大数试题及答案

大数试题及答案大数（概率统计-大数定律）试题及答案

一、单项选择题（共30题，每题1分）（每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在括号内）

1.大数定律的核心思想是（）A.大量随机现象的平均结果具有稳定性B.随机事件的概率一定等于其频率C.小样本的结果比大样本更可靠D.概率与频率无关

2.切比雪夫大数定律要求随机变量序列满足的条件是（）A.期望存在且方差有界B.期望和方差都不存在C.期望存在，方差无界D.方差存在，期望无界

3.伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的（）A.特殊情况（独立同分布）B.逆命题C.完全不同的定律D.无关联

4.辛钦大数定律与切比雪夫大数定律的主要区别在于（）A.不要求方差存在B.不要求期望存在C.要求随机变量同分布D.要求随机变量独立第1页共15页

5.若随机变量序列X_1,X_2,\dots,X_n独立同分布，且存在有限期望EX_i=\mu，则根据辛钦大数定律，\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i依概率收敛到（）A.0B.1C.\muD.无法确定

6.大数定律中“依概率收敛”的含义是（）A.当n\to\infty时，\left|\frac{1}{n}\sum X_i-\mu\right|\epsilon恒成立B.当n\to\infty时，\left|\frac{1}{n}\sum X_i-\mu\right|\epsilon的概率趋于1C.当n\to\infty时，\frac{1}{n}\sum X_i=\muD.对任意\epsilon0，\lim_{n\to\infty}P\left\left|\frac{1}{n}\sum X_i-\mu\right|\epsilon\right=

17.下列选项中，不属于大数定律应用场景的是（）A.频率估计概率B.统计推断中的参数估计C.随机数生成D.确定性问题的精确计算

8.设X_1,X_2,\dots,X_n是独立同分布的随机变量，EX_i=0，DX_i=\sigma^2，则根据切比雪夫不等式，对任意\epsilon0，有P\left\left|\frac{1}{n}\sumX_i\right|\epsilon\right\leq（）第2页共15页A.\frac{\sigma^2}{n\epsilon^2}B.\frac{n\sigma^2}{\epsilon^2}C.\frac{\sigma^2}{\epsilon^2}D.\frac{n\sigma^2}{\epsilon}

9.伯努利试验中，若成功概率为p，n次试验中成功次数为X，则根据伯努利大数定律，\frac{X}{n}依概率收敛到（）A.0B.pC.1D.\frac{1}{2}

10.大数定律与中心极限定理的主要区别是（）A.前者研究随机变量序列的平均收敛性，后者研究和的分布近似B.前者研究分布的近似，后者研究平均收敛性C.两者没有本质区别D.前者适用于离散变量，后者适用于连续变量

11.切比雪夫大数定律的条件不包括（）A.随机变量独立B.随机变量同分布C.方差有界D.期望存在

12.设X_1,X_2,\dots,X_n是独立同分布的随机变量，EX_i=\mu，DX_i=\sigma^2，则根据切比雪夫大数定律，\frac{1}{n}\sum X_i依概率收敛到（）A.\muB.\sigma^2第3页共15页C.\frac{\mu}{n}D.\frac{\sigma^2}{n}

13.下列关于大数定律的描述，正确的是（）A.大数定律说明大量随机事件的结果必然相同B.大数定律是中心极限定理的特例C.大数定律揭示了频率稳定性的数学本质D.大数定律仅适用于离散型随机变量

14.辛钦大数定律的关键条件是（）A.随机变量独立同分布且方差存在B.随机变量独立同分布且期望存在C.随机变量独立且期望存在D.随机变量独立且方差存在

15.若要利用频率估计概率，最相关的大数定律是（）A.切比雪夫大数定律B.伯努利大数定律C.辛钦大数定律D.贝叶斯大数定律

16.伯努利大数定律的证明中，主要依赖的不等式是（）A.柯西不等式B.拉普拉斯不等式C.切比雪夫不等式D.三角不等式

17.设X_1,X_2,\dots,X_n是独立同分布的随机变量，且EX_i=1，DX_i=2，则根据切比雪夫不等式，P|X_1+X_2+\dots+X_n-n|2\sqrt{n}\leq（）第4页共15页A.\frac{2}{n}B.\frac{1}{n}C.\frac{2}{n^2}D.\frac{1}{n^2}

