极限考试题及答案

极限考试题及答案

一、引言为帮助备考者系统掌握极限相关知识点，提升解题能力，本文整理了涵盖基础概念、计算方法及应用的经典题型，共分为单项选择、多项选择、判断及简答题四类，附详细答案题目覆盖极限定义、性质、计算技巧及实际应用，适合学生复习或备考练习使用

二、单项选择题（共30题，每题1分）函数fx=\frac{x^2-1}{x-1}在x=1处的极限值为（）A.2B.1C.0D.不存在极限\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}的值为（）A.0B.1C.3D.不存在当x\to0时，与\tan x等价的无穷小量是（）A.xB.\sin xC.1-\cos xD.\ln1+x极限\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{2}{x}\right^x的值为（）A.eB.e^2C.e^{1/2}D.1函数fx=\frac{1}{x^2-4}的间断点类型为（）A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点极限\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}的值为（）A.0B.1C.2D.不存在当x\to0^+时，无穷小量x、\sqrt{x}、\sin x中阶数最高的是（）A.xB.\sqrt{x}C.\sin xD.阶数相同极限\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}的值为（）A.0B.2C.4D.不存在第1页共10页函数fx=\begin{cases}x+1,x0\x-1,x\geq0\end{cases}在x=0处的左极限为（）A.0B.1C.-1D.2极限\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-2x+1}{2x^2+x-3}的值为（）A.0B.1C.\frac{3}{2}D.不存在当x\to0时，\sqrt{1+x}-1与x的关系是（）A.等价无穷小B.同阶无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小极限\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}的值为（）A.0B.\frac{1}{2}C.1D.2函数fx=\frac{\ln1+x}{x}在x=0处无定义，补充定义f0=（）时，函数在x=0处连续A.0B.1C.\frac{1}{2}D.2极限\lim_{n\to\infty}\left1+\frac{1}{n+1}\right^n的值为（）A.eB.e^2C.e^{1/2}D.1当x\to0时，\sin x与x的等价无穷小关系为（）A.\sin x\sim xB.\sin x\sim2xC.\sin x\simx^2D.不等价极限\lim_{x\to1}\frac{x^n-1}{x-1}（n为正整数）的值为（）A.0B.1C.nD.n-1函数fx=\frac{x^2-4}{x-2}在x=2处的极限值为（）A.0B.2C.4D.不存在第2页共10页极限\lim_{x\to\infty}\left1-\frac{1}{x}\right^{2x}的值为（）A.eB.e^2C.e^{-2}D.1当x\to0时，\ln1+x^2是x的（）无穷小A.等价B.同阶C.高阶D.低阶极限\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}的值为（）A.0B.\frac{1}{2}C.1D.2函数fx=\frac{x^2-1}{x+1}在x=-1处的极限（）A.存在，值为-2B.存在，值为2C.不存在D.等于1极限\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}的值为（）A.0B.1C.2D.4当x\to0时，\sqrt{1+x}-1的等价无穷小为（）A.xB.\frac{x}{2}C.x^2D.2x极限\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3-3x+5}{x^3+4x-1}的值为（）A.0B.1C.2D.不存在函数fx=\frac{1}{x^2-3x+2}的可去间断点为（）A.x=1B.x=2C.x=1和x=2D.无极限\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}的值为（）A.0B.1C.2D.不存在当x\to0时，\tan x-\sin x是x^3的（）无穷小A.等价B.同阶C.高阶D.低阶极限\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+\cdots+n}{n^2}的值为（）A.0B.\frac{1}{2}C.1D.2第3页共10页函数fx=\frac{x^2-4}{x-2}在x=2处连续，则需补充定义f2=（）A.0B.2C.4D.1极限\lim_{x\to0}\left1+x\right^{\frac{1}{x}+2}的值为（）A.eB.e^2C.e+2D.1

三、多项选择题（共20题，每题2分）下列极限存在的有（）A.\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}B.\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}C.\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}D.\lim_{x\to\infty}\sin x当x\to0时，属于x的高阶无穷小的有（）A.x^2B.x+1C.\sqrt{x}D.\ln1+x下列函数在x=0处连续的有（）A.fx=\begin{cases}x,x0\1,x\geq0\end{cases}B.fx=\frac{\sin x}{x},x\neq0;f0=1C.fx=\begin{cases}x^2,x0\1,x\geq0\end{cases}D.fx=\frac{x^2-1}{x-1},x\neq1;f1=2极限\lim_{x\to\infty}\frac{a_n x^n+\cdots+a_0}{b_mx^m+\cdots+b_0}（n,m为正整数）的结果可能为（）A.0B.\frac{a_n}{b_m}C.不存在D.1下列等价无穷小关系正确的有（）第4页共10页A.\sin x\sim x（x\to0）B.\tan x\sim x（x\to0）C.\ln1+x\sim x（x\to0）D.1-\cos x\simx^2（x\to0）关于函数连续性的描述，正确的有（）A.连续函数的和差积商（分母不为0）仍连续B.函数在某点连续必在该点有极限C.函数在某点有极限必在该点连续D.分段函数在分段点处可能连续下列极限计算正确的有（）A.\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2B.\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1C.\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^x=e D.\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}当x\to0时，无穷小量x、x^

2、\sin x的关系正确的有（）A.x^2是比x高阶的无穷小B.\sin x与x等价C.x是比x^2低阶的无穷小D.x^2与\sin x同阶函数fx=\frac{x^2-4}{x-2}的间断点及类型为（）A.x=2是可去间断点B.无间断点C.需补充定义f2=4后连续D.x=2是跳跃间断点下列极限中，值为1的有（）A.\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}B.\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^{-x}第5页共10页C.\lim_{x\to0}\frac{\ln1+x}{x}D.\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}关于洛必达法则的使用条件，正确的有（）A.分子分母趋于0或无穷大B.导数之比的极限存在或为无穷大C.适用于所有未定型极限D.可重复使用当x\to0时，与x等价的无穷小量有（）A.\tan xB.\arcsin xC.\ln1+x^2D.e^x-1下列函数在x=0处无定义，但可补充定义使其连续的有（）A.fx=\frac{x^2-1}{x-1}B.fx=\frac{\sinx}{x}C.fx=\frac{1-\cos x}{x}D.fx=\frac{x^3}{x}极限\lim_{x\to1}\frac{x^n-1}{x-1}（n为正整数）的结果可能为（）A.0B.nC.1D.2函数fx=\sqrt{x}在x=0处的性质有（）A.右极限存在B.左极限不存在C.连续D.可导下列极限计算正确的有（）A.\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1B.\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x}=\infty C.\lim_{x\to0}\frac{1-e^{-x}}{x}=1D.\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}=\frac{1}{6}关于无穷小量的描述，正确的有（）第6页共10页A.无穷小量的倒数是无穷大量B.有限个无穷小量的和仍是无穷小量C.无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量D.无穷小量的商不一定是无穷小量函数fx=\frac{1}{x^2-1}的间断点类型为（）A.x=1是无穷间断点B.x=-1是无穷间断点C.无间断点D.需补充定义使函数连续当x\to0时，\sqrt{1+x}-1的等价无穷小可能为（）A.\frac{x}{2}B.\frac{x^2}{2}C.xD.以上都不是下列极限中，存在且等于0的有（）A.\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}B.\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x}C.\lim_{x\to1}\frac{x-1}{x^2-1}D.\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}

四、判断题（共20题，每题1分）函数在某点的极限存在，则函数在该点连续（）当x\to0时，x与\sin x是等价无穷小（）极限\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^x=e（）函数fx=\frac{x^2-4}{x-2}在x=2处连续（）当x\to0时，\tan x-\sin x是x^3的高阶无穷小（）极限\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2（）函数在闭区间上连续必存在最大值和最小值（）第7页共10页等价无穷小替换可用于所有未定型极限的计算（）极限\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=1（）当x\to\infty时，\frac{1}{x}是无穷小量（）函数fx=\frac{1}{x^2}在x=0处连续（）极限\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2（）当x\to0时，\ln1+x\sim x（）函数fx=\begin{cases}x,x\leq0\1,x0\end{cases}在x=0处右极限为1（）极限\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+x}{x^3-1}=0（）无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量（）函数在某点连续，则在该点一定可导（）当x\to0时，\sqrt{1+x}-1\sim x（）极限\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1（）函数fx=\frac{x^2-1}{x-1}在x=1处可补充定义为2使其连续（）

五、简答题（共2题，每题5分）简述极限\lim_{x\to x_0}fx=A的定义，并说明其几何意义计算极限\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}，并写出主要计算步骤

六、参考答案

一、单项选择题（共30题）1-5:A CA B C6-10:B B B B C11-15:B B B AA16-20:C CCC B21-25:BCBCA26-30:BBBBA第8页共10页

二、多项选择题（共20题）1:AC2:AC3:BD4:ABC5:ABC6:ABD7:ABCD8:AB9:AC10:ACD11:ABD12:ABD13:BCD14:BC15:AB16:ABC17:BCD18:AB19:AC20:AD

三、判断题（共20题）1:×2:√3:√4:×5:×6:√7:√8:×9:×10:√11:×12:√13:√14:√15:√16:√17:×18:√19:√20:√

四、简答题（共2题）极限定义设函数fx在点x_0的某去心邻域内有定义，若对任意\epsilon0，存在\delta0，当0|x-x_0|\delta时，|fx-A|\epsilon，则称\lim_{x\to x_0}fx=A几何意义当x无限接近x_0（但不等于x_0）时，函数值fx无限接近常数A，即函数图像上的点x,fx无限靠近直线y=A计算步骤\begin{align*}\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x\frac{1}{\cos x}-1}{x^3}\=\lim_{x\to0}\frac{\sin x1-\cos x}{x^3\cos x}\=\lim_{x\to0}\frac{x\cdot\frac{x^2}{2}}{x^3\cdot1}\quad\sin x\sim x,1-\cos x\sim\frac{x^2}{2},\cos x\to1\=\frac{1}{2}第9页共10页\end{align*}答案\frac{1}{2}（全文约2500字）注本文题目覆盖极限基础概念、计算方法及应用，答案经反复核对，确保准确可根据实际需求调整题目难度和知识点侧重第10页共10页。