8D.16设矩阵A=\begin{pmatrix}12\34\end{pmatrix}，则A^{-1}=（）A.\begin{pmatrix}2-1\-31\end{pmatrix}B.\begin{pmatrix}-21\3-1\end{pmatrix}C.\begin{pmatrix}21\31\end{pmatrix}D.\begin{pmatrix}-2-1\-31\end{pmatrix}设向量组\alpha_1=1,0,0^T,\alpha_2=0,1,0^T,\alpha_3=0,0,1^T，则该向量组的秩为（）A.0B.1C.2D.3设n阶矩阵A满足A^2=A，则A的特征值只能是（）A.0或1B.0或-1C.1或-1D.任意实数线性方程组\begin{cases}x_1+x_2=1\x_1-x_2=2\end{cases}的解为（）A.x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{1}{2}B.x_1=\frac{3}{2},x_2=\frac{1}{2}C.x_1=-\frac{3}{2},x_2=-\frac{1}{2}D.x_1=-\frac{3}{2},x_2=\frac{1}{2}第1页共11页设矩阵A=\begin{pmatrix}100\020\003\end{pmatrix}，则A的特征值为（）A.1,2,3B.0,1,2C.0,0,0D.1,1,1行列式\begin{vmatrix}001\010\100\end{vmatrix}的值为（）A.1B.-1C.0D.2设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r阶子式都不为0B.所有r+1阶子式都为0C.有r阶子式不为0D.有r-1阶子式不为0向量组\alpha_1=1,1,1^T,\alpha_2=1,0,1^T,\alpha_3=0,1,1^T的线性相关性是（）A.线性无关B.线性相关C.秩为0D.无法判断设A为n阶矩阵，\lambda是A的特征值，则A^T的特征值为（）A.\lambda B.-\lambda C.\lambda^2D.\lambda^{-1}矩阵\begin{pmatrix}12\24\end{pmatrix}的秩为（）A.0B.1C.2D.3线性方程组Ax=b有解的充要条件是（）A.rA=rA|b B.rA\neq rA|b C.rA=0D.rA|b=0设A为可逆矩阵，则下列说法错误的是（）A.A的特征值都不为0B.A的秩等于阶数C.A的逆矩阵唯一D.A的所有子式都不为0第2页共11页行列式\begin{vmatrix}123\456\789\end{vmatrix}的值为（）A.0B.1C.2D.3设A为n阶矩阵，k为非零常数，则\detkA=（）A.k\detA B.k^n\detA C.\detA D.k^{-1}\detA矩阵\begin{pmatrix}100\001\010\end{pmatrix}的特征值为（）A.1,1,1B.1,1,-1C.1,1,0D.1,-1,-1向量\alpha=1,2,3^T与\beta=4,5,6^T的内积为（）A.32B.33C.34D.35线性方程组\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\2x_1-x_2=0\x_1+2x_2+x_3=0\end{cases}的基础解系所含向量的个数为（）A.0B.1C.2D.3设A为n阶矩阵，\lambda是A的特征值，k为正整数，则\lambda^k是（）的特征值A.A^k B.A^{-1}C.A^T D.A+E矩阵\begin{pmatrix}100\010\000\end{pmatrix}的标准形为（）A.\begin{pmatrix}100\010\000\end{pmatrix}B.\begin{pmatrix}10\01\end{pmatrix}C.\begin{pmatrix}100\000\000\end{pmatrix}D.\begin{pmatrix}100\010\001\end{pmatrix}第3页共11页设A为n阶矩阵，A的特征多项式为f\lambda=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots+a_0，则\detA=（）A.a_0B.a_{n-1}C.-a_0D.-1^n a_0向量组\alpha_1=1,0,0^T,\alpha_2=0,1,0^T,\alpha_3=0,0,1^T是（）A.行向量组B.列向量组C.既是行向量组也是列向量组D.都不是线性方程组Ax=b的增广矩阵为\begin{pmatrix}1234\5678\9101112\end{pmatrix}，则rA|b=（）A.1B.2C.3D.4矩阵A=\begin{pmatrix}11\11\end{pmatrix}的迹\text{tr}A=（）A.1B.2C.3D.4二次型fx_1,x_2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2的矩阵为（）A.\begin{pmatrix}11\11\end{pmatrix}B.\begin{pmatrix}12\21\end{pmatrix}C.\begin{pmatrix}10\01\end{pmatrix}D.\begin{pmatrix}11\01\end{pmatrix}设A为n阶矩阵，A的秩为r，则A的行向量组的秩为（）A.r B.n-r C.n D.无法确定行列式\begin{vmatrix}100\210\341\end{vmatrix}的值为（）第4页共11页A.1B.2C.3D.4向量组\alpha_1=1,2,3^T,\alpha_2=2,4,5^T,\alpha_3=3,6,7^T的线性相关性是（）A.线性无关B.线性相关C.秩为1D.秩为2矩阵\begin{pmatrix}100\020\003\end{pmatrix}的逆矩阵为（）A.\begin{pmatrix}100\020\003\end{pmatrix}B.\begin{pmatrix}100\01/20\001/3\end{pmatrix}C.\begin{pmatrix}100\001\010\end{pmatrix}D.\begin{pmatrix}001\01/20\101/3\end{pmatrix}设A为n阶矩阵，A的特征值为\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n，则\detA=（）A.\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n B.\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n C.\lambda_1-\lambda_2-\dots-\lambda_n D.\lambda_1^2+\lambda_2^2+\dots+\lambda_n^2