18.大数定律中，“依概率收敛”与“几乎必然收敛”的关系是（）A.依概率收敛必几乎必然收敛B.几乎必然收敛必依概率收敛C.两者等价D.两者无关系

19.若随机变量序列X_n依概率收敛到常数a，则（）A.X_n一定收敛到aB.X_n的子列一定收敛到aC.X_n的分布函数在a处连续D.X_n的数学期望一定存在

20.设X_1,X_2,\dots,X_n是独立同分布的随机变量，且存在有限期望\mu，则\frac{1}{n}\sum X_i依概率收敛到\mu的定律是（）A.切比雪夫大数定律B.伯努利大数定律C.辛钦大数定律D.泊松大数定律

21.切比雪夫大数定律不要求随机变量（）A.同分布B.独立C.方差有限第5页共15页D.期望有限

22.设X_1,X_2,\dots,X_n是独立同分布的随机变量，EX_i=\mu，DX_i=\sigma^2，则当n\to\infty时，\frac{1}{n}\sum X_i的分布近似服从（）A.N0,\sigma^2B.N\mu,\frac{\sigma^2}{n}C.N\mu,\sigma^2D.无法确定

23.伯努利大数定律中，n次试验的成功概率p是（）A.随n变化的随机变量B.固定的常数C.随试验次数减少的常数D.无法确定

24.若X_1,X_2,\dots,X_n不独立，下列定律中可能不成立的是（）A.切比雪夫大数定律B.伯努利大数定律C.辛钦大数定律D.以上都可能不成立

25.辛钦大数定律的适用范围比切比雪夫大数定律（）A.更窄B.更广C.相同D.不确定第6页共15页

26.设X_1,X_2,\dots,X_n是独立同分布的随机变量，EX_i=\mu，DX_i=\sigma^2，则根据切比雪夫大数定律，对任意\epsilon0，\lim_{n\to\infty}P\left\left|\frac{1}{n}\sum X_i-\mu\right|\epsilon\right=（）A.0B.1C.\frac{1}{2}D.\frac{1}{n}

27.大数定律的“大数”指的是（）A.很大的数字B.大量的随机变量C.很大的概率D.很大的方差

28.下列关于大数定律的说法，正确的是（）A.大数定律仅适用于连续型随机变量B.大数定律说明小样本的结果更可靠C.大数定律是统计推断的理论基础之一D.大数定律与中心极限定理完全对立

29.设X_1,X_2,\dots,X_n是独立同分布的随机变量，EX_i=0，DX_i=1，则根据切比雪夫不等式，P|X_1+\dots+X_n|n\epsilon\leq（）A.\frac{1}{n\epsilon^2}B.\frac{n}{n\epsilon^2}=\frac{1}{\epsilon^2}C.\frac{1}{n\epsilon}第7页共15页D.\frac{1}{\epsilon}

