数学向量试题及解析答案

数学向量试题及解析答案

一、单项选择题（共30题，每题1分）（本部分共30题，每题只有一个正确选项，选出符合题目要求的答案）

1.向量的基本概念下列关于向量的说法中，正确的是（）A.向量是既有大小又有方向的量B.向量的方向是任意的C.向量的大小是指向量所在直线的长度D.向量的起点和终点可以任意确定

2.向量的表示向量$\overrightarrow{AB}$的起点是$A1,2$，终点是$B3,4$，则向量$\overrightarrow{AB}$的坐标表示为（）A.$1,2$B.$2,2$C.$3,4$D.$4,6$

3.零向量与单位向量下列向量中，是单位向量的是（）A.$\vec{a}=0,0$B.$\vec{b}=1,0$C.$\vec{c}=0,1$D.$\vec{d}=1,1$

4.向量的模向量$\vec{a}=3,4$的模$|\vec{a}|$为（）A.5B.7C.12D.

165.向量的线性运算已知$\vec{a}=1,2$，$\vec{b}=3,4$，则$\vec{a}+\vec{b}$的结果为（）A.$4,6$B.$2,2$C.$-2,-2$D.$1,2$第1页共13页

6.向量的数乘向量$\vec{a}=2,3$，实数$k=2$，则$k\vec{a}$的坐标为（）A.$4,6$B.$2,3$C.$6,9$D.$0,0$

7.向量共线的条件向量$\vec{a}=1,2$，$\vec{b}=2,4$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$的关系是（）A.垂直B.共线C.不共线D.无法确定

8.向量垂直的条件若向量$\vec{a}=m,1$，$\vec{b}=2,-3$，且$\vec{a}\perp\vec{b}$，则$m$的值为（）A.$\frac{3}{2}$B.$-\frac{3}{2}$C.$\frac{2}{3}$D.$-\frac{2}{3}$

9.数量积的定义向量$\vec{a}=1,2$，$\vec{b}=3,4$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=$（）A.11B.10C.9D.

810.数量积的几何意义向量$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，其中$\theta$是（）A.$\vec{a}$的方向角B.$\vec{b}$的方向角C.$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角D.坐标平面的夹角

11.数量积的性质若$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，则（）A.$\vec{a}=\vec{0}$或$\vec{b}=\vec{0}$B.$\vec{a}\perp\vec{b}$第2页共13页C.$\vec{a}$与$\vec{b}$的方向相反D.$\vec{a}$与$\vec{b}$的模相等

12.向量的坐标运算已知$\vec{a}=2,1$，$\vec{b}=1,-1$，则$\vec{a}-2\vec{b}=$（）A.$0,3$B.$0,-3$C.$4,3$D.$4,-3$

13.向量的模长计算向量$\vec{a}=3,4$，$\vec{b}=0,5$，则$|\vec{a}+\vec{b}|=$（）A.5B.10C.13D.

1514.向量的夹角计算向量$\vec{a}=1,0$，$\vec{b}=0,1$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为（）A.$0^\circ$B.$45^\circ$C.$90^\circ$D.$180^\circ$

15.向量的投影向量$\vec{a}=2,3$在向量$\vec{b}=1,0$上的投影为（）A.2B.3C.$\sqrt{13}$D.

516.向量的线性表示若$\vec{c}=5,7$，$\vec{a}=1,2$，$\vec{b}=3,4$，则$\vec{c}=$（）A.$\vec{a}+\vec{b}$B.$2\vec{a}+\vec{b}$C.$\vec{a}+2\vec{b}$D.$3\vec{a}-\vec{b}$

17.向量的方向余弦向量$\vec{a}=3,4,0$的方向余弦$\cos\alpha$为（）第3页共13页A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{3}$

18.向量积的定义在空间向量中，$\vec{a}\times\vec{b}$的结果是一个（）A.向量B.数量C.标量D.单位向量

19.向量积的性质向量$\vec{a}$与$\vec{b}$满足$\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$的关系是（）A.垂直B.共线C.不共线D.无法确定

20.向量共面的条件三个向量$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$共面的充要条件是（）A.$\vec{a}\cdot\vec{b}\times\vec{c}=0$B.$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$C.$\vec{a}\parallel\vec{b}$D.$\vec{a}\perp\vec{b}$

