极限的试题及答案

极限的试题及答案

一、单项选择题（共30题，每题1分）（以下每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在括号内）函数极限定义中，“ε-δ语言”的核心逻辑是（）A.对任意大的ε，存在δ，使fx与A的距离小于εB.对任意小的ε，存在δ，当|x-x₀|δ时，|fx-A|εC.对任意δ0，存在ε0，使|x-x₀|δ时，|fx-A|εD.存在ε0，对任意δ0，当|x-x₀|δ时，|fx-A|ε下列极限中存在的是（）A.limx→∞sinx B.limx→01/x C.limx→01+1/x D.limx→1x²-1/x-1若limx→x₀fx=A，则必有（）A.fx₀=A B.fx在x₀处有定义C.fx在x₀附近有界D.A为常数计算limx→0sinx/x=（）A.0B.1C.∞D.不存在极限limx→∞3x²-2x+1/2x²+x-3=（）A.0B.3/2C.1D.∞当x→0时，与x等价的无穷小量是（）A.sinx B.x²C.eˣ-1D.ln1+x极限limn→∞[1+-1ⁿ]/n=（）A.0B.1C.-1D.不存在函数fx=x/|x|在x=0处的左极限是（）A.1B.-1C.0D.不存在若limx→1x²+ax+b/x-1=2，则a+b=（）第1页共8页A.-1B.1C.-2D.2极限limx→01-cosx/x²=（）A.0B.1/2C.1D.2下列极限中，可用洛必达法则求解的是（）A.limx→0xsin1/x B.limx→∞x+sinx/xC.limx→0x²sin1/x/sinx D.limx→0eˣ-1/x数列极限limn→∞1+1/2+1/4+…+1/2ⁿ=（）A.0B.1C.2D.不存在当x→0时，无穷小量αx=x²，βx=x³，γx=sinx中阶数最高的是（）A.αx B.βx C.γx D.无法比较极限limx→01/x-1/|x|=（）A.0B.1C.-1D.不存在若limx→a fx=∞，limx→a gx=∞，则limx→a[fx-gx]=（）A.0B.∞C.可能为常数或∞D.不存在函数fx=x²-1在x=1处的右极限是（）A.0B.1C.2D.不存在极限limx→∞1-2/xˣ=（）A.1B.e C.e⁻²D.e²若limx→∞x²+ax+b/x+1=2，则a+b=（）A.-2B.2C.-1D.1当x→0时，下列无穷小量中与x³等价的是（）A.x²B.sinx³C.tanx D.1-cosx极限limx→0eˣ-1-x/x²=（）第2页共8页A.0B.1/2C.1D.2数列{xₙ}满足x₁=1，xₙ₊₁=√2+xₙ，则limn→∞xₙ=（）A.1B.√2C.2D.不存在函数fx=x²-4x+3在x=2处的极限是（）A.-1B.1C.0D.不存在极限limx→01+kx^1/x=e²（k为常数），则k=（）A.1/2B.1C.2D.4若limx→1x²+ax+b/x-1=3，则a+b=（）A.-2B.2C.-1D.1当x→0时，无穷小量αx=x+sinx，βx=x²，γx=ln1+x²中，等价于x的是（）A.αx B.βx C.γx D.均不等价极限limx→∞x+1x+2x+3/3x+1²=（）A.0B.1/3C.1/9D.∞函数fx=|x|在x=0处的导数（）A.0B.1C.-1D.不存在极限limx→01/xln1+x=（）A.0B.1C.∞D.不存在若limx→∞x²+ax+b/x-1=∞，则（）A.a=1，b=1B.a≠1C.a=1，b为任意常数D.a=0数列{xₙ}单调递增且有上界，则limn→∞xₙ=（）A.0B.最大值C.不存在D.等于前n项和