30.伯努利大数定律中，“频率收敛于概率”的含义是（）A.频率等于概率B.频率与概率的偏差随n增大而增大C.频率与概率的偏差以概率1趋于0D.频率永远不等于概率

二、多项选择题（共20题，每题2分）（每题有多个正确答案，将正确答案的序号填在括号内，多选、少选、错选均不得分）

1.大数定律的主要作用包括（）A.解释频率稳定性B.为参数估计提供理论依据C.证明随机变量和的分布近似正态D.说明小样本的可靠性

2.切比雪夫大数定律的条件包括（）A.随机变量序列独立B.随机变量序列同分布C.存在常数C，使得DX_i\leq C对所有i成立D.期望EX_i存在

3.伯努利大数定律的特点有（）A.适用于独立重复试验B.要求成功概率p固定C.说明频率依概率收敛于概率D.不要求同分布

4.辛钦大数定律的条件与切比雪夫大数定律相比，减少了（）第8页共15页A.独立条件B.同分布条件C.方差有界条件D.期望存在条件

5.依概率收敛的性质包括（）A.若X_n\to a（依概率），则gX_n\to ga（依概率），其中g连续B.若X_n\to a（依概率），Y_n\to b（依概率），则X_n+Y_n\to a+b（依概率）C.若X_n\to a（依概率），Y_n\to b（依概率），则X_nY_n\toab（依概率）D.依概率收敛与随机变量的具体分布无关

6.大数定律与中心极限定理的区别在于（）A.前者研究平均的收敛性，后者研究和的分布近似B.前者不要求方差存在，后者要求方差存在C.前者适用于独立同分布变量，后者适用于独立变量D.前者是概率收敛，后者是分布收敛

7.设X_1,X_2,\dots,X_n是独立同分布的随机变量，EX_i=\mu，DX_i=\sigma^2，则根据大数定律，下列结论正确的有（）A.\frac{1}{n}\sum X_i依概率收敛到\muB.\frac{1}{n}\sum X_i的分布近似正态分布C.\frac{1}{n}\sum X_i的方差趋于0D.\frac{1}{n}\sum X_i的数学期望趋于\mu

8.伯努利试验中，关于频率与概率的关系，下列说法正确的有（）第9页共15页A.频率是随机变量B.概率是固定常数C.频率依概率收敛于概率D.概率依概率收敛于频率

9.切比雪夫不等式与大数定律的关系是（）A.切比雪夫不等式是证明大数定律的工具B.大数定律是切比雪夫不等式的极限形式C.两者都描述随机变量的偏差概率D.切比雪夫不等式给出偏差的上界，大数定律说明偏差趋于

010.辛钦大数定律适用于（）A.独立同分布随机变量B.非独立同分布随机变量C.存在有限期望的随机变量D.存在有限方差的随机变量

11.大数定律中，“平均结果的稳定性”体现在（）A.样本均值与总体期望的偏差随样本量增大而减小B.样本均值的分布集中在总体期望附近C.样本均值几乎必然等于总体期望D.样本均值的概率分布收敛到总体期望

12.下列关于大数定律的说法，错误的有（）A.大数定律说明“平均法则”在小样本中不成立B.大数定律仅适用于连续型随机变量C.伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例D.大数定律证明了“小概率事件在大量试验中几乎必然发生”第10页共15页

13.设X_1,X_2,\dots,X_n是独立同分布的随机变量，EX_i=\mu，则根据大数定律，当n\to\infty时，\frac{1}{n}\sum X_i的性质有（）A.依概率收敛到\muB.依分布收敛到N\mu,\frac{\sigma^2}{n}C.几乎必然收敛到\mu（当满足一定条件时）D.方差趋于

014.泊松大数定律与伯努利大数定律的区别在于（）A.泊松定律允许不同的成功概率B.泊松定律要求独立同分布C.泊松定律适用于非伯努利试验D.泊松定律要求同分布

15.大数定律在实际应用中的例子有（）A.用频率估计产品合格率B.用样本均值估计总体均值C.计算正态分布的概率D.风险评估中的风险值计算

16.切比雪夫大数定律不要求随机变量（）A.独立B.同分布C.期望存在D.方差有限

17.若X_n依概率收敛到a，则（）A.对任意\epsilon0，P|X_n-a|\epsilon\to0B.对任意\epsilon0，P|X_n-a|\leq\epsilon\to1第11页共15页C.X_n的分布函数弱收敛到退化分布\delta_aD.X_n一定收敛到a

18.关于大数定律的条件，下列说法正确的有（）A.独立性是大数定律的必要条件B.同分布不是所有大数定律的必要条件C.方差有界是切比雪夫定律的条件之一D.期望存在是辛钦定律的条件之一