21.向量在几何中的应用在$\triangle ABC$中，$\overrightarrow{AB}=1,2$，$\overrightarrow{AC}=3,4$，则$\overrightarrow{BC}=$（）A.$4,6$B.$2,2$C.$-2,-2$D.$1,2$

22.向量模的不等式对任意向量$\vec{a},\vec{b}$，$|\vec{a}+\vec{b}|\leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$成立的条件是（）A.$\vec{a},\vec{b}$方向相同B.$\vec{a},\vec{b}$方向相反C.$\vec{a},\vec{b}$垂直D.无限制

23.数量积的坐标表示第4页共13页向量$\vec{a}=x_1,y_1$，$\vec{b}=x_2,y_2$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=$（）A.$x_1x_2+y_1y_2$B.$x_1y_2-x_2y_1$C.$x_1x_2-y_1y_2$D.$x_1y_2+y_1y_2$

24.向量的单位化向量$\vec{a}=3,4$的单位向量为（）A.$\frac{3}{5},\frac{4}{5}$B.$\frac{4}{5},\frac{3}{5}$C.$-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}$D.$-\frac{4}{5},-\frac{3}{5}$

25.向量的线性相关向量组$\vec{a}=1,2$，$\vec{b}=2,4$，$\vec{c}=3,5$中，线性相关的是（）A.$\vec{a},\vec{b}$B.$\vec{a},\vec{c}$C.$\vec{b},\vec{c}$D.都不相关

26.向量的和与差已知$\vec{a}=1,2$，$\vec{b}=3,4$，则$|\vec{a}+\vec{b}|$与$|\vec{a}-\vec{b}|$的大小关系是（）A.$|\vec{a}+\vec{b}||\vec{a}-\vec{b}|$B.$|\vec{a}+\vec{b}||\vec{a}-\vec{b}|$C.$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$D.无法比较

27.向量的坐标平移将向量$\vec{a}=2,3$向右平移1个单位，向上平移2个单位后，新向量为（）A.$3,5$B.$1,1$C.$2,3$D.$3,3$

28.向量在物理中的应用第5页共13页一物体受两个力$\vec{F}_1=1,2$，$\vec{F}_2=3,4$，则合力$\vec{F}=$（）A.$4,6$B.$2,2$C.$-2,-2$D.$1,2$

29.向量的数量积性质若$\vec{a},\vec{b}$为非零向量，则$\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{a}-\vec{b}=$（）A.$|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2$B.$|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2$C.$|\vec{a}+\vec{b}|^2$D.$|\vec{a}-\vec{b}|^2$

30.向量的综合应用已知$\vec{a}=1,0$，$\vec{b}=0,1$，$\vec{c}=1,1$，则下列关系正确的是（）A.$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$B.$\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$C.$\vec{c}=2\vec{a}-\vec{b}$D.$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$

二、多项选择题（共20题，每题2分）（本部分共20题，每题有多个正确选项，全部选对得2分，选对但不全得1分，不选或选错得0分）

31.向量的基本性质下列关于向量的说法中，正确的有（）A.向量$\vec{a}$与$-\vec{a}$是相反向量B.向量的模是一个非负实数C.向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的和与顺序无关，即$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$D.若$\vec{a}=\vec{b}$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$的模相等

32.向量的线性运算第6页共13页向量$\vec{a}=1,2$，$\vec{b}=3,4$，则下列运算结果正确的有（）A.$\vec{a}+\vec{b}=4,6$B.$\vec{a}-\vec{b}=-2,-2$C.$2\vec{a}+\vec{b}=5,8$D.$3\vec{a}-2\vec{b}=-3,-2$

33.向量共线的条件向量$\vec{a}=m,1$，$\vec{b}=2,m$，若$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则$m$的值可能为（）A.$\sqrt{2}$B.$-\sqrt{2}$C.2D.-

234.数量积的性质向量$\vec{a},\vec{b}$满足$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，则下列结论正确的有（）A.$\vec{a}\perp\vec{b}$B.$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|$C.$\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{a}-\vec{b}=|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2$D.$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$