二、多项选择题（共20题，每题2分）（以下每题至少有两个正确答案，将正确答案的序号填在括号内）下列关于函数极限的说法正确的有（）第3页共8页A.函数在x₀处有定义时，极限值可能等于函数值B.函数在x₀处无定义时，极限也可能存在C.左极限存在且等于右极限时，函数在x₀处的极限存在D.极限存在时，函数在x₀附近一定有界当x→0时，与x等价的无穷小量有（）A.tanx B.ln1+2x C.eˣ-1D.1-cosx下列极限计算正确的有（）A.limx→0sinx/x=1B.limx→∞1+1/xˣ=eC.limx→01-cosx/x=0D.limx→0eˣ-1/x=1数列极限存在的充分条件有（）A.单调递增且有上界B.单调递减且有下界C.有界且单调D.收敛于一个常数下列关于无穷小量的说法正确的有（）A.无穷小量是比任何正数都小的量B.无穷小量的商不一定是无穷小量C.无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量D.无穷小量的和仍是无穷小量下列极限中，属于未定式的有（）A.0/0型B.∞/∞型C.1^∞型D.∞-∞型当x→∞时，下列函数中为无穷大量的有（）A.x²B.1/x C.eˣD.ln|x|极限limx→0fx存在的条件有（）A.左极限存在B.右极限存在C.左极限等于右极限D.函数值存在下列计算正确的有（）第4页共8页A.limx→01/xsin1/x=1B.limx→0xsin1/x=0C.limx→∞x+1/x-1=1D.limx→01-cosx/x²=1/2当x→0时，无穷小量αx=x³，βx=x²，γx=x中，高阶无穷小的有（）A.αx相对于βx B.βx相对于γxC.αx相对于γx D.γx相对于βx下列函数在x=0处连续的有（）A.fx=x²B.fx=|x|C.fx=sinx D.fx=1/x使用洛必达法则的注意事项有（）A.必须是0/0型或∞/∞型未定式B.分子分母的导数之比的极限必须存在或为∞C.每次使用前需验证是否为未定式D.可重复使用极限limn→∞1+1/2+1/4+…+1/2ⁿ=2的原因有（）A.数列单调递增B.数列有上界2C.前n项和为2-1/2ⁿD.当n→∞时，1/2ⁿ→0下列关于函数间断点的说法正确的有（）A.无定义的点一定是间断点B.极限不存在的点一定是间断点C.有定义但极限不等于函数值时是间断点D.跳跃间断点的左右极限存在但不相等极限limx→0fx存在且fx在x=0处连续，则f0等于（）A.limx→0fx B.f0的定义值C.函数在x=0处的极限值D.任意值当x→0时，下列函数中极限为1的有（）A.sinx/x B.tanx/x C.1-cosx/x²D.eˣ-1/x数列{xₙ}的极限为A，则对任意ε0，下列说法正确的有（）第5页共8页A.存在N，当nN时，|xₙ-A|εB.只有有限项xₙ满足|xₙ-A|≥εC.有无穷多项xₙ满足|xₙ-A|εD.所有项xₙ都满足|xₙ-A|ε下列函数中，在x=∞处的极限存在的有（）A.fx=1/x B.fx=sinx C.fx=eˣD.fx=arctanx极限limx→01+x^1/x=e的应用条件有（）A.x→0B.指数部分为1/x C.底数为1+x D.当x→0时，1+x→1若limx→a fx=A，limx→a gx=∞，则limx→a[fx+gx]=∞的条件有（）A.A≠0B.A=0C.A为有限数D.A为无穷大

三、判断题（共20题，每题1分）（对的打“√”，错的打“×”）函数在x₀处有极限，则在x₀处一定连续（）当x→0时，x与sinx是等价无穷小量（）极限limx→∞1+2/xˣ=e²（）数列{xₙ}单调递增且无界，则limn→∞xₙ=∞（）无穷小量与无穷大量互为倒数（在x≠0时）（）函数fx=x/|x|在x=0处的左极限是-1（）洛必达法则适用于所有未定式（）极限limx→01/xsin1/x存在且等于1（）当x→0时，x²是比x高阶的无穷小量（）函数fx=1/x-1在x=1处的极限是∞（）第6页共8页若limx→a fx=A，limx→a gx=B，则limx→a[fxgx]=AB（）当x→0时，ln1+x与x是等价无穷小量（）数列{xₙ}收敛，则{xₙ}一定有界（）极限limx→0eˣ-1-x/x²=1/2（）函数fx=|x|在x=0处可导（）无穷小量一定是很小的数（）极限limx→1x²-1/x-1=2（）当x→∞时fx=x²+1是无穷大量（）函数fx=sin1/x在x=0处的极限不存在（）若limx→a fx存在，limx→a gx不存在，则limx→a[fx+gx]不存在（）

四、简答题（共2题，每题5分）简述“夹逼准则”的内容，并说明其主要应用场景计算极限limn→∞[1/1×2+1/2×3+…+1/nn+1]的值，并说明计算过程中使用的方法附标准答案

一、单项选择题B

2.D

3.D

4.BB

6.D

7.A

8.BA

10.B

11.D

12.CB

14.D

15.C

16.AC

18.A

19.B

20.BC

22.A

23.C

24.AA

26.B

27.D

28.B第7页共8页B

30.B

二、多项选择题ABCD

2.AC

3.ABD

4.ABCBC

6.ABCD

7.AC

8.ABCBC

10.ABC

11.ABC

12.ABCDABCD

14.ABCD第8页共8页。