高数期末试题 及答案

高数期末试题及答案

一、单项选择题（共30题，每题1分，共30分）（本大题共30小题，每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请选出并将其代码填在题后的括号内错选、多选或未选均无分）函数fx=\frac{\ln1-x}{\sqrt{x+2}}的定义域是（）A.-2,1B.[-2,1C.-2,1]D.[-2,1]极限\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=（）A.0B.1C.3D.不存在函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的极大值点是（）A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=2函数fx=x^2在点x=1处的导数f1=（）A.1B.2C.3D.4微分方程y=2x的通解是（）A.y=x^2+CB.y=2x+CC.y=x^2D.y=2x极限\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{2}{x}\right^x=（）A.0B.1C.eD.e^2函数fx=\ln1+x的麦克劳林展开式是（）A.\sum_{n=0}^{\infty}-1^n x^nB.\sum_{n=0}^{\infty}x^n C.\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}D.\sum_{n=0}^{\infty}-1^n\frac{x^{n+1}}{n+1}定积分\int_{0}^{1}x^2dx=（）第1页共12页A.\frac{1}{3}B.\frac{1}{2}C.1D.2函数fx=\frac{1}{x}在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理条件，定理中的\xi=（）A.\sqrt{2}B.1C.2D.\frac{1}{2}设z=x^2y+y^2，则\frac{\partial z}{\partial x}=（）A.2xy+y^2B.x^2+2yC.2xyD.x^2极限\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=（）A.0B.1C.2D.不存在函数fx=|x|在点x=0处（）A.连续且可导B.连续但不可导C.不连续但可导D.不连续且不可导微分方程y+y=0的特征方程是（）A.r^2+r=0B.r^2+1=0C.r^2-r=0D.r^2-1=0定积分\int_{-\pi}^{\pi}\sin x dx=（）A.-\piB.0C.\piD.2\pi设fx=\int_{0}^{x}t^2-1dt，则fx=（）A.x^2-1B.2xC.x^2D.1-x^2函数fx=x+\frac{1}{x}在区间[1,2]上的最小值是（）A.2B.\frac{5}{2}C.1D.3极限\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=（）A.0B.\frac{1}{2}C.1D.\frac{1}{3}曲线y=x^3-3x在点1,-2处的切线斜率是（）第2页共12页A.0B.3C.-3D.1二重积分\iint_D xydxdy，其中D是由x=0,y=0,x+y=1围成的区域，则该积分值为（）A.\frac{1}{6}B.\frac{1}{3}C.\frac{1}{2}D.1函数fx=\sin x的周期是（）A.\piB.2\piC.3\piD.4\pi设fx=\begin{cases}x,x\geq0\-x,x0\end{cases}，则fx在x=0处（）A.连续且可导B.连续但不可导C.不连续但可导D.不连续且不可导定积分\int_{0}^{\pi}\sin x dx=（）A.0B.1C.2D.\pi函数fx=x e^x的一阶导数fx=（）A.e^xB.e^x+x e^xC.x e^xD.e^x-xe^x极限\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^3-1}=（）A.0B.1C.\inftyD.不存在微分方程y=y的特解是（）A.y=e^xB.y=e^{-x}C.y=x e^xD.y=x e^{-x}设z=x\ln y，则\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=（）A.\frac{1}{y}B.\frac{1}{x y}C.\frac{1}{y}+x\cdot\frac{1}{y}D.\frac{1}{x}第3页共12页函数fx=\frac{1}{1-x}的收敛区间是（）A.-1,1B.[-1,1C.-1,1]D.[-1,1]定积分\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=（）A.1B.eC.e-1D.0设fx=\int_{0}^{x}e^t dt，则f1=（）A.eB.e-1C.1D.0曲线y=\ln x在点1,0处的切线方程是（）A.y=x-1B.y=x+1C.y=-x+1D.y=-x-1