二、多项选择题（共20题，每题2分，共40分）在每小题列出的五个备选项中至少有两个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑错选、多选、少选或未选均无分行列式的性质包括（）A.交换两行，行列式变号B.某行乘以k，行列式值乘以kC.某行加上另一行的k倍，行列式值不变D.行列式中所有元素都为0时，值为0第5页共11页E.行列式中两行成比例时，值为0矩阵的运算满足的规则有（）A.加法交换律B.乘法不交换律C.数乘分配律D.乘法结合律E.转置分配律关于线性方程组Ax=b，下列说法正确的有（）A.若Ax=0有非零解，则Ax=b可能无解B.若Ax=0只有零解，则Ax=b有唯一解C.若rA=rA|b=r，则Ax=b有解D.若rA\neq rA|b，则Ax=b无解E.若rA=rA|bn，则Ax=b有无穷多解关于特征值和特征向量，下列说法正确的有（）A.若\lambda是A的特征值，则\lambda^k是A^k的特征值B.若\lambda是A的特征值，则\lambda^{-1}是A^{-1}的特征值（A可逆）C.若\lambda_1,\lambda_2是A的不同特征值，则对应的特征向量线性无关D.若A与B相似，则A与B有相同的特征值E.若A是对称矩阵，则其特征值都是实数关于向量组的秩，下列说法正确的有（）A.向量组的秩等于其极大线性无关组所含向量的个数B.矩阵的行秩等于列秩C.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数D.向量组的秩不超过向量的个数E.若向量组\alpha_1,\dots,\alpha_m可由\beta_1,\dots,\beta_n线性表示，则r\alpha_1,\dots,\alpha_m\leq r\beta_1,\dots,\beta_n第6页共11页矩阵A=\begin{pmatrix}ab\cd\end{pmatrix}可逆的充要条件有（）A.\detA\neq0B.A的秩为2C.A的行向量组线性无关D.A的列向量组线性无关E.A是对称矩阵关于二次型，下列说法正确的有（）A.二次型的矩阵是对称矩阵B.二次型可通过可逆线性变换化为标准形C.二次型的秩等于其矩阵的秩D.正定二次型的矩阵是正定矩阵E.二次型的标准形不唯一，但规范形唯一下列矩阵中，属于初等矩阵的有（）A.\begin{pmatrix}10\01\end{pmatrix}B.\begin{pmatrix}10\21\end{pmatrix}C.\begin{pmatrix}01\10\end{pmatrix}D.\begin{pmatrix}100\010\005\end{pmatrix}E.\begin{pmatrix}100\001\010\end{pmatrix}关于线性相关性，下列说法正确的有（）A.含零向量的向量组线性相关B.单个向量线性相关当且仅当它是零向量C.若向量组线性相关，则其中任一向量可由其余向量线性表示D.若向量组线性无关，则其任何部分组也线性无关E.若向量组\alpha_1,\dots,\alpha_m线性无关，\beta_1,\dots,\beta_n线性相关，则\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_1,\dots,\beta_n线性相关矩阵A的特征多项式具有的性质有（）A.首项系数为1B.次数等于矩阵的阶数C.根为矩阵的特征值第7页共11页D.满足凯莱-哈密顿定理E.与A相似的矩阵有相同的特征多项式线性方程组Ax=0的解空间的维数为（）A.n-rA B.自由变量的个数C.基础解系所含向量的个数D.矩阵A的零空间的维数E.与A的列向量组的秩无关关于矩阵的秩，下列说法正确的有（）A.rA^T=rA B.rA+B\leq rA+rB C.rAB\leq\min{rA,rB}D.若A可逆，则rAB=rB E.若B可逆，则rAB=rA下列变换中，属于初等行变换的有（）A.交换两行B.某行乘以非零常数C.某行加上另一行的k倍D.某列乘以非零常数E.某列加上另一列的k倍关于二次型的标准形，下列说法正确的有（）A.可通过正交变换化为标准形B.可通过配方法化为标准形C.标准形中平方项的系数都是非零的D.标准形不唯一E.规范形是唯一的（不计顺序）向量空间的基本性质包括（）A.对加法封闭B.对数乘封闭C.包含零向量D.对逆元封闭E.对减法封闭矩阵A与B相似的条件有（）A.存在可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B B.A与B有相同的特征多项式C.A与B有相同的特征值D.A与B有相同的秩E.A与B有相同的迹关于线性无关的向量组，下列说法正确的有（）第8页共11页A.可作为某个向量空间的基B.是极大线性无关组C.个数不超过向量空间的维数D.可线性表示向量空间中任一向量E.任意添加一个向量后线性相关行列式\begin{vmatrix}abc\def\ghi\end{vmatrix}的展开式中，包含a的项有（）A.a ei B.-a fh C.a fh D.-a eg E.a hg关于正交矩阵，下列说法正确的有（）A.行向量组两两正交且模长为1B.列向量组两两正交且模长为1C.其逆矩阵等于其转置矩阵D.特征值都是实数E.行列式的绝对值为1二次型fx_1,x_2,x_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2的性质有（）A.正定B.负定C.半正定D.半负定E.不定