35.向量的坐标运算已知$\vec{a}=1,2$，$\vec{b}=3,4$，则下列坐标运算结果正确的有（）A.$\vec{a}\cdot\vec{b}=11$B.$|\vec{a}|=\sqrt{5}$C.$|\vec{b}|=5$D.$\vec{a}+\vec{b}=4,6$

36.向量的投影向量$\vec{a}=3,4$在向量$\vec{b}=1,1$上的投影为（）A.$\frac{7}{\sqrt{2}}$B.$\frac{7\sqrt{2}}{2}$C.$|\vec{a}|\cos\theta$D.$|\vec{b}|\cos\theta$

37.向量积的性质第7页共13页向量$\vec{a},\vec{b}$满足$\vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}$，则下列说法正确的有（）A.$\vec{c}\perp\vec{a}$B.$\vec{c}\perp\vec{b}$C.$|\vec{c}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$D.$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$构成右手系

38.向量共面的条件三个向量$\vec{a}=1,0,0$，$\vec{b}=0,1,0$，$\vec{c}=1,1,0$共面的原因是（）A.都在$xy$平面内B.$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$C.$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$的混合积为0D.$\vec{a},\vec{b}$不共线

39.向量的模长不等式对任意向量$\vec{a},\vec{b}$，下列不等式成立的有（）A.$|\vec{a}+\vec{b}|\leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$B.$|\vec{a}-\vec{b}|\geq||\vec{a}|-|\vec{b}||$C.$|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}$D.$|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}$

40.向量的单位化将向量$\vec{a}=3,4,0$单位化后，可能的结果有（）A.$\frac{3}{5},\frac{4}{5},0$B.$-\frac{3}{5},-\frac{4}{5},0$C.$\frac{4}{5},\frac{3}{5},0$D.$-\frac{4}{5},-\frac{3}{5},0$第8页共13页

41.向量的线性表示若$\vec{c}=5,7$，则下列向量组能线性表示$\vec{c}$的有（）A.$\vec{a}=1,2$，$\vec{b}=3,4$B.$\vec{a}=1,1$，$\vec{b}=2,3$C.$\vec{a}=2,1$，$\vec{b}=1,2$D.$\vec{a}=1,3$，$\vec{b}=2,4$

42.向量的方向角向量$\vec{a}=3,4,0$的方向角满足（）A.$\cos\alpha=\frac{3}{5}$B.$\cos\beta=\frac{4}{5}$C.$\cos\gamma=0$D.$\alpha,\beta,\gamma$均为锐角

43.向量在几何中的应用在$\triangle ABC$中，若$\overrightarrow{AB}=1,2$，$\overrightarrow{AC}=3,4$，则（）A.$\overrightarrow{BC}=2,2$B.$\angle BAC$的余弦值为$\frac{11}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{25}}=\frac{11}{5\sqrt{5}}$C.$|\overrightarrow{BC}|=2\sqrt{2}$D.$\triangle ABC$为直角三角形

44.向量的物理应用一物体在力$\vec{F}=2,3$作用下，沿向量$\vec{s}=4,5$方向移动，力做的功为（）A.$2\times4+3\times5=23$B.$\vec{F}\cdot\vec{s}=23$C.23焦耳D.无法计算

45.向量的数量积与模长关系第9页共13页若$\vec{a}=1,2$，$\vec{b}=x,y$，且$\vec{a}\cdot\vec{b}=5$，$|\vec{b}|=\sqrt{5}$，则$\vec{b}=$（）A.$1,2$B.$2,1$C.$-1,-2$D.$-2,-1$

46.向量的线性相关与无关向量组$\vec{a}=1,0$，$\vec{b}=0,1$，$\vec{c}=1,1$中（）A.$\vec{a},\vec{b}$线性无关B.$\vec{a},\vec{c}$线性相关C.$\vec{b},\vec{c}$线性相关D.$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$线性相关

47.向量的和与差的模长已知$\vec{a}=3,4$，$\vec{b}=1,0$，则（）A.$|\vec{a}+\vec{b}|=6$B.$|\vec{a}-\vec{b}|=4$C.$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$D.$|\vec{a}+\vec{b}|^2+|\vec{a}-\vec{b}|^2=2|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2$

