函数极限试题及答案解析

函数极限试题及答案解析前言本试题及答案解析旨在帮助学习高等数学（或微积分）的学生巩固函数极限的核心知识点，熟悉常见题型与解题方法试题涵盖函数极限的定义、性质、运算法则、等价无穷小替换、重要极限公式、洛必达法则及函数连续性等内容，共包含4种题型（单选、多选、判断、简答），难度由基础到综合，适合自测或备考使用

一、单项选择题（共30题，每题1分）（以下每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）当x\to0时，下列函数中是无穷小量的是（）A.x+1B.\frac{1}{x}C.\sin xD.e^x-1函数fx=x^2在x=2处的极限值是（）A.0B.2C.4D.不存在极限\lim_{x\to\infty}\frac{2x+1}{x-3}的值为（）A.0B.1C.2D.不存在已知\lim_{x\to2}fx=3，\lim_{x\to2}gx=5，则\lim_{x\to2}[fx-gx]=（）A.-2B.2C.8D.15当x\to0时，无穷小量\sin2x与x的关系是（）A.等价无穷小B.同阶但不等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小极限\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=（）A.0B.1C.3D.1/3第1页共10页函数fx=\frac{x^2-1}{x-1}在x=1处无定义，则\lim_{x\to1}fx=（）A.0B.1C.2D.不存在极限\lim_{x\to\infty}1+\frac{2}{x}^x=（）A.1B.e C.e²D.e³下列极限中，值为1的是（）A.\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}B.\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}C.\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}D.A、B、C均正确当x\to0时，\ln1+x的等价无穷小是（）A.xB.x^2C.e^x-1D.A和C函数fx=\frac{x^2-4}{x-2}在x=2处的极限值为（）A.0B.2C.4D.不存在极限\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=（）A.0B.1C.2D.1/2若\lim_{x\to a}fx=A，\lim_{x\to a}gx=B，则下列错误的是（）A.\lim_{x\to a}[fx+gx]=A+BB.\lim_{x\toa}[fxgx]=AB C.\lim_{x\to a}\frac{fx}{gx}=\frac{A}{B}（B\neq0）D.\lim_{x\to a}[fx-gx]=A-B当x\to0时，\sqrt{1+x}-1的等价无穷小是（）A.xB.\frac{x}{2}C.x^2D.2x第2页共10页极限\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-2x+1}{2x^2+x-3}=（）A.0B.1C.3/2D.不存在函数fx=\sin\frac{1}{x}在x\to0时的极限（）A.为0B.为1C.不存在D.等于∞极限\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=（）A.0B.1C.不存在D.1/2当x\to0时，下列函数中是无穷大量的是（）A.x^2B.\frac{1}{x}C.\sin xD.\frac{x}{x-1}极限\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=（）A.0B.1C.2D.不存在函数fx=\frac{x^2-1}{x-1}在x=1处的连续性是（）A.连续B.间断（可去间断点）C.间断（跳跃间断点）D.无穷间断点极限\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=（）A.0B.1/2C.1D.2当x\to0时，\arcsin x的等价无穷小是（）A.xB.x^2C.e^x-1D.\ln1+x若\lim_{x\to0}\frac{\sin kx}{x}=2，则常数k=（）A.1B.2C.1/2D.3函数fx=\frac{1}{x-1}在x=1处的极限（）A.为0B.为1C.不存在D.等于∞第3页共10页极限\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=（）A.0B.1C.不存在D.1/2当x\to0时，\ln1-x的等价无穷小是（）A.xB.-xC.x^2D.-x^2极限\lim_{x\to0}1+3x^{\frac{1}{x}}=（）A.1B.e C.e³D.e⁻³函数fx=\begin{cases}x,x\neq1\2,x=1\end{cases}在x=1处的极限值为（）A.1B.2C.0D.不存在极限\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}+1}=（）A.0B.1C.1/2D.2当x\to0时，1-\cos x是x的（）A.等价无穷小B.同阶无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小

