线面角试题及答案

线面角试题及答案

一、线面角基础概念线面角是立体几何中的重要概念，指一条直线与一个平面所成的角，其范围为0^\circ\leq\theta\leq90^\circ求线面角的核心方法是通过直线上一点作平面的垂线，垂足与直线和平面交点的连线即为直线在平面内的射影，线面角即为直线与其射影所成的锐角（或直角）

二、线面角试题

（一）单项选择题（共30题，每题1分）已知正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，棱长为1，直线A_1B与平面ABCD所成的角为（）A.30^\circ B.45^\circ C.60^\circ D.90^\circ正三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，底面边长为2，侧棱长为1，直线AC_1与侧面ABB_1A_1所成的角为（）A.\arcsin\frac{\sqrt{3}}{3}B.\arccos\frac{\sqrt{3}}{3}C.\arctan\frac{\sqrt{3}}{3}D.\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6}在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA\perp底面ABCD，PA=AD=1，AB=2，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为（）A.\frac{\sqrt{5}}{5}B.\frac{\sqrt{5}}{3}C.\frac{\sqrt{10}}{5}D.\frac{\sqrt{10}}{3}直线l与平面\alpha斜交，l上一点到平面\alpha的距离为2，直线l与平面\alpha所成角为30^\circ，则直线l的长度为（）A.1B.2C.4D.8第1页共13页已知三棱锥P-ABC中，PA\perp平面ABC，AB=AC=BC=2，PA=1，则直线PB与平面PBC所成角的正切值为（）A.\frac{\sqrt{3}}{3}B.\frac{\sqrt{3}}{2}C.\frac{\sqrt{2}}{2}D.\frac{1}{2}正四面体ABCD中，棱长为1，直线AB与平面BCD所成角的余弦值为（）A.\frac{1}{3}B.\frac{\sqrt{3}}{3}C.\frac{\sqrt{2}}{3}D.\frac{2}{3}长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AB=3，AD=4，AA_1=5，直线A_1C与平面A_1B_1C_1D_1所成角的正切值为（）A.\frac{3}{5}B.\frac{4}{5}C.\frac{3}{4}D.\frac{4}{3}直线l与平面\alpha所成角为45^\circ，平面\alpha的法向量与直线l的方向向量夹角为135^\circ，则直线l与平面\alpha所成角的正弦值为（）A.\frac{\sqrt{2}}{2}B.\frac{1}{2}C.\frac{\sqrt{3}}{2}D.1在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，点E为A_1D_1中点，直线BE与平面BCC_1B_1所成角的正切值为（）A.\frac{\sqrt{5}}{2}B.\frac{\sqrt{5}}{3}C.\frac{\sqrt{2}}{2}D.\frac{2\sqrt{5}}{5}正三棱锥P-ABC中，底面边长为2，侧棱长为3，直线PA与平面PBC所成角的正弦值为（）A.\frac{\sqrt{2}}{3}B.\frac{\sqrt{3}}{3}C.\frac{\sqrt{6}}{3}D.\frac{2\sqrt{2}}{3}第2页共13页直线l在平面\alpha外，且与平面\alpha不平行，则直线l与平面\alpha所成角的范围是（）A.0^\circ,90^\circ B.[0^\circ,90^\circ C.0^\circ,90^\circ]D.[0^\circ,90^\circ]已知直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，\angle BAC=90^\circ，AB=AC=AA_1=1，则直线BC_1与平面A_1B_1C_1所成角的正弦值为（）A.\frac{\sqrt{2}}{2}B.\frac{\sqrt{3}}{3}C.\frac{\sqrt{6}}{3}D.\frac{\sqrt{6}}{6}平面\alpha内有两条相交直线a,b，直线l上一点到平面\alpha的距离为h，直线l与a,b均垂直，则直线l与平面\alpha所成角为（）A.\arcsin\frac{h}{|l|}B.\arccos\frac{h}{|l|}C.\arctan\frac{h}{|l|}D.无法确定正四棱锥P-ABCD中，底面边长为\sqrt{2}，侧棱长为2，则直线PA与平面ABCD所成角的大小为（）A.30^\circ B.45^\circ C.60^\circ D.75^\circ在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AA_1\perp底面ABC，AB=AC=1，AA_1=2，\angle BAC=60^\circ，则直线A_1B与平面A_1ACC_1所成角的正切值为（）A.