三、判断题（共20题，每题1分，共20分）判断下列各题，正确的在“答题卡”相应位置涂黑“√”，错误的涂黑“×”行列式中交换两列，行列式值不变（）若矩阵A可逆，则A的逆矩阵唯一（）向量组线性相关的充要条件是存在不全为零的数k_1,\dots,k_m使得k_1\alpha_1+\dots+k_m\alpha_m=0（）线性方程组Ax=b有唯一解当且仅当Ax=0只有零解（）矩阵的乘法满足结合律，也满足交换律（）若\lambda是矩阵A的特征值，则\lambda对应的特征向量唯一（）二次型的矩阵一定是对称矩阵（）第9页共11页矩阵的秩等于其非零行的行数（）向量组的极大线性无关组是唯一的（）初等矩阵都是可逆矩阵（）若A是n阶矩阵，则\detA^T=\detA（）线性方程组的解空间是一个向量空间（）若矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征值（）向量的内积满足交换律和数乘分配律（）矩阵\begin{pmatrix}10\01\end{pmatrix}是单位矩阵（）若A是对称矩阵，则A的特征值都是实数（）行列式的展开式中，每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积（）若A的秩为r，则A中所有r阶子式都不为零（）正交变换不改变向量的内积（）二次型的秩等于其矩阵的秩（）

四、简答题（共2题，每题5分，共10分）求线性方程组\begin{cases}x_1+2x_2+x_3=1\2x_1+3x_2+2x_3=3\x_1+x_2+x_3=0\end{cases}的通解设矩阵A=\begin{pmatrix}1-11\2-22\-11-1\end{pmatrix}，求A的特征值和特征向量参考答案

一、单项选择题（1-10）C BD A A A B B A A（11-20）B AD ABA ABAA（21-30）D B B BAAABBB第10页共11页

二、多项选择题（31-35）ABCDE ABCDEACDE ABCDE ABCDE（36-40）ABCD ABCDEBCDE ABDABCDE（41-45）ABCD ABCDEABC ABCDEABCDE（46-50）ABCDEABCDABCE ABCEAE

三、判断题（51-55）×√√××（56-60）×√√×√（61-65）√√√√√（66-70）√√√√√

四、简答题解系数矩阵经初等行变换化为行最简形\begin{pmatrix}1013\010-2\0000\end{pmatrix}，故通解为x_1=-x_3+3,x_2=-2,x_3为自由变量，令x_3=k，则通解为3,-2,0^T+k-1,0,1^T,k\in\mathbb{R}解特征多项式f\lambda=\detA-\lambda E=-\lambda^3+3\lambda^2-3\lambda+1=-λ-1^3，特征值为\lambda=1（三重）对应特征向量为k1,2,-1^T,k\neq0第11页共11页。