19.辛钦大数定律与伯努利大数定律的共同点是（）A.适用于独立随机变量B.要求期望存在C.说明平均收敛到期望D.要求同分布

20.下列关于依概率收敛和几乎必然收敛的比较，正确的有（）A.几乎必然收敛比依概率收敛更强B.依概率收敛比几乎必然收敛更强C.几乎必然收敛时，依概率收敛一定成立D.依概率收敛时，几乎必然收敛一定成立

三、判断题（共20题，每题1分）（对的打“√”，错的打“×”）

1.大数定律说明，随着样本量增大，样本均值会越来越接近总体均值（）

2.伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况，当辛钦定律的同分布条件取伯努利分布时成立（）

3.切比雪夫大数定律要求随机变量的方差存在且有界（）

4.辛钦大数定律不需要方差存在，只需期望存在（）第12页共15页

5.依概率收敛意味着当n充分大时，X_n几乎一定等于a（）

6.大数定律与中心极限定理都能说明“大量随机变量的和的分布近似正态”（）

7.伯努利大数定律中，成功概率p必须已知（）

8.若随机变量序列X_n依概率收敛到a，则其数学期望EX_n一定收敛到Ea（）

9.大数定律证明了“小样本的统计结果比大样本更可靠”（）

10.切比雪夫大数定律要求随机变量独立且同分布（）

11.辛钦大数定律适用于独立同分布且存在有限期望的随机变量序列（）

12.大数定律中的“大数”指的是“大的样本量”（）

13.伯努利大数定律是泊松大数定律的特例，当泊松定律的参数都相等时成立（）

14.若随机变量X_n依概率收敛到a，则X_n的子列也依概率收敛到a（）

15.切比雪夫不等式给出了随机变量偏离期望的概率上界，而大数定律说明这个上界会随样本量增大趋于0（）

16.辛钦大数定律和切比雪夫大数定律都不要求随机变量同分布（）

17.大数定律中的“依概率收敛”比“几乎必然收敛”更严格（）

18.用频率估计概率的理论基础是伯努利大数定律（当成功概率固定时）（）

19.泊松大数定律允许不同的随机变量具有不同的概率分布（）

20.若随机变量序列X_n的数学期望存在且EX_n\to\mu，则X_n依概率收敛到\mu（×）第13页共15页

四、简答题（共2题，每题5分）（答案不超过150字，简要回答核心内容）

1.简述伯努利大数定律的内容及应用

2.比较切比雪夫大数定律与辛钦大数定律的条件和结论参考答案

一、单项选择题

1.A

2.A

3.A

4.A

5.C

6.D

7.D

8.A

9.B

10.A

11.A

12.A

13.C

14.A

15.B

16.C

17.A

18.B

19.B

20.C

21.A

22.B

23.B

24.D

25.A

26.B

27.B

28.C

29.B

30.CB、多项选择题

1.AB

2.ACD

3.ABC

4.C

5.ABC

6.AD

7.AC

8.ABC

9.AD

10.AC

11.AB

12.BC

13.ACD

14.AC

15.ABD

16.B

17.ABC

18.BCD

19.ABC

20.ACC、判断题1√2√3√4√5×6×7×8√9×10×11√12√13×14√15√16×17×18√19√20×D、简答题伯努利大数定律在独立重复试验中，若每次试验成功概率为p，n次试验中成功次数为X，则\frac{X}{n}依概率收敛到p（n\to\infty）应用用频率估计概率（如产品合格率估计），是统计推断和参数估计的基础切比雪夫大数定律要求随机变量独立、方差有界、期望存在，结论是\frac{1}{n}\sum X_i依概率收敛到\frac{1}{n}\sum EX_i第14页共15页辛钦大数定律仅要求独立同分布、期望存在，结论是\frac{1}{n}\sum X_i依概率收敛到EX_i共同点均说明平均依概率收敛；区别切比雪夫要求方差有界，辛钦要求同分布第15页共15页。