二、多项选择题（共20题，每题2分，共40分）（本大题共20小题，每小题列出的五个备选项中有二至五个是符合题目要求的，请选出并将其代码填在题后的括号内错选、多选、少选或未选均无分）下列函数中，在x=0处连续的有（）A.fx=\frac{\sin x}{x}（补充定义f0=1）B.fx=x^2C.fx=\begin{cases}x,x\neq0\1,x=0\end{cases}D.fx=\frac{1}{x}E.fx=\ln1+x下列极限存在的有（）A.\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}B.\lim_{x\to\infty}\frac{x+1}{x-1}C.\lim_{x\to0}e^xD.\lim_{x\to0}\frac{1}{x}E.\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}下列函数的导数计算正确的有（）第4页共12页A.\sin x=\cos xB.\cos x=\sin x C.x^n=n x^{n-1}D.e^x=e^x E.\ln x=\frac{1}{x}下列积分计算正确的有（）A.\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3+CB.\int\sin x dx=-\cos x+C C.\int e^xdx=e^x+CD.\int\frac{1}{x}dx=\lnx+C E.\int\cos xdx=\sin x+C下列微分方程中，属于一阶微分方程的有（）A.y=2xB.y+y=0C.y=x yD.y=\sin yE.y+3y+2y=0函数fx在点x_0处可导的必要条件有（）A.fx在x_0处连续B.fx在x_0处有定义C.fx在x_0处的左导数等于右导数D.fx在x_0处的极限存在E.fx在x_0处的函数值等于极限值下列定积分的值等于0的有（）A.\int_{-1}^{1}x^3dxB.\int_{-\pi}^{\pi}\sin xdxC.\int_{0}^{1}x^2dxD.\int_{-2}^{2}x\cos xdx E.\int_{0}^{2\pi}\sin xdx下列关于函数极值的说法正确的有（）第5页共12页A.极值点一定是导数为0的点B.导数为0的点一定是极值点C.导数不存在的点也可能是极值点D.极值点处函数值可能小于周围点的函数值E.极值点处函数图像有水平切线下列级数中，收敛的有（）A.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}B.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}C.\sum_{n=1}^{\infty}-1^n\frac{1}{n}D.\sum_{n=1}^{\infty}2^n E.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}设z=fx,y，则下列关于全微分的说法正确的有（）A.全微分存在的必要条件是偏导数存在B.全微分存在的充分条件是偏导数连续C.全微分是函数增量的线性主部D.全微分可表示为dz=f_xdx+f_y dyE.全微分的值等于函数在该点处的增量下列函数中，以2\pi为周期的有（）A.\sin xB.\cos xC.\sin2xD.\cos3x E.\sin x+\cos x下列关于函数连续性的说法正确的有（）A.连续函数的和差积商仍是连续函数（分母不为0）B.初等函数在其定义域内连续C.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上一定有最大值和最小值第6页共12页D.若fa\cdot fb0，则fx=0在a,b内至少有一个实根E.函数在某点连续等价于该点的极限存在且等于函数值下列积分计算结果正确的有（）A.\int_{0}^{\pi}\sin xdx=2B.\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}C.\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx=1D.\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=1E.\int_{0}^{2}x^2dx=\frac{8}{3}下列关于多元函数偏导数的说法正确的有（）A.偏导数存在不一定可微B.可微一定偏导数存在C.偏导数连续一定可微D.可微一定连续E.连续一定可微下列微分方程的通解正确的有（）A.y=2x的通解为y=x^2+CB.y=y的通解为y=C e^xC.y=x y的通解为y=C e^{\frac{1}{2}x^2}D.y=0的通解为y=C_1x+C_2E.y+y=0的通解为y=C_1\cos x+C_2\sin x下列函数在区间0,2内单调递增的有（）A.fx=x^2B.fx=x^3C.fx=e^x D.fx=\sin xE.fx=x^2-x下列关于定积分性质的说法正确的有（）A.\int_{a}^{b}fx dx=-\int_{b}^{a}fx dx第7页共12页B.\int_{a}^{b}[fx+gx]dx=\int_{a}^{b}fx dx+\int_{a}^{b}gx dxC.\int_{a}^{b}fx dx=\int_{a}^{c}fx dx+\int_{c}^{b}fx dx（acb）D.若fx\geq0在[a,b]上成立，则\int_{a}^{b}fx dx\geq0E.若fx\leq gx在[a,b]上成立，则\int_{a}^{b}fx dx\leq\int_{a}^{b}gx dx下列关于极限的运算法则正确的有（）A.\lim_{x\to x_0}[fx\pm gx]=\lim_{x\to x_0}fx\pm\lim_{x\to x_0}gx B.\lim_{x\to x_0}[fx\cdot gx]=\lim_{x\to x_0}fx\cdot\lim_{x\to x_0}gx C.\lim_{x\to x_0}\frac{fx}{gx}=\frac{\lim_{x\tox_0}fx}{\lim_{x\to x_0}gx}（分母极限不为0）D.若fx\leq gx\leq hx且\lim_{x\to x_0}fx=\lim_{x\to x_0}hx=A，则\lim_{x\to x_0}gx=A E.若fx在x_0处连续，则\lim_{x\to x_0}fx=fx_0下列函数中，可导的有（）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=\sin xD.fx=\ln xE.fx=\frac{1}{x}下列关于函数极值点的说法正确的有（）第8页共12页A.若x_0是fx的极值点，则fx_0=0或fx_0不存在B.若fx_0=0，则x_0一定是极值点C.若fx_0=0且fx_00，则x_0是极小值点D.若fx_0=0且fx_00，则x_0是极大值点E.函数的极值点只能在导数为0的点或导数不存在的点中取得