\frac{\sqrt{3}}{3}B.\frac{\sqrt{3}}{2}C.\frac{\sqrt{2}}{2}D.\frac{1}{2}直线l与平面\alpha所成角为\theta，若直线l上某线段长度为m，该线段在平面\alpha内的射影长度为n，则\theta与m,n的关系为（）第3页共13页A.\cos\theta=\frac{n}{m}B.\sin\theta=\frac{n}{m}C.\tan\theta=\frac{n}{m}D.\sin\theta=\frac{m}{n}已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，\angleABC=60^\circ，PA\perp底面ABCD，PA=AB=1，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（）A.\frac{\sqrt{2}}{2}B.\frac{\sqrt{3}}{3}C.\frac{\sqrt{6}}{3}D.\frac{\sqrt{6}}{6}正四面体中，任意一条棱与相对面所成角的余弦值为（）A.\frac{1}{3}B.\frac{\sqrt{3}}{3}C.\frac{\sqrt{2}}{3}D.\frac{\sqrt{3}}{2}直线l与平面\alpha平行，则直线l与平面\alpha所成角为（）A.0^\circ B.90^\circ C.45^\circ D.无法确定在三棱锥P-ABC中，PA\perp BC，PA=BC=2，PA与平面ABC所成角30^\circ，则直线BC与平面PAB所成角的正弦值为（）A.\frac{\sqrt{3}}{2}B.\frac{1}{2}C.\frac{\sqrt{3}}{3}D.\frac{1}{3}直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AB=3，BC=4，AC=5，AA_1=2，则直线A_1C与平面BCC_1B_1所成角的正弦值为（）A.\frac{3\sqrt{5}}{10}B.\frac{4\sqrt{5}}{10}C.\frac{3\sqrt{10}}{10}D.\frac{4\sqrt{10}}{10}第4页共13页已知直线l与平面\alpha所成角为30^\circ，平面\alpha内一点到直线l的距离为d，则直线l的长度最小值为（）A.d B.2d C.\frac{d}{2}D.\frac{d}{\sin30^\circ}正六棱柱ABCDEF-A_1B_1C_1D_1E_1F_1中，底面边长为1，侧棱长为2，则直线A_1A与平面A_1B_1C_1D_1E_1F_1所成角为（）A.30^\circ B.45^\circ C.60^\circ D.90^\circ在三棱锥P-ABC的棱PA上取一点D，使得AD=2PD，直线BD与平面ABC所成角的正弦值为（）A.\frac{1}{3}B.\frac{2}{3}C.\frac{\sqrt{3}}{3}D.无法确定直线l与平面\alpha所成角为\theta，平面\alpha的法向量与直线l的方向向量夹角为\phi，则\theta与\phi的关系为（）A.\theta=\phi B.\theta=180^\circ-\phi C.\sin\theta=|\cos\phi|D.\cos\theta=|\cos\phi|已知正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，点F为CC_1中点，直线AF与平面A_1B_1CD所成角的正切值为（）A.\frac{\sqrt{5}}{2}B.\frac{\sqrt{5}}{3}C.\frac{\sqrt{2}}{2}D.\frac{2\sqrt{5}}{5}正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，高为2，则直线PB与平面ABCD的夹角为（）A.\arctan\sqrt{2}B.\arctan\frac{\sqrt{2}}{2}C.\arcsin\sqrt{2}D.\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}第5页共13页直线l与平面\alpha相交于点O，点P在直线l上，且PO=3（PO\perp平面\alpha），直线l与平面\alpha所成角为30^\circ，则线段PO在平面\alpha内的射影长度为（）A.\frac{3}{2}B.\frac{3\sqrt{3}}{2}C.3D.6三棱锥P-ABC中，PA\perp平面ABC，AB=BC=2，\angleABC=90^\circ，PA=1，则直线PC与平面PAB所成角的正切值为（）A.\frac{\sqrt{5}}{5}B.\frac{\sqrt{5}}{2}C.\frac{\sqrt{2}}{2}D.\frac{1}{2}直线l与平面\alpha所成角为60^\circ，直线l上两点M,N到平面\alpha的距离分别为m,n，则线段MN在平面\alpha内射影长度为（）A.|m-n|B.\frac{|m-n|}{\sin60^\circ}C.\frac{|m-n|}{\cos60^\circ}D.\frac{|m-n|}{\tan60^\circ}

