cgmo试题及答案

cgmo试题及答案cgmo数学竞赛模拟试题及参考答案

一、单项选择题（共30题，每题1分）（注每题只有一个正确选项，将正确选项字母填入括号内）设集合A={1,2,3,4,5}，集合B={2,4,6,8}，则A\cap B的元素个数为（）A.2B.3C.4D.5函数fx=x^2-4x+3的单调递增区间是（）A.-\infty,2B.2,+\inftyC.-\infty,1D.3,+\infty等差数列{a_n}中，已知a_1=1，a_3=5，则公差d=（）A.2B.3C.4D.5复数z=3+4i的模为（）A.5B.7C.10D.12从10名学生中选3人参加比赛，不同的选法共有（）种A.120B.210C.360D.720不等式x^2-3x+20的解集为（）A.1,2B.-\infty,1\cup2,+\infty C.-\infty,2D.1,+\infty圆x^2+y^2=4的圆心坐标是（）A.1,0B.0,1C.0,0D.2,0已知向量\vec{a}=1,2，\vec{b}=3,4，则\vec{a}\cdot\vec{b}=（）A.5B.11C.13D.15第1页共9页函数fx=\sin x+\cos x的最大值为（）A.1B.\sqrt{2}C.2D.3已知\tan\theta=2，则\sin2\theta=（）A.\frac{3}{5}B.\frac{4}{5}C.\frac{5}{3}D.\frac{5}{4}数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_3=（）A.5B.7C.9D.11函数fx=\ln x在x=1处的导数为（）A.0B.1C.2D.\frac{1}{e}已知A,B,C三点共线，且\overrightarrow{AB}=2,3，\overrightarrow{BC}=k,6，则k=（）A.4B.-4C.3D.-3不等式\left|x-1\right|2的解集为（）A.-1,3B.-\infty,-1\cup3,+\infty C.1,3D.-3,1从装有3个红球和2个白球的袋中任取2个球，恰好1红1白的概率为（）A.\frac{1}{10}B.\frac{3}{10}C.\frac{3}{5}D.\frac{2}{5}已知ab0，则下列不等式成立的是（）A.a^2b^2B.\frac{1}{a}\frac{1}{b}C.a+cb+cD.acbc若\log_2x=3，则x=（）A.6B.8C.9D.16第2页共9页函数fx=2^x-1的反函数为（）A.f^{-1}x=\log_2x+1B.f^{-1}x=\log_2x+1C.f^{-1}x=2^x+1D.f^{-1}x=2^x-1已知\triangle ABC中，\angle A=60^\circ，AB=3，AC=4，则BC=（）A.\sqrt{13}B.5C.7D.\sqrt{37}等差数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则a_5=（）A.10B.12C.14D.16已知x,y0，且x+y=5，则xy的最大值为（）A.6B.7C.8D.9圆x^2+y^2-2x-4y+4=0的半径为（）A.1B.2C.3D.4已知\sin\alpha+\beta=\frac{1}{2}，\cos\alpha-\beta=\frac{1}{3}，则\cos2\alpha+\cos2\beta=（）A.\frac{1}{6}B.\frac{5}{6}C.\frac{7}{6}D.\frac{11}{6}函数fx=x^3-3x^2+2的极值点为（）A.x=0B.x=2C.x=0和x=2D.无极值点已知a=2^{

0.3}，b=

0.3^2，c=\log_

20.3，则a,b,c的大小关系为（）第3页共9页A.abcB.bacC.cabD.cba从正方体的8个顶点中任取3个顶点构成三角形，其中直角三角形的个数为（）A.24B.28C.32D.36已知\vec{a}=1,1，\vec{b}=0,-1，则与\vec{a}+\vec{b}同向的单位向量为（）A.\left\frac{1}{\sqrt{2}},0\rightB.\left0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right C.\left\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right D.\left\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right若x^2+y^2=1，则x+2y的最大值为（）A.\sqrt{5}B.2C.3D.\sqrt{3}已知fx=x^2-2x+3，则fx在区间[0,3]上的最大值为（）A.3B.4C.5D.6已知A1,2，B3,4，则线段AB的中点坐标为（）A.2,3B.4,6C.1,3D.2,2

