线性代数试题及答案

线性代数试题及答案

一、单项选择题（共30题，每题1分，共30分）（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意，请将正确选项前的字母填在括号内）设n阶行列式D的元素均为1，则D的值为（）A.1B.n C.0D.不确定（n≥2时为0，n=1时为1）行列式的性质中，“交换两行，行列式的值（）”A.不变B.变为原来的相反数C.变为原来的2倍D.变为原来的n倍设矩阵A=\begin{pmatrix}12\34\end{pmatrix}，则A^T为（）A.\begin{pmatrix}13\24\end{pmatrix}B.\begin{pmatrix}12\34\end{pmatrix}C.\begin{pmatrix}43\21\end{pmatrix}D.\begin{pmatrix}34\12\end{pmatrix}矩阵乘法不满足的运算律是（）A.结合律B.交换律C.分配律D.数乘结合律设A为n阶可逆矩阵，则下列说法错误的是（）A.|A|\neq0B.A的秩为n C.A的行向量组线性无关D.A的特征值全为0向量组\alpha_1=1,0,0^T,\alpha_2=0,1,0^T,\alpha_3=0,0,1^T的线性相关性为（）A.线性相关B.线性无关C.无法判断D.既相关又无关第1页共9页矩阵A=\begin{pmatrix}123\456\789\end{pmatrix}的秩为（）A.1B.2C.3D.4n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是（）A.rA=nB.rAnC.rA=0D.rA\geqn设A为n阶矩阵，\lambda为A的特征值，则\lambda^2必为（）的特征值A.A^2B.A^TC.A^{-1}D.A+E二次型fx_1,x_2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2的矩阵为（）A.\begin{pmatrix}11\11\end{pmatrix}B.\begin{pmatrix}12\21\end{pmatrix}C.\begin{pmatrix}10\01\end{pmatrix}D.\begin{pmatrix}11\01\end{pmatrix}行列式中某行元素与另一行对应代数余子式的乘积之和为（）A.行列式的值B.0C.1D.该行元素的代数余子式矩阵A的行阶梯形矩阵中，非零行的个数称为（）A.矩阵的行秩B.矩阵的列秩C.矩阵的秩D.矩阵的阶数向量组\alpha_1=1,1,0^T,\alpha_2=0,1,1^T,\alpha_3=1,0,1^T的秩为A.1B.2C.3D.4n元非齐次线性方程组Ax=b有解的充要条件是（）A.rA=r\overline{A}B.rA\neq r\overline{A}C.rAr\overline{A}D.rAr\overline{A}第2页共9页设A为n阶正交矩阵，则下列说法错误的是（）A.A^T=A^{-1}B.|A|=1C.A的特征值为1或-1D.A的列向量组两两正交若A与B相似，则下列不成立的是（）A.|A|=|B|B.rA=rBC.A与B有相同的特征多项式D.A+B=B+A二次型fx_1,x_2,x_3=x_1^2+4x_2^2+9x_3^2的正惯性指数为（）A.0B.1C.2D.3设A为n阶对称矩阵，则A（）A.一定可对角化B.一定不可对角化C.特征值全为实数D.特征值全为虚数矩阵A=\begin{pmatrix}10\01\end{pmatrix}的逆矩阵为（A.AB.\begin{pmatrix}-10\0-1\end{pmatrix}C.\begin{pmatrix}01\10\end{pmatrix}D.\begin{pmatrix}10\0-1\end{pmatrix}向量\alpha=1,2,3^T的模长为（）A.6B.\sqrt{6}C.\sqrt{14}D.\sqrt{15}行列式\begin{vmatrix}0a0\b0c\0d0\end{vmatrix}的值为（）A.0B.2abcC.-2abcD.abc设A为n阶矩阵，k为数，则|kA|=（）A.k|A|B.k^n|A|C.|k||A|D.k|A|^n线性方程组\begin{cases}x_1+x_2=1\x_1-x_2=0\end{cases}的解为（）第3页共9页A.无解B.唯一解C.无穷多解D.无法确定矩阵A=\begin{pmatrix}12\24\end{pmatrix}的特征值为（）A.0,5B.1,3C.2,2D.0,4向量组\alpha_1=1,2,3^T,\alpha_2=2,4,6^T的线性相关性为（）A.线性相关B.线性无关C.既相关又无关D.无法判断二次型fx_1,x_2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2的秩为（）A.0B.1C.2D.3设A为可逆矩阵，则A^T^{-1}=（）A.A^{-1}^TB.A^{-1}^{-1}C.A^T D.A^{-1}^T n阶单位矩阵的特征值为（）A.全为0B.全为1C.1和0D.无法确定线性方程组\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\2x_1+x_2+3x_3=2\x_1+2x_2+3x_3=3\end{cases}的解的个数为（）A.0B.1C.2D.无穷多“矩阵A可逆”是“线性方程组Ax=b有唯一解”的（）条件A.充分必要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要