二、多项选择题（共20题，每题2分）（以下每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，多选、少选、错选均不得分）下列极限存在的有（）A.\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}B.\lim_{x\to\infty}1+\frac{1}{x}^x C.\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}D.\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x}函数fx在x=a处连续的充要条件有（）A.fx在x=a处有定义B.\lim_{x\to a}fx存在第4页共10页C.\lim_{x\to a}fx=faD.fx在x=a处可导当x\to0时，下列函数中是无穷小量的有（）A.x^2B.\sin xC.\frac{1}{x}D.\ln1+x极限\lim_{x\to\infty}\frac{a_n x^n+\cdots+a_1x+a_0}{b_m x^m+\cdots+b_1x+b_0}的结果可能为（）A.0（当nm时）B.\frac{a_n}{b_m}（当n=m时）C.不存在（当nm时）D.∞（当nm时）下列极限中，值为1的有（）A.\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}B.\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}C.\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}D.\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}函数极限的性质包括（）A.唯一性B.局部有界性C.保号性D.保不等式性下列关于无穷小量的说法正确的有（）A.无穷小量是极限为0的变量B.无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量C.无穷小量的商不一定是无穷小量D.两个无穷小量的和仍是无穷小量当x\to0时，与x等价的无穷小有（）A.\sin xB.\tan xC.\ln1+xD.e^x-1第5页共10页极限\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x}的计算结果及说明正确的有（）A.结果为0B.结果为∞C.需考虑x\to+0和x\to-0的情况D.极限不存在下列函数在x=0处连续的有（）A.fx=x^2B.fx=\frac{\sin x}{x}（补充定义f0=1）C.fx=\ln1+xD.fx=\begin{cases}x,x\neq0\1,x=0\end{cases}极限\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}的计算方法正确的有（）A.直接代入0得0/0型，用洛必达法则B.用泰勒展开式展开\sin x=x-\frac{x^3}{6}+ox^3C.用等价无穷小替换D.结果为-1/6当x\to1时，下列函数中极限存在的有（）A.fx=\frac{x^2-1}{x-1}（补充定义f1=2）B.fx=\frac{|x-1|}{x-1}C.fx=\frac{x^2-1}{x-1}（不补充定义）D.fx=\frac{1}{x-1}函数fx=\frac{x^2-4}{x-2}的间断点及类型正确的有（）A.x=2是可去间断点B.补充定义f2=4后连续C.x=2是无穷间断点D.无间断点下列极限中，可直接使用洛必达法则的有（）第6页共10页A.\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x}B.\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}C.\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}D.\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{\sin x}当x\to\infty时，下列函数中是无穷小量的有（）A.\frac{1}{x}B.\frac{x}{x^2+1}C.\frac{1}{x^2+1}D.\frac{x+1}{x^2-1}函数fx=\frac{x^2-1}{x-1}在x=1处的情况有（）A.无定义B.极限存在C.极限值为2D.函数不连续极限\lim_{x\to0}1+x^{\frac{1}{x}+1}的计算结果及过程正确的有（）A.可拆分为\lim_{x\to0}1+x^{\frac{1}{x}}\cdot\lim_{x\to0}1+xB.结果为e·1=eC.结果为e+1D.直接代入得1¹=1下列关于函数连续性的说法正确的有（）A.连续函数的和差积商（分母不为0）仍连续B.复合函数在连续点处连续C.初等函数在其定义域内连续D.函数在点a处连续则一定在点a处有定义极限\lim_{x\to0}\frac{\ln1+x^2}{\sin x^2}的计算方法正确的有（）A.等价无穷小替换\ln1+x^2\sim x^2，\sin x^2\simx^2，结果为1第7页共10页B.洛必达法则分子分母求导后得\frac{2x/1+x^2}{2x\cosx^2}=\frac{1}{1+x^2\cos x^2}，代入0得1C.结果为0D.结果为∞当x\to0时，下列函数中是等价无穷小的有（）A.\tan x与\sin xB.e^x-1与x C.\arctan x与xD.1-\cos x与x^2

三、判断题（共20题，每题1分）（对的打“√”，错的打“×”）函数fx在x=a处有定义，则\lim_{x\to a}fx一定存在（）无穷小量是绝对值很小的数（）无穷大量与无穷小量的乘积一定是无穷小量（）若\lim_{x\to a}fx=A，\lim_{x\to a}gx=B，则\lim_{x\to a}[fx\cdot gx]=A\cdot B（）当x\to0时，\sin x与x是等价无穷小（）极限\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}不存在（）函数fx=\frac{1}{x}在x=0处的极限是∞（）若\lim_{x\to a}fx=0，则fx是x\to a时的无穷小量（）等价无穷小替换可以在任何情况下用于极限计算（）函数fx=\frac{x^2-4}{x-2}在x=2处可去间断点（）极限\lim_{x\to0}1+x^{\frac{1}{x}}=e，\lim_{x\to0}1+2x^{\frac{1}{x}}=e^2（）函数在某点连续，则该点一定可导（）第8页共10页函数在某点可导，则该点一定连续（）当x\to0时，x是比x^2高阶的无穷小量（）极限\lim_{x\to0}\frac{x^2+x}{x}=\lim_{x\to0}x+1=1，该计算过程正确（）函数fx=\sin x在-\infty,+\infty上连续（）若\lim_{x\to a}fx=A，\lim_{x\to a}gx不存在，则\lim_{x\to a}[fx+gx]一定不存在（）当x\to0时，\sqrt{1+x^2}-1\sim x（）极限\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1是重要极限公式（）函数fx=\frac{|x|}{x}在x=0处的左右极限不相等，极限不存在（）

四、简答题（共2题，每题5分）计算极限\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}讨论函数fx=\begin{cases}x\sin\frac{1}{x},x\neq0\0,x=0\end{cases}在x=0处的连续性参考答案及解析

一、单项选择题（共30题，每题1分）C

2.C

3.C

4.A

5.B

6.C

7.C

8.C

9.D

10.DC

12.B

13.C

14.B

15.C

16.C

17.A

18.B

19.C

20.BB

22.A

23.B

24.D

25.A

26.B

27.C

28.A

29.C

30.B

二、多项选择题（共20题，每题2分）ABC

2.ABC

3.ABD

4.ABD

5.ABC第9页共10页ABCD

7.ABCD

8.ABCD

9.AC

10.ABCABD

12.AC

13.AB

14.AB

15.ABCDABCD

17.AB

18.ABCD

19.AB

20.ABC

三、判断题（共20题，每题1分）×

2.×

3.×

4.√

5.√

6.×

7.√

8.√

9.×

10.√√

12.×

13.√

14.×

15.×

16.√

17.√

18.×

19.√

20.√

四、简答题（共2题，每题5分）【解析】使用洛必达法则（0/0型），分子分母求导得\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}，再用一次洛必达法则得\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}【解析】\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0（无穷小量乘有界函数），且f0=0，故函数在x=0处连续文档说明本试题覆盖函数极限核心考点，答案解析注重基础方法与常见错误提示，适合学生自测或复习使用如需进一步拓展，可结合具体知识点深入练习第10页共10页。