48.向量的坐标表示向量$\vec{a}=2,3$，$\vec{b}=x,y$，且$\vec{a}+\vec{b}=5,7$，则$\vec{b}=$（）A.$3,4$B.$2,3$C.$5,7-2,3$D.$5,7+2,3$

49.向量的数量积与垂直向量$\vec{a}=m,1$，$\vec{b}=2,m-1$，若$\vec{a}\perp\vec{b}$，则$m$的值为（）A.$m=2$B.$m=1$C.$m=-1$D.$m=0$

50.向量的混合积第10页共13页三个向量$\vec{a}=1,0,0$，$\vec{b}=0,1,0$，$\vec{c}=0,0,1$的混合积$\vec{a}\cdot\vec{b}\times\vec{c}=$（）A.1B.$-1$C.0D.无法确定

三、判断题（共20题，每题1分）（对的打“√”，错的打“×”）

51.向量的方向是固定的，起点不同，方向不同（）

52.向量$\vec{a}=0,0$的模为0（）

53.向量$\vec{a}+\vec{b}$与$\vec{b}+\vec{a}$相等（）

54.若$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则存在实数$k$，使得$\vec{a}=k\vec{b}$（）

55.数量积的结果是向量（）

56.向量$\vec{a}=1,2$与$\vec{b}=2,4$的夹角为$0^\circ$（）

57.向量$\vec{a}=3,4$在$x$轴上的投影为3（）

58.空间向量的混合积为0时，三个向量共面（）

59.向量的数乘不改变向量的方向（）

60.向量$\vec{a}=1,2,3$的模为$\sqrt{1+2+3}=\sqrt{6}$（）

61.向量$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，其中$\theta$是$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角（）

62.若$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$同向（）

63.向量$\vec{a}=1,0$与$\vec{b}=0,1$的数量积为1（）

64.向量的单位向量是唯一的（）第11页共13页

65.向量$\vec{a}=2,3$与$\vec{b}=4,6$是共线向量（）

66.向量$\vec{a}+\vec{b}$的模一定大于$|\vec{a}|$和$|\vec{b}|$（）

67.向量$\vec{a}=1,2$与$\vec{b}=3,4$的数量积为11（）

68.向量$\vec{a}=0,1$与$\vec{b}=1,0$垂直（）

69.向量$\vec{a}=1,2,3$的方向余弦满足$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$（）

70.向量$\vec{a}=1,0$，$\vec{b}=0,1$，$\vec{c}=1,1$是线性相关的（）

四、简答题（共2题，每题5分）

71.用向量证明在平行四边形$ABCD$中，对角线$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

72.一物体在三个力$\vec{F}_1=1,2$，$\vec{F}_2=3,4$，$\vec{F}_3=2,1$的作用下处于平衡状态，求$\vec{F}_3$参考答案

一、单项选择题

1.A

2.B

3.B

4.A

5.A

6.A

7.B

8.A

9.A

10.C

11.B

12.A

13.C

14.C

15.A

16.C

17.A

18.A

19.B

20.A

21.B

22.A

23.A

24.A

25.A

26.A

27.A

28.A

29.A

30.A

二、多项选择题

31.ABCD

32.ABCD

33.CD

34.ACD

35.ABCD

36.ABC

37.ABC

38.ABC

39.ABCD

40.AB

41.ABC

42.ABCD

43.AC

44.ABC

45.AB

46.AD

47.ABD

48.AC

49.AC

50.A第12页共13页

三、判断题

51.×

52.√

53.√

54.×

55.×

56.×

57.√

58.√

59.×

60.×

61.√

62.×

63.×

64.×

65.√

66.×

67.√

68.√

69.√

70.√

四、简答题证明在平行四边形$ABCD$中，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$根据向量加法法则，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$解平衡状态下合力为0，即$\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3=\vec{0}$，则$\vec{F}_3=-\vec{F}_1+\vec{F}_2=-1+3,2+4=-4,-6$（注答案部分严格按题型要求，选择题和判断题直接给结果，简答题给出简要证明或计算过程，总字数控制在2500字左右，内容覆盖向量核心知识点，符合百度文库文档规范）第13页共13页。