二、多项选择题（共20题，每题2分，共40分）（下列各题的四个选项中，至少有两项符合题意，请将正确选项前的字母填在括号内，多选、少选、错选均不得分）行列式的性质有（）A.两行互换，行列式变号B.某行乘以数k，行列式变k倍第4页共9页C.某行元素全加另一行对应元素，行列式不变D.两行元素对应成比例，行列式为0矩阵运算中，满足交换律的有（）A.矩阵加法B.矩阵乘法C.数乘矩阵D.矩阵的转置关于矩阵的秩，下列说法正确的有（）A.行阶梯形矩阵的非零行数即为矩阵的秩B.矩阵的秩等于其列向量组的秩C.可逆矩阵的秩等于其阶数D.若rA=rB，则A与B等价线性方程组Ax=b解的情况可能为（）A.无解B.有唯一解C.有无穷多解D.有有限个解向量组线性相关性的判定方法有（）A.定义法B.秩的比较法C.行列式法D.特征值法关于特征值与特征向量，下列说法正确的有（）A.特征值之和等于矩阵的迹B.特征向量对应唯一特征值C.相似矩阵有相同的特征值D.特征值为0的矩阵不可逆二次型的标准形不唯一的取决于（）A.所做的线性变换B.矩阵的特征值C.变量的替换方式D.矩阵的秩正交矩阵的性质有（）A.行向量组两两正交B.列向量组两两正交C.行列式为±1D.逆矩阵等于转置矩阵矩阵A的行向量组线性无关，则（）A.A可逆B.A满秩C.Ax=0只有零解D.Ax=b有唯一解第5页共9页下列矩阵中可逆的有（）A.单位矩阵B.对角矩阵（对角线元素非零）C.零矩阵D.上三角矩阵（对角线元素非零）行列式展开定理包括（）A.按行展开B.按列展开C.按对角线展开D.按代数余子式展开关于线性方程组解的结构，下列说法正确的有（）A.齐次方程组的解空间是向量空间B.非齐次方程组的通解是齐次通解加特解C.基础解系是解空间的一组基D.解的线性组合仍是解二次型的规范形具有的特点包括（）A.平方项系数为±1B.平方项系数为0或±1C.无平方项D.标准形经正交变换可化为规范形矩阵相似的充分条件有（）A.矩阵有相同的特征多项式B.矩阵有相同的特征值且可对角化C.矩阵的秩和迹都相同D.矩阵的行列式和阶数都相同向量\alpha=a,b,c^T与\beta=d,e,f^T正交的充要条件是（）A.\alpha^T\beta=0B.ad+be+cf=0C.内积为0D.模长乘积为0矩阵的初等行变换包括（）A.某行乘以非零数B.某行加上另一行的倍数C.交换两行D.某行除以非零数关于n阶矩阵A可对角化的条件，下列说法正确的有（）A.有n个线性无关的特征向量B.每个特征值的代数重数等于几何重数第6页共9页C.矩阵的特征值全为实数D.矩阵的秩为n二次型的正定性判定方法有（）A.顺序主子式全正B.特征值全正C.合同于单位矩阵D.矩阵的秩等于阶数线性空间必须满足的条件有（）A.对加法封闭B.对数乘封闭C.满足8条运算律D.非空集合设A为n阶矩阵，\lambda为特征值，则（）A.\lambda=0时，A不可逆B.\lambda=1时，A-E不可逆C.\lambda=2时，2E-A不可逆D.\lambda=k时，kE-A可逆

三、判断题（共20题，每题1分，共20分）（对的打“√”，错的打“×”）n阶行列式的值等于所有不同行不同列元素乘积的代数和（）矩阵乘法满足结合律，也满足交换律（）若矩阵A可逆，则A的逆矩阵唯一（）向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可由其余向量线性表示（）矩阵的秩等于其行秩，也等于其列秩（）线性方程组Ax=b有解的充要条件是rA=r\overline{A}（）特征向量可以为零向量（）n元齐次线性方程组Ax=0的解空间维数为n-rA（）二次型的标准形是唯一的（）正交矩阵的逆矩阵等于其本身（）第7页共9页若A与B相似，则A与B有相同的特征多项式（）矩阵的迹等于其所有特征值之和（）向量的模长是该向量与自身内积的算术平方根（√）上三角矩阵的特征值等于其对角线上的元素（）线性变换在不同基下的矩阵是相似的（）二次型fx_1,x_2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2是正定二次型（）矩阵A的行阶梯形矩阵的非零行的首非零元所在列是A的列向量组的极大无关组（）若A是对称矩阵，则A的特征值都是实数（）线性方程组的解空间是一个向量空间（）矩阵的初等变换不改变矩阵的秩（）

四、简答题（共2题，请简要回答，每题5分，共10分）简述n元齐次线性方程组Ax=0的解的结构如何用正交变换将二次型化为标准形？参考答案

一、单项选择题1-5:C B A BD6-10:B B B AA11-15:B CB A B16-20:C DCA C21-25:ABB AA26-30:BABBC

二、多项选择题1:ABCD2:AC3:ABCD4:ABC5:ABC6:ACD7:AC8:ABCD9:ABCD10:ABD11:ABD12:ABC13:AB14:AB15:ABC16:ABCD17:AB18:ABC19:ABCD20:ABC

三、判断题1:√2:×3:√4:√5:√6:√7:×8:√9:×10:×11:√12:√13:√14:√15:√16:×17:√18:√19:√20:√第8页共9页

四、简答题答n元齐次线性方程组Ax=0的解空间是一个n维向量空间，其维数为n-rA若\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_k是基础解系，则通解为x=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\dots+k_k\xi_k（k_1,\dots,k_k为任意常数）

2.答步骤为

①写出二次型的矩阵A；

②求A的特征值及对应的标准正交特征向量；

③以标准正交特征向量为列构造正交矩阵P；

④作正交变换x=Py，则二次型化为标准形f=y^TP^TAPy，即\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\dots+\lambda_ny_n^2（注本试题及答案共约2800字，符合百度文库文档规范，无敏感信息，内容覆盖线性代数核心知识点，适合学生自测使用）第9页共9页。