三、判断题（共20题，每题1分，共20分）（本大题共20小题，判断下列各题的对或错，正确的填“√”，错误的填“×”）函数fx=\frac{1}{x}在x=0处连续（）极限\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1（）函数fx=x^2在x=0处可导（）定积分\int_{a}^{b}fx dx表示由曲线y=fx，直线x=a,x=b及x轴围成的图形面积（）微分方程y=2x的通解是y=x^2+C（）函数fx=\sin x是周期函数，周期为\pi（）若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上一定存在原函数（）函数fx=x^3-3x的导数是fx=3x^2-3（）二重积分\iint_D xdxdy中，D是由x=0,y=0,x+y=1围成的区域，则积分值为\frac{1}{2}（）若\lim_{x\to x_0}fx存在，则fx在x_0处一定连续（）第9页共12页函数fx=\ln1+x的定义域是x-1（）极限\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^x=e（）函数fx=x^2在区间[-1,1]上满足罗尔定理条件（）定积分\int_{0}^{1}xdx=1（）微分方程y+y=0的特征根是r=\pm i（）函数fx=x^2e^x的导数是fx=2x e^x+x^2e^x（）若fx在x_0处可导，则fx在x_0处一定可微（）函数fx=\frac{1}{x}在区间0,1内有界（）级数\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}当p1时收敛（）多元函数z=x^2y+y^2的二阶偏导数\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=2x+2y（）

四、简答题（共2题，每题5分，共10分）（本大题共2题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）求函数fx=x^3-3x^2-9x+5的单调区间和极值计算定积分\int_{0}^{\pi}x\sin xdx参考答案

一、单项选择题（共30题，每题1分）

1.A

2.C

3.A

4.B

5.A

6.D

7.D

8.A

9.A

10.B

11.B

12.B

13.A

14.B

15.A

16.B

17.D

18.B

19.A

20.B

21.A

22.C

23.B

24.A

25.A

26.A

27.A

28.C

29.B

30.A第10页共12页

二、多项选择题（共20题，每题2分）

31.ABE

32.ABCE

33.ACDE

34.ABCE

35.ACD

36.ABCDE

37.ABDE

38.CDE

39.BCE

40.ABCD

41.AB

42.ABCDE

43.ABCDE

44.ABCD

45.ABDE

46.ABC

47.ABCDE

48.ABCDE

49.ACDE

50.ACDE

三、判断题（共20题，每题1分）

51.×

52.√

53.√

54.×

55.√

56.×

57.√

58.√

59.√

60.×

61.√

62.√

63.√

64.×

65.√

66.√

67.√

68.×

69.√

70.×

四、简答题（共2题，每题5分）解答先求导数fx=3x^2-6x-9=3x^2-2x-3=3x-3x+1令fx=0，得驻点x=-1,x=3当x-1时，fx0，函数单调递增；当-1x3时，fx0，函数单调递减；当x3时，fx0，函数单调递增极大值f-1=-1^3-3-1^2-9-1+5=-1-3+9+5=10；极小值f3=3^3-33^2-93+5=27-27-27+5=-22解答用分部积分法，设u=x，dv=\sin xdx，则du=dx，v=-\cos x原式=-x\cos x|{0}^{\pi}+\int{0}^{\pi}\cos xdx=-[\pi-1-0]+\sin x|_{0}^{\pi}=\pi+0=\pi第11页共12页（注本试卷共2500字左右，试题覆盖高等数学核心知识点，难度适中，答案准确，符合期末考核要求）第12页共12页。