二、多项选择题（共20题，每题2分）（注每题有多个正确选项，全部选对得2分，选对但不全得1分，选错或不选得0分）下列函数中，是奇函数的有（）A.fx=x^3B.fx=|x|C.fx=\sin xD.fx=\cos x下列方程中，有实数解的是（）第4页共9页A.x^2-2x+1=0B.x^2+1=0C.x^2-3x+4=0D.2x-1=0已知a0，b0，则下列不等式成立的有（）A.a+b\geq2\sqrt{ab}B.\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}C.ab\leq\left\frac{a+b}{2}\right^2D.a^2+b^2\geq2ab下列几何图形中，是中心对称图形的有（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形已知向量\vec{a}=1,2，\vec{b}=3,4，则下列结论正确的有（）A.\vec{a}与\vec{b}不共线B.\vec{a}+\vec{b}=4,6C.\vec{a}\cdot\vec{b}=11D.|\vec{a}|=\sqrt{5}下列函数中，在区间0,+\infty上单调递增的有（）A.fx=x^2B.fx=\frac{1}{x}C.fx=2^xD.fx=\ln x已知\triangle ABC中，a=3，b=4，c=5，则该三角形的性质有（）A.直角三角形B.锐角三角形C.周长为12D.面积为6下列方程中，属于二次方程的有（）A.x^2=0B.x^3-2x=0C.2x^2-3x+1=0D.x-1x+2=0已知x\in[0,2]，则下列函数的最小值为1的有（）第5页共9页A.fx=x+1B.fx=x^2C.fx=2^xD.fx=\sin x下列集合中，是空集的有（）A.{x|x^2+1=0,x\in\mathbb{R}}B.{x|x0,x\geq0}C.{x|x^2-2x+1=0}D.{x|x是10的质因数}已知A\subseteq B，则下列关系正确的有（）A.A\cup B=BB.A\cap B=AC.B\subseteq AD.A\cup B=A下列三角函数中，周期为2\pi的有（）A.\sin xB.\cos xC.\tan xD.\sin2x已知a=\log_32，b=\log_23，c=\log_45，则下列大小关系正确的有（）A.abB.acC.bcD.ca下列函数中，在区间-\infty,0上单调递减的有（）A.fx=x^2B.fx=-xC.fx=2^xD.fx=\frac{1}{x}已知x,y满足\begin{cases}x+y=3\x-y=1\end{cases}，则下列结论正确的有（）A.x=2B.y=1C.xy=2D.x^2+y^2=5下列方程中，有两个不相等实根的是（）A.x^2-2x+1=0B.x^2-3x+2=0C.x^2-4x+5=0D.2x^2-5x+2=0已知fx=x^3-3x+1，则下列结论正确的有（）第6页共9页A.fx的导数为fx=3x^2-3B.极值点为x=1和x=-1C.极大值为f-1=3D.极小值为f1=-1下列几何体中，体积公式为\frac{1}{3}Sh的有（）A.三棱锥B.四棱锥C.圆锥D.圆柱已知\vec{a}=1,0，\vec{b}=0,1，则下列结论正确的有（）A.\vec{a}\cdot\vec{b}=0B.|\vec{a}|=|\vec{b}|C.\vec{a}与\vec{b}垂直D.\vec{a}+\vec{b}=1,1若ab0，则下列不等式变形正确的有（）A.a+cb+cB.acbcC.\frac{1}{a}\frac{1}{b}D.a^2b^2

三、判断题（共20题，每题1分）（注对的打“√”，错的打“×”）0是自然数（）函数fx=x^2是奇函数（）向量\vec{a}=1,2与\vec{b}=2,4共线（）方程x^2-4=0的解为x=2（）圆x^2+y^2=4的圆心是2,0（）不等式x+35的解集为x2（）等差数列的公差一定是正数（）函数fx=\ln x的定义域是0,+\infty（）向量的模是一个非负实数（）若ab，则a^2b^2（）第7页共9页三角形的内角和为180^\circ（）函数fx=\sin x的最小正周期是2\pi（）方程x^2+2x+1=0有两个相等的实根（）从10件产品中任取2件，共有C_{10}^2=45种取法（）函数fx=2^x在\mathbb{R}上单调递增（）向量\vec{a}与\vec{b}的数量积是一个向量（）若a=0，则a^2=0（）圆x^2+y^2-2x=0的半径为1（）不等式|x-1|\leq2的解集为-1,3（）分数\frac{1}{2}与\frac{2}{4}是相等的（）

四、简答题（共2题，每题5分）简述数学归纳法的基本步骤已知二次函数fx=ax^2+bx+c的图像过点1,0，2,3，且f0=1，求该二次函数的解析式参考答案

一、单项选择题1-5ACAAA6-10ACBCB11-15BBAAA16-20CBAAA21-25DBBAA26-30DAA CA

二、多项选择题31-35AC ADABCD ABCDABCD36-40ACD ACDACD AB AB41-45ABABACD ABABCD46-50BD ABCDABC ABCDACD

三、判断题第8页共9页51-55√×√××56-60√×√√×61-65√√√√√66-70×√√×√

四、简答题数学归纳法基本步骤

（1）基础步骤验证当n=1时命题成立；

（2）归纳步骤假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立；

（3）结论由基础步骤和归纳步骤，得出命题对所有正整数n成立解由f0=1得c=1；将1,0代入得a+b+1=0；将2,3代入得4a+2b+1=3，即4a+2b=2；联立方程\begin{cases}a+b=-1\2a+b=1\end{cases}，解得a=2，b=-3；故二次函数解析式为fx=2x^2-3x+1文档说明本文档为数学竞赛模拟试题，涵盖代数、几何、函数等核心知识点，题型分布符合竞赛常规，答案简洁准确，适合学生日常练习与知识巩固第9页共9页。