（二）多项选择题（共20题，每题2分）下列关于线面角的说法中，正确的有（）A.线面角的范围是[0^\circ,90^\circ]B.线面角是直线与其在平面内射影所成角C.线面角的正弦值等于直线与平面法向量夹角余弦值的绝对值D.线面角为90^\circ时，直线与平面垂直已知正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，直线A_1B与平面ABCD的线面角为45^\circ，则以下结论正确的有（）A.直线A_1B与平面A_1B_1C_1D_1的线面角也为45^\circB.直线A_1B与平面BCC_1B_1的线面角为45^\circ第6页共13页C.直线A_1B与平面A_1ACC_1的线面角为45^\circD.直线A_1B与平面A_1BC_1的线面角为90^\circ在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为a，高为h，则以下说法正确的有（）A.直线PA与平面ABCD的线面角的正切值为\frac{h}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}B.直线PB与平面PCD的线面角的正弦值为\frac{h}{\sqrt{h^2+\frac{1}{2}a^2}}C.直线AB与平面PCD的线面角的余弦值为\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\sqrt{h^2+\frac{1}{2}a^2}}D.若h=a，则直线PA与平面PBC的线面角为45^\circ直线l与平面\alpha所成角为\theta，则以下说法正确的有（）A.若\theta=0^\circ，则l\parallel\alpha或l\subset\alphaB.若\theta=90^\circ，则l\perp\alphaC.若\theta为锐角，则直线l上任意一点到平面\alpha的距离等于该点到直线与平面交点的距离乘以\sin\thetaD.若直线l上两点到平面\alpha的距离相等，则直线l与平面\alpha平行已知直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，\angle ACB=90^\circ，AC=BC=1，AA_1=2，则以下结论正确的有（）A.直线A_1B与平面A_1B_1C_1的线面角的正切值为\frac{\sqrt{2}}{2}第7页共13页B.直线A_1C与平面BCC_1B_1的线面角的正弦值为\frac{\sqrt{5}}{5}C.直线BC_1与平面A_1B_1C的线面角的余弦值为\frac{\sqrt{10}}{5}D.直线AB_1与平面A_1ACC_1的线面角的正切值为\frac{\sqrt{2}}{2}线面角的大小与以下哪些因素有关（）A.直线与平面的相对位置B.直线的方向向量C.平面的法向量D.直线在平面内的射影长度下列几何体中，存在直线与平面所成角为30^\circ的有（）A.正方体B.正三棱柱C.正四面体D.直四棱柱直线l与平面\alpha所成角为\theta，若直线l的方向向量为\vec{a}，平面\alpha的法向量为\vec{n}，则以下正确的有（）A.\sin\theta=\frac{|\vec{a}\cdot\vec{n}|}{|\vec{a}||\vec{n}|}B.\cos\theta=\frac{|\vec{a}\cdot\vec{n}|}{|\vec{a}||\vec{n}|}C.\theta与\langle\vec{a},\vec{n}\rangle互余或相等D.\theta与\langle\vec{a},\vec{n}\rangle互补或相等在三棱锥P-ABC中，PA\perp平面ABC，AB=AC=2，\angle BAC=60^\circ，则以下结论正确的有（）A.直线PB与平面PBC的线面角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}B.直线PC与平面PAB的线面角的正切值为\frac{\sqrt{3}}{3}第8页共13页C.直线BC与平面PAB的线面角的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}D.直线PA与平面PBC的线面角为30^\circ直线l与平面\alpha不平行，且与平面\alpha不垂直，则直线l的线面角可能为（）A.0^\circ B.30^\circ C.60^\circ D.90^\circ已知正四棱柱ABCD-A_1B_1C_1D_1中，底面边长为2，侧棱长为3，则以下线面角相等的有（）A.直线A_1B与平面ABCDB.直线A_1B与平面BCC_1B_1C.直线A_1D与平面A_1B_1C_1D_1D.直线A_1C与平面ABCD直线l与平面\alpha所成角为45^\circ，则以下说法正确的有（）A.直线l在平面\alpha内的射影长度等于直线l长度的\frac{\sqrt{2}}{2}倍B.直线l上任意一点到平面\alpha的距离等于该点到射影点距离的\frac{\sqrt{2}}{2}倍C.直线l与平面\alpha内任意直线所成角的最大值为45^\circD.若直线l与平面\alpha内某直线所成角为60^\circ，则该直线与平面\alpha所成角为30^\circ下列关于线面角的求法，正确的有（）A.作垂线过直线上一点作平面垂线，找射影，求线与射影的夹角B.向量法利用方向向量与法向量的夹角计算第9页共13页C.体积法通过等体积转化求点到平面的距离，再求线面角D.几何法利用已知角度或边长，通过解三角形求线面角正六棱锥P-ABCDEF中，底面边长为1，高为\sqrt{3}，则以下结论正确的有（）A.直线PA与平面ABCDEF的线面角的正切值为\sqrt{3}B.直线PB与平面PAB的线面角为90^\circC.直线AB与平面PCD的线面角的正弦值为\frac{1}{2}D.直线PA与平面PBC的线面角的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}直线l与平面\alpha所成角为\theta，平面\alpha内有两条相交直线a,b，且l\perp a，l\perp b，则以下说法正确的有（）A.\theta=90^\circ B.\theta=0^\circ C.\theta与a,b的位置有关D.\theta与a,b的方向无关三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=BC=CA=2，则以下结论正确的有（）A.直线PA与平面PBC的线面角为30^\circB.直线PA与平面ABC的线面角正弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}C.直线AB与平面PBC的线面角余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}D.直线PC与平面PAB的线面角正切值为\frac{\sqrt{3}}{2}已知直线l与平面\alpha的线面角为\theta，若将直线l绕平面内一点旋转，则线面角可能变为（）第10页共13页A.0^\circ B.30^\circ C.60^\circ D.90^\circ线面角的性质有（）A.若两直线平行，则它们与同一平面所成角相等B.若两平面平行，则同一直线与两平面所成角相等C.若直线与平面所成角为\theta，则\sin\theta\leq1D.若直线与平面所成角为\theta，则\theta随直线与平面相对位置变化而变化在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，\angle ABC=90^\circ，AB=1，BC=2，AA_1=3，则以下线面角为锐角的有（）A.直线A_1B与平面ABCB.直线A_1C与平面BCC_1B_1C.\angle A_1CB中直线A_1C与平面ABCD.直线AB_1与平面A_1B_1C_1直线l与平面\alpha所成角为\theta，若直线l上一点到平面\alpha的距离为h，直线l的长度为m，则（）A.h=m\sin\theta B.m=\frac{h}{\sin\theta}C.\theta=\arcsin\frac{h}{m}D.\theta=\arccos\frac{h}{m}

（三）判断题（共20题，每题1分）直线与平面所成角的范围是[0^\circ,90^\circ]（）若直线在平面内，则直线与平面所成角为90^\circ（）线面角是直线与平面内任意一条直线所成角的最小值（）直线与平面所成角的正弦值等于直线与平面法向量夹角余弦值的绝对值（）若直线与平面的法向量垂直，则直线与平面平行（）第11页共13页正方体中，面对角线与底面所成角的正切值为\frac{\sqrt{2}}{2}（）直线与平面所成角为\theta，则\theta越大，直线与平面越“斜”（）三棱锥中，高所在的直线与底面所成角为90^\circ（）若直线与平面所成角为30^\circ，则该直线与平面内所有直线所成角的最小值为30^\circ（）正四棱锥底面中心到顶点的连线与底面所成角为线面角（）直线与平面所成角为\theta，则直线的方向向量与平面的法向量的夹角为90^\circ-\theta（）若两直线与同一平面所成角相等，则两直线平行（）长方体中，体对角线与底面所成角的正弦值等于体对角线在底面上的射影长度除以体对角线长度（）直线与平面所成角为0^\circ时，直线与平面无公共点（）若直线上一点到平面的距离为h，直线长度为m，则线面角的正弦值为\frac{h}{m}（）正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值等于高与侧棱长的比值（）线面角的大小与坐标系的选择无关（）直线与平面所成角为\theta，则\theta不可能大于90^\circ（）若直线与平面所成角为45^\circ，则直线与平面内某直线所成角的最大值为45^\circ（）正方体中，棱与相对面所成角为45^\circ（）

（四）简答题（共2题，每题5分）第12页共13页如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AD=2，AB=3，\angle DAB=60^\circ，PA\perp底面ABCD，PA=1求直线PB与平面PCD所成角的正弦值（要求写出关键步骤）已知正三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，底面边长为2，侧棱长为\sqrt{3}点E为A_1B_1中点，求直线CE与平面A_1B_1C_1所成角的正切值（要求写出关键步骤）

三、参考答案

（一）单项选择题1-5:B A C CA6-10:B A A B A11-15:A DAC B16-20:A DAAB21-25:CB B AC26-30:BABBB

（二）多项选择题1:ABCD2:AB3:ABC4:ABC5:BC6:ABD7:ABCD8:AC9:AB10:BC11:AC12:AB13:ABCD14:CD15:AD16:AB17:ABCD18:ABCD19:AB20:ABC

（三）判断题1:√2:×3:√4:√5:×6:×7:√8:√9:√10:√11:×12:×13:√14:×15:√